基于“两个过程”合理性理念，构建高中数学优质高效教学

李桃

［摘  要］ 文章以“等差数列的前n项和”教学为例，践行章建跃博士提出的“两个过程”合理性理念，即数学知识发生发展过程的合理性以及学生认知过程的合理性，设计出知识生成环节的多条教学活动路线，与同行专家探讨.

［关键词］ 两个过程；合理性；优效教学；等差数列求和

问题缘起

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，教师要为“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”提供优质的、可供学生多样选择的数学学习资源［1］. 换言之，优质高效的教学应确保不同水平的学生都能学到数学知识、都能领悟数学思想、都能提高数学素养.章建跃博士提出的“两个过程”合理性理念，正好体现并落实新课程标准的基本理念和育人目标要求. 具体来说，在教学中做到“两个过程”合理性，即在数学知识发生发展过程的合理性以及学生认知过程的合理性上加强思考，这是让不同层次的学生都能发展数学核心素养的关键点. 鉴于新课程新课标新高考背景下，高中学校实施学科分层教学的现状，笔者基于“两个过程”合理性理念，对等差数列的前n项和公式的生成过程进行了多样化教学设计.

教学内容的认识

前n项和公式是等差数列的又一重要性质，是进一步认识等差数列函数特性的又一重要角度，是感受等差数列与一次函数、一元二次函数的关系，体会数学整体性的又一重要载体.等差数列的前n项和公式不仅是等差数列定义、通项公式和有关性质的延续，而且为后面类比等比数列的前n项和公式提供了学习内容、思维方法，是数列单元承上启下的重要内容［2］.

寻找合适的算理、算法是推导公式的基本线索. 推导过程可以从简单到复杂、从特殊到一般，历史与现实有机结合，算法与性质交融并进. 怎样让等差数列前n项和公式的推导过程能够自然地呈现出来，是学生理解公式推导过程合理性的关键.

设计路线的思考

對于人教A版（2019年）教材的设计，笔者认为：（1）教材以高斯巧算1到100的连续整数之和为基本问题，这是四年级就出现的题目，可想而知，这并不符合大部分学生的认知水平. （2）在推导过程中，教材从特殊（1到100的连续整数求和）到一般（1到n的前n个连续整数求和），再让学生思考如何避免讨论n是奇数还是偶数，在此引出“倒序相加法”. 该推导路径冗长、跨度大，有待优化. 既然已经完成1到n的前n个连续整数求和，可以自然地推导公式S=na+d.足见，教材所设计的知识发生发展过程是否合理有待商榷. 鉴于此，笔者从“直面难点”“淡化难点”“回避难点”这三个层次对等差数列前项n和公式的生成阶段进行了教学新设计.

1. “直面难点”的技术路线

采用问题解决型命题教学模式，其基本思想是把命题还原为一个抽象的数学问题，通过解决问题而得到命题. 解题过程对发展学生的直觉思维，提高学生的逻辑推理能力，培养学生的创新意识有积极作用［3］.

环节1 提出数学问题.

如图3所示，设想有另外一堆同样的草，将其倒置，并和原来的草堆拼在一起，这样草堆就共有8×9=72（束），因此原来的草堆共有36束.

环节2 探究算理：请学生分析此巧妙算法的应用前提和推广价值.

教师鼓励学生各抒己见，明确关键因素是各行的数量构成等差数列，即可以采用“平行倒置”的策略.

环节3 迁移应用：请学生自行推导等差数列的前n项和公式，易得S=. 教师指出这种方法叫做倒序相加法.

5. “回避难点”的技术路线

采用呈现型命题教学模式，教师直接给出公式S=，然后要求学生证明公式.

这就回避了“公式发现”，降低了问题的难度，但还留有“公式证明”的时间和空间. 学生可以采用分析法、综合法进行证明，在证明的过程中运用等差数列的性质进行分析，体会“倒序相加法”，依然能够渗透数学运算和逻辑推理等核心素养.

以上基于学生的起点能力、认知特点不尽相同，构建了不同的技术路线和知识生成过程. 课堂教学的流程虽然不同，但都能让学生达到课程的目标和要求，能够有效发展学生的数学核心素养.

结束语

高中数学优质高效教学要求教师正视学生知识水平和认知能力的差异性，注重因材施教，致力于学生的“可持续发展”，强调学生理性思维、核心素养以及创新意识的培养和发展，关注学生数学思维方式的形成以及数学基本活动经验的获得，关注课堂教学的预设与生成，追求课堂教学的优质高效［4］. 因此，一方面，教师要基于对数学及学生的理解和认识，着眼于“两个过程”合理性，设计适合学生的教学方案；另一方面，教师要做好充分的教学预设，才能根据课堂教学的生成情况及时调整优化教学方案，确保不同水平的学生都能学到数学知识、都能领悟数学思想、都能提高数学核心素养.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书教师教学用书（数学选择性必修第二册）［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［3］ 喻平. 数学教学心理学［M］. 北京：北京师范大学出版社，2018.

［4］ 肖凌戆. 高中数学“优效教学”的十年探索［J］，中国数学教育，2020（10）：20-25.