一道求代数式取值范围题目的探究与推广

上海市民立中学(200040) 孙利明

临近高三一模考和上海春考,高三学生已经复习过了函数、不等式、三角函数、二项式定理和解析几何等相关知识,但碰到一个新的数学问题,班级学生往往不会综合应用这些知识来求解,很多时候听到学生会这样说:“老师,这个问题我没有思路”、“老师,我的方法解决不了这个题目”等. 目前学生在数学学习中遇到的困难主要是: 不能将题目中的条件和结论进行等价转化.

本文将对高中数学的一个典型题目探究其解决的方法并作一般情况下的推广,使学生经历多角度、多维度思考研究数学问题并且解决数学问题的过程,体会题目条件和结论的等价转化,掌握求代数式取值范围的常用方法和策略.

1 题目呈现

已知x≥0,y≥0 且x+y=1,求x2+y2的取值范围.

2 探究解法

法一(函数思想)

法二(运用基本不等式)

法三(三角换元思想)

法四(对称换元思想)法五(数形结合思想)

设d=d表示线段AB(x≥0,y≥0 且x+y= 1) 上动点C(x,y) 到(0,0)的距离. 由图可得,当C与A(1,0)或B(0,1)重合时,dmax= 1, 即(x2+y2)max= 1; 当OC⊥AB时,dmin=即(x2+y2)min=

法六(数形结合思想)

设x2+y2=r2(r ＞0), 此方程表示以坐标原点为圆心、半径为r的动圆,记为⊙O. 由图可得,当⊙O经过线段AB的端点时,rmax= 1,即(x2+y2)max= 1;当⊙O与线段AB的相切时,rmin=

法七(向量法)

3 问题推广

4 教学反思

本节课从7 种方法求解了一个求代数式取值范围的题目,并对本题进行了一般情况下的推广. 本题作为高中数学的典型题目,需要学生经历一题多解的探究学习过程,值得教师进行一题多解的教学. 这样的教学使得高三的数学课堂更加高效,学生的学习更加有效. 下面再谈几点加强高三数学总复习有效性和高效性的方法:

(1)美国著名数学教育家波利亚说:“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义但又不复杂的题目,去帮助学生挖掘问题的各个方面,使得通过这道题,就好像通过一道门户,把学生引入一个完整的理论领域. ”因此,恰当的进行一题多解能够有效地完善学生对数学知识之间的联系,感受不同解题方法,提升学生思维的发散性;建立知识发展脉络,提升学生思维的系统性.

(2)布鲁纳曾经说过:“探索,是数学教学的生命线. ”苏霍姆林斯基也说过:“人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要,就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者. ”教学中,只有让学生经历自主探索的过程,才能最大限度地激发和调动学生的积极性和求知欲; 只有让学生自主发现知识,才能有效地促进学生真正掌握知识.

(3)课堂是教师的主阵地,课堂上教师不仅要教会学生知识,更要教会学生思考问题和解决问题的方法. 例如三角比章节由很多的公式,高三复习中如果教师仅仅是告诉学生有这些三角公式,要求学生去死记硬背,势必会造成学生不能很好的应用三角公式. 教师应该在教学中让学生体会这些三角公式的来龙去脉,经历三角公式的推导过程,发现三角公式之间的内在关系,只要这样,学生才能灵活的运用三角公式.

(4)数学是思维的科学,高三复习中解题的目的是为了使学生理解和掌握这些题背后的思想与方法,从而追求数学思想的贯通和方法的灵活运用. 因此,要注重解决问题的通性通法,注重通性通法的应用.

(5)对每一个数学问题教师要培养学生多思勤想、研究的习惯, 常规性地引导学生能不能从正面作出引伸和拓广,从逆向探索能否进一步扩展.