跨越时空的账单*——以“正数与负数”为例

广东省东莞市南城阳光实验中学(523000) 谭新艳

美国数学史家卡约黎在为数学教师所撰写的《初等数学史》中指出,数学史乃是数学教学的工具. 我国数学史家钱宝琮认为“数学史研究的一个重要目标是为中学数学教师服务. ”教师对知识理解通透,教学便会通透,学生就更容易理解知识. 数学史融入我国数学教材有着悠久的历史,那么如何体现数学史对数学的教育价值? 下面笔者以人教版教材七年级上册第一章第一节“正数与负数”教学为例,就如何进行数学与历史学科融合教学与读者交流.

1 问题提出

人教版教材七年级上册第一章“有理数”中有一个数学活动: 帮助家庭记录一个月的生活收支账目,收入记为正数,支出记为负数,计算当月的总收入、支出、总结余[1]. 它是本章内容的延伸和拓展,目的在于引导学生运用本章所学知识为解决实际问题提供方法. 学生要完成这个活动,需要掌握有理数的运算. 怎样运算? 那要知道正数、负数的概念及使用方法,所以负数的概念是本章的重头戏. 我们知道,在数与代数的大单元学习中,学习的是各种表示(数量和模型)、运算方法. 然而事实上,在教学中,很多教师认为“正数与负数”这一节知识很简单,学生通过阅读教材,便会明白,所以教师对于负数的概念也是结论性的讲解. 他们忽略了历史上曾经遇到相似难题,美国数学家克莱因曾断言学生在学习负数时必定会遇到困难:“毋庸置疑,历史上大数学家所遇到的困难,恰恰正是学生会遇到的学习障碍. 从一流的数学诞生开始,数学家花了1000 年才得到负数概念,又花了1000 年才接受负数概念,因此我们可以肯定,学生学习负数时必定会遇到困难[2].”所以系统学习负数是一个必不可少的过程.

2 教学实践

基于教科书、已有教学设计以及历史素材,我们设定本节课的教学目标如下:

(1)了解本单元学习的方向;

(2)通过数学史的学习,知道负数由来,体会负数表示及转化过程;

(3)掌握负数的概念和表示,以及0 的意义.

具体教学流程如图所示.

2.1 布置任务,引领方向

问题1下面是一页账单(图1),但有一部分沾了水,你能根据上面残余的数字算出这一页最后的结余吗?

图1

教学分析“正数与负数”为一章的起始课,统领着整章知识脉络,笔者采用大单元教学方式,首先向学生提出本单元需要完成的大任务,通过逆向设计任务,驱动学生学习,引领单元方向. 教师出示任务后,留出一分钟给学生思考——如何计算? 表格中的数字“-120、-150、-315、-540、-470”是什么? 学生带着疑问、好奇学习新知识.

2.2 创设情境,提出问题

问题2数的产生和发展离不开生活和生产的需要. 你们知道这些图片(图2)介绍的是什么内容吗?

图2

教师: 在远古时代,人类靠捕猎为生,为了统计猎物的个数,产生了正整数,1、2、3、…,如果猎人在这一天什么猎物也没有打到,他们又如何计数? 为了表示没有和空位产生了数字零,如果分配猎物时,两个人分三件东西,每个人该得多少呢? 于是分数就产生了. 随着社会的发展,商业经济越来越发达,物品种类越来越多,这些数能满足实际生活的需要吗?

答案是不能.

下面列举一些实际生活中会遇到的案例.

教师: 小明有100 元钱,他想买一个篮球,篮球的售价是168 元/个,请问小明还差多少钱?

学生: 168-100=68 元

教师: 小悦今天挣了200 元钱,但买衣服花了230 元,请问小悦今天净收入多少?

学生1: 200-230

学生2: 好像不对. 小数怎么能减大数呢?

教师: 大家能不能也想一种数字来解这道题呢?

学生3: 负数.

教师: 其实早在很多年前,人们在生活中已经开始使用负数. 战国时期,《法经》中记载了这样一句话“衣五人终岁用千五百不足四百五十”. 这里的“不足”就是负数的意思.

教学分析数学与社会生活的发展是相互促进的,数学的产生源于社会生活的需要,数学的发展促进了社会的进步.回顾正整数、0、分数的产生,学生也能大胆地提出一种数字解决实际问题. 这三幅图学生不仅学习了数的产生和发展,也可以学习历史,培养历史学科的核心素养(历史解释和时空观念). 通过历史,我们能更好地了解过去,认识现在,预知未来.

2.3 探究方法,解决问题

问题3去年冬天的某一天,哈尔滨的平均气温是零下13°C,长沙的平均气温是8℃,东莞的平均气温是13°C,请问这天东莞的平均气温比长沙高多少? 比哈尔滨的平均气温高多少[3]?

这里特意设置了两个13°C,让学生产生思考.

得到解题过程如下:

学生1: 东莞比长沙气温高5°C,算式13-8=5°C.

学生2: 东莞比哈尔滨气温高0°C,算式13-13=0°C.

学生3: 不对,不是0°C.生活经验告诉我们,哈尔滨零下13°C 很冷,会下雪;东莞13°C 虽然有点冷,但不会下雪;不可能两个温度一样.

教师: 同学们已经观察到“零下13°C 与13°C”的不同了,东莞气温13°C,意思是零上13°C.这两个13°C,最大的区别是加有前缀的一对反义词“零下与零上”,你能用什么方法表示“零下13°C 与零上13°C”吗?

小组合作交流,碰撞出思维的火花.

学生4: 用颜色区分,红色表示零上13°C,黑色表示零下13°C.

学生5: 用正斜字体区分,正立的13°C 表示零上13°C,斜体的13°C 表示零下13°C.

学生6: 标记号区分,没有标记的13°C 表示零上13°C,带框的表示零下13°C.

学生7: 用“+、-”号区分,+13°C 表示零上13°C,-13°C表示零下13°C.

教师: 同学们提出的不同表示方法,就是我们历史上伟大的数学家们曾经的想法. 我国魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术》中用不同颜色分别表示正数和负数(红色为正,黑色为负)或者说用直立的木棍表示正数,用斜的木棍表示负数. 印度数学家婆罗摩笈多将小圆点或小圆圈标记在数字上面表示负数. 直到1629 年,荷兰数学家吉拉德的负数符号“-”得到公认. 人类对负数的认识经历了漫长的历程.

教学分析为了真正实现自主探究,变“接受答案的教育”为“创造答案的教育”,笔者大胆尝试,重构负数的表示.在探究过程中,学生仿佛成了数学家,获得了成就感,提升了自信心. 在数与代数的学习中,主要的数学方法是表示(数量和模型),运算方法. 抓住本质教学,加入史料,让学生对负数有了进一步的理解,同时体会到学习的乐趣.

2.4 整理材料,构建概念

问题4请阅读你们自己收集的材料、结合自己的生活经验,选择其中的例子(图3),读一读,想一想,并在小组内交流感想.

图3

据国家数据统计: 今年我国的GDP 总量比上一年同期增长

思考: 你知道上面红框中的数字代表什么意义吗?

学生根据生活经验很快回答出前面三个例子数字代表的意义. 但对第四个例子增长-2.7%感到疑惑.

学生1: 都说增长了,怎么还有负数呢?

教师: 正负数表示意义相反的量,增长的反义词是下降,“增长-2.7%”意思是“下降2.7%”. 数学上,像3,1.8%,13 这样大于零的数叫做正数,有时为了明确表达意义,在正数前面也加上“+”(读作正)号. 例如+3000,+13,+0.5…像-3,-2.7%,-15.8…这样在正数前面加上符号“-”(读作负),小于零的数叫做负数. 那么我们在写“+”“-”有什么要注意的吗?

学生2: 一个数前面的“+”“-”叫做它的符号. 其中“+”可以省略不写,而“-”不能省略不写.

教师: 一个数,不是正数就是负数吗?

学生3:“0”既不是正数,也不是负数;“0”是正数与负数的分界;“0”不是最小的数,它小于任何正数,大于所有负数.

教师:“0”只表示空或没有吗?

学生4: 好像不是这样的,比如温度计显示0°,是有温度的.

教师: 0 是正负数的分界点. 它不再简简单单的只表示没有,它具有丰富的意义,它常用来表示某些量的基准量. 如“0 点”不表示没有时间,而是指特定的时刻,即半夜12 点或24 点.

教学分析课前有一个前置作业: 请同学们结合自己的生活经验,收集生活中出现正负数的材料,并解释其正负数的意义. 将自己搜集到的资料拍摄成1 分钟以内的视频. 学生对这个作业热情非常高,上交了有质量的作品,笔者发现不少家长也担任了视频中的角色,和孩子一起参与,增添了不少欢乐的亲子时光. 学生自己在生活中找到的负数材料变成了课堂上的教学材料,学生学习的投入度更高,专注力更强,效果更佳.

2.5 应用方法,深化认知

问题5一个暑假, 小虹体重增加2kg, 小明体重减少1kg,小花体重无变化,写出小虹、小明、小花三人这个假期的体重分别增加多少?

教学分析这道题提问的是体重增加了多少,所以即使体重减少,也要表达增加了“负多少”,因此小虹、小明、小花三人的体重分别增加2kg,-1kg,0kg. 之后,和学生一起对本节课所学知识进行归纳总结: (1)数的扩充,正数与负数、0;(2)负数产生的必要性;(3)负数的概念及表示.

3 教学反思

3.1 妙用数学史架起数学与历史学科的桥梁

纵观多版本初中数学教材,均在“读一读”以及“思考与阅读”板块中给出了负数的发展历史,将其融合到数学教学中,激起了学生学习的求知欲. 负数的引入是数学发展史上的一大飞跃,使数的家族得到了扩张,为人们提供了更多认识世界的工具. 中国是世界上最早认识和应用负数的国家(比西方早一千多年). 通过历史的渗透,培养学生家国情怀,民族自豪感. 另外,负数的产生和社会的发展息息相关,从数学的角度看,数系得到了扩充;从历史的角度看,反映了人类历史上商业的阶段历程. 多学科教学能够打破学科界限,有利于培养学生用多维度的思维看问题,提升对事物的整体认识,提高学生综合的知识素养.

3.2 创设自然生成的情景是建构负数概念的起点

英国哲学家斯宾塞曾说:“一般教起来使人觉得枯燥甚至讨厌的知识,依照自然的方法就成为极其有趣和有益的. ”本案例中,教师从史料记载和学生已有的知识出发引入概念,情境的创设将学生的注意力引向数学概念的本质特征.

依托于日常生活,从实际应用中,理解正负数是比较容易达到的,即指意义相反的量. 但数学家们思考如何用文字语言清楚地定义正负数的概念,再用简洁的数学语言表达正负数,这是数学的本质. 数与代数的主要思想“归纳”与“转化”. 创设自然生成的情景,每一位学生不知不觉中成为数学家. 进行跨越时空的对话,让每一位学生都为自己的表现感到骄傲.

3.3 提高教师专业发展是有效教学的途径

韩愈说:“师者,所以传道、受业、解惑也. ”在数学教学中,教师常常会遇到学生问“为什么”,比如为什么三角形内角和等于180°? 明明一想就明白. 为什么要学习乘法公式?但有些问题是逻辑推理不能回答的. 教师便要借助数学史来解释. 任何数学概念、公式、定理、思想都不是天上掉下来的,都有顺其自然发生发展的过程. 以史为鉴,符合学生的认知发展规律. 教师对知识理解通透,他的教学才通透. 在本案例中,引导学生感受负数的发展历程,借助数学史料,使学生更好的理解负数的定义和性质,帮助学生建立数感,增强学生的符号意识. 因此,教师学习必要的数学史能促进教学质量提升.

数学与历史跨学科教学离不开数学史. 但仅仅是数学史还不够,我们要在教学中融入历史学科的核心素养、思想方法. 本节课,将人类社会的商业发展历程融入到课堂教学中,培养了历史学科的核心素养,获得认识历史的思想和方法.