单元背景下高中数学公式教学的研究

王宗艳

［摘  要］ 虽然数学公式蕴藏着丰富的教学资源，但有些教师只注重公式的结构与应用，淡化了公式的推导过程，导致学生思维缺失. 为了打破这一现象，研究者对单元背景下的高中数学公式教学进行了研究，并以“两角差的余弦公式”的教学为例，从以下五方面展开分析：创设情境，引入研究主题；联想启思，探寻解决办法；问题驱动，严谨论证猜想；实际应用，深化理解程度；总结反思，实现内化迁移.

［关键词］ 数学公式；单元整体；公式教学

数学公式反映了数学对象属性间的联系，公式教学的影响不仅体现在学生“四基”与“四能”的发展上，还体现在学生对知识的理解、迁移、探究上以及学生创新意识的培养上. 在实际公式教学中，有些教师存在“重应用，轻过程”的行为，导致学生无法真正领悟公式的本质，应用时难免漏洞百出. 基于单元背景的公式教学研究，能让学生掌握基本知识结构，了解公式的来龙去脉，感悟其蕴含的数学思想方法，为深度学习奠定基础. 本文以“两角差的余弦公式”的教学为例，谈单元背景下的公式教学研究.

创设情境，引入研究主题

希尔伯特认为：对数学概念、公式或方法的彻底理解是指学习者将现有的知识结构与更多、更强的知识连接融合的过程. 单元背景下的公式教学，关键在于让学生明确公式的源头、生长点、通路与网络，明晰为什么要研究这个公式，该公式具备哪些性质等. 教师可创设一些情境作为公式研究的背景，激发学生兴趣的同时，引导学生站到一定的高度审视将要学习的内容.

例如本节课教学，是在三角函数已研究的基础上进行的，教师可在课前简略地与学生一起回顾相关知识，提出三角恒等变化除了用于推导平方和关系式和诱导公式外，还可用于推导哪些公式的问题，以启发学生思考，为引入研究主题奠定基础. 同时，还可创设学生感兴趣的情境，为课堂探究提供实质性的帮助.

直接套用公式属于低阶思维层次，而自主编题则将学生的思维拉伸到高阶层次. 值得注意的是编题时需要学生明确公式的代换思想与本质，这是促进学生思维质变的关键. 吸收、存储、提取与加工信息是人脑的基本功能，数学教学能全面地训练学生的大脑功能. 学生在编题过程中的积极性和成效与当前所面临的困难有很大关系，因此教师须从学生的情感、思想与最近发展区出发，准确把握学生的实际状况，为公式的实际应用与变通做好铺垫.

总结反思，实现内化迁移

课堂接近尾声时的总结可完善学生对本节课所学公式的认识，加强单元背景下知识节点间的连接，让学生对公式的内涵与涉及的数学思想方法形成完整的认识. 好的总结起到知识梳理与画龙点睛的作用，对促进学生的反思起到了直接影响.

曾子曰：“吾日三省吾身.”反思是一种思维形式，是人脑对某个目标进行执着、严肃的沉思过程. 公式教学的总结反思，须引导学生将注意力聚焦于公式的研究方法与内涵上，通过回顾与分析研究过程提高思维能力. 借助反思活动，学生可自觉将课堂所学内容作为认知对象，优化学习状态，完善认知结构，实现探究过程与结论的有效连接，让学生学会从多角度解决问题.

在此环节中，教师设计了如下几个问题，以促进学生总结与反思.

问题1 通过本节课的学习，大家掌握了什么公式？这个公式的研究思路与研究过程是怎样的？

这个问题意在引导学生对两角差的余弦公式形成的前因后果进行回顾，通过对研究思路与研究过程的梳理，让学生反思在研究中的心路历程，为后续研究其他公式提供方法上的指导.

问题2 请大家说说应用两角差的余弦公式的体验.

问题3 圆对称性的代数形式为诱导公式，但圆存在无数条对称轴，如直线y=tanα·x为圆对称轴的一般形式，据此是否可推导出更一般的诱导公式？

问题4 三角恒等变换涵盖了角与名称的变换，能否将两角差的余弦公式从这两个角度进行思考并变换，从而推导出新的公式？

几个层次分明的问题，意在引导学生对本节课所涉及的活动经验与数学思想做一个反思与总结. 问题3着重引导学生从形的角度基于单元背景来分析特殊与一般的关系，问题4的解决显然是建立知识间联系的过程，也是促进学生迁移知识的过程.

新知建构在旧知的基础上，这对知识迁移提出了较高要求. 知识迁移从本质上来说属于一个心理变化过程，正迁移不仅能促进学生的思维发展，还能帮助学生形成可持续学习和发展的能力；而负迁移则严重阻礙学生在学业上的发展.

新知学习时，学生常从感官系统出发通过感知诱发联想，回忆起相关旧知，待思维处于活跃状态时，则成功将新知与旧知融于一体，建构成新的认知体系. 因此，在课堂结束时，教师应注重知识的回顾与梳理，发挥知识的正迁移功能，避免负迁移的发生.

总之，公式教学不仅是发展“四基”与“四能”的关键，还担负着育人功能，对学生的成长具有重要影响. 单元背景下的公式教学，能让学生从宏观角度认识公式的本质，能为学生灵活应用公式夯实基础.