基于课程思政的线性代数课程资源建设

马巧云　曹洁　曹殿立

［摘 要］课程思政是近年来高校落实立德树人，实现融合知识传授、能力培养和价值塑造于一体的重要举措。线性代数课是为高校本科低年级学生开设的公共基础课，根据课程思政的要求对教学目标进行重塑，对课程思政元素进行挖掘，以及加强课程教材和线上教学资源的建设，不仅提升了授课教师的思政意识与能力，也提升了学生的综合素质，并为线性代数课程思政的持续开展打好了基础。

［关键词］线性代数；课程思政；教学目标；思政元素；课程资源

［中图分类号］ G642.3 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 2095-3437（2023）07-0118-04

课程思政是在“三全育人”模式指导下，使得各类课程与思想政治理论课同向同行，从而实施协同育人的综合教育理念[1]。高校实施课程思政是落实立德树人的重要抓手，是高等学校理性教育价值回归、进步与升华的重要体现[2]，同时也是解决“培养什么人、怎样培养人、为谁培养人”这一教育根本问题的关键。

线性代数课是高校本科低年级开设的一门数学类公共基础课，上课人数多，涉及专业也多。一方面，作为授课对象的高校本科低年级学生，正处于探究知识和形成世界观的关键时期，一般也比较重视线性代数课程的学习。在线性代数课程资源建设中融入课程思政，可以起到润物细无声作用，从而积极引领学生的价值观塑造。另一方面，从教师角度看，很多数学教师都有线性代数课程的授课经验，在线性代数课程资源建设过程中方便凝结集体智慧。

经过近些年对线性代数课程思政的探索，河南农业大学线性代数课程组依托线性代数在线开放课程的教材建设和平台建设，明确课程思政背景下的教学目标，挖掘线性代数课程的思政元素，建立融思政元素与教学知识点于一体的课程教材知识体系，修订完善教材和加强线上教学资源建设，极大提升了课程组教师的思政意识与教学能力，也让学生在学习线性代数理论知识、培养问题解决能力的同时提升了思想政治素质。

一、课程思政背景下的线性代数课程教学目标

线性代数是以矩阵为工具研究有限维线性空间和线性变换的分支，在当今科技发展中有着广泛的应用，如Google搜索引擎、隐形飞机的设计、图像处理、通信编码等。瑞典数学家L.戈丁认为，如果不熟悉线性代数的概念， 要去学习自然科学， 现在看来就和文盲差不多 [3]。

线性代数课程要求学生通过学习能了解课程的地位和性质；掌握线性代数的基本概念、基本理论和基本方法；具有一定的科学计算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，能用矩阵工具分析和解决一些实际问题；增强自主学习的能力和责任意识，能用正确的价值观看待事物，树立科学报国的信心和决心。具体地讲，课程组将课程思政背景下的线性代数课程教学目标分解为知识传授目标、能力培养目标和价值引领目标。

（一）知识传授目标

该目标要求学生了解线性代数课程的地位和性质，熟练掌握行列式和矩阵的基本运算方法，理解用矩阵工具解决问题的思路，能熟练地运用矩阵方法解决线性方程组的求解、化二次型为标准型等问题。其主要内容包括以下5个方面：（1）行列式的定义、性质、计算和克莱姆法则。（2）矩阵的加法、数乘、转置、乘法运算，初等变换，秩和逆。（3）线性方程组求解的消元法、向量组线性关系和解的结构。（4）矩阵的特征值、特征向量与相似对角化。（5）向量组的标准正交化、二次型化标准型和正定性判定。

（二）能力培养目标

该目标旨在培养学生的科学计算能力、严密的逻辑思维能力、抽象的空间想象能力、较强的自主学习能力以及综合运用该课程的知识分析解决问題的能力。（1）通过对行列式、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量、二次型化标准型和二次型的正定等计算过程的反复练习，培养学生的科学计算能力。（2）结合向量组线性相关性、秩和初等变换的性质对相关结论证明的训练，提升学生严密的逻辑思维能力。（3）借助二维、三维的几何直观，建立n维向量空间和n元线性方程组解空间的概念，培养学生抽象的空间想象能力和公理化思维能力。（4）借助图书馆和网络资源，使学生能够通过自主查阅书刊、利用相关学习网站资源、参与论坛交流等渠道深入学习线性代数，进而了解线性代数与当今科技发展的紧密联系，培养自主学习的习惯和能力。（5）借鉴全国大学生数学建模竞赛的经验，选取诸如投入产出问题、种群年龄结构预测、网络流问题、线性规划问题、密码破译等问题积极开展数学建模训练，培养学生综合运用所学知识分析解决问题的能力。

（三）价值引领目标

价值引领目标旨在提升学生的思想政治素质，培育正确的世界观、人生观和价值观。（1）结合课程发展史和科技时讯，增强学生对祖国文化和国情的了解，激发学生的爱国情怀，增强学生的爱国信念以及科学报国的信念和信心。（2）结合科学家故事、课程对准确计算和严密论证的训练以及课程的应用探究，培养学生科学严谨的工作态度和自主学习能力，提升学生的责任意识和追求卓越的精神。（3）结合课程知识本身所蕴含的哲学原理，引导学生掌握辩证唯物主义的观点和方法。通过对事物是什么、为什么、如何用这一系列问题的思考，在提出问题、分析问题和解决问题的模式引导下，培养良好的思维品质和正确的世界观。

二、线性代数课程思政元素的挖掘

（一）挖掘课程中的思政元素，增强学生的文化自信和民族自豪感

线性方程组理论不仅是线性代数的核心，而且是中华文明的非凡成就之一。早在东汉初年成书的《九章算术》，汇集了我国先秦、秦朝及汉朝的重大数学成果。公元263年，刘徽作注附于此书，第八章“方程”列出了从二元到六元线性方程组对应的18个实际问题及其解答。其对方程组的表示采用把系数和常数项放在固定位置构成筹算图，相当于现在的矩阵表示；求解使用筹算的遍乘和直除，对应现在用方程组理论中对増广矩阵的行施行倍法变换和消法变换；解方程组的目标对应化上三角形。而在西方，直到17世纪才有莱布尼兹开始对线性方程组的研究。尽管国际上习惯把方程组的求解方法称为高斯消元法，但从历史上看，中国人在线性方程组求解方面起码领先于欧洲一千多年，已有学者研究证明高斯消元法本质上就是中国古法[4-5]。

中国古法筹算和求解体现出先辈的高超智慧，却按国际习惯被称为高斯消元法，这不仅可激发学生对科学的探究欲望，进而深刻理解和掌握线性方程组的解法，而且可以增强学生对中华优秀传统文化的认可，提升文化自信和民族自豪感。

（二）挖掘古今中外数学家的故事，增强学生科学报国的信念，培养学生的优秀品格

在“代数”一词问世前，同一概念在中国被称为“阿尔热巴拉”，它是清朝西方来华传教士对拉丁文“algebra”的汉语音译。1859年，李善兰首次将“algebra”译成“代数”，意思是“以符号代替数字”。李善兰在翻译《几何原本》《代数学》《代微积拾级》《谈天》《重学》《圆锥曲线说》《植物学》等西方近代科学著作中创造的许多科学名词，如代数、常数、函数、方程、微分、积分、级数、有理数、无理数、植物、细胞等，都广为流传，沿用至今。

李善兰自幼酷爱数学，自学了《九章算术》、徐光启参与翻译的《几何原本》前6卷、李冶的《测圆海镜》和戴震的《勾股割圆记》等数学相关著作，有较高的数学水平。鸦片战争爆发后，面对中国的落后和帝国列强的欺凌，李善兰萌生了科学救国思想，并发出慨叹：呜呼！今欧罗巴各国日益强盛，为中国边患。推原其故，制器精也，推原制器之精，算学明也。异日（中国）人人习算，制器日精，以威海外各国，令震慑，奉朝贡。从此，他全身心投入科学研究，在尖锥术、垛积术和素数论方面取得卓越成就，并著有《方圆阐幽》《弧矢启秘》《对数探源》《四元解》《麟德术解》等著作。其中，尖锥术创立于1845年，那时西方解析几何和微积分还没传入中国，尖锥曲线相当于处理代数问题的几何模型，其实质是直线、抛物线、立方抛物线等的方程问题；尖锥求积术相当于幂函数的定积分公式和逐项积分法则；结合尖锥求积术，还得到了π的无穷级数表达式，各种三角函数和反三角函数的展开式以及对数函数的展开式等。垛积术从中国传统的垛积问题出发，主要研究高阶等差数列的求和问题，提出了驰名中外的李善兰恒等式。素数论研究自然数是否为素数的判别法，包括屡乘求一法、天元求一法、小数回还法和准根分级法等，证明了费马素数定理，并指出其逆不真。

李善兰恒等式是中国近代史上唯一一个以中国人名字命名的数学公式[6]。有趣的是李善兰恒等式是总结归纳出来的，当时没有给出证明。20世纪30年代起，李善兰恒等式不断引起数学界的广泛兴趣并进行补正。1954年，匈牙利数学家图兰·帕尔来华访问，在报告李善兰恒等式的证明时，坐在台下的华罗庚面对中国人发现的定理而证明人却不是中国人时感触很深，当晚回去后就开始挑灯夜战、冥思苦想，终于赶在图兰·帕尔离华前给出李善兰恒等式的另一证明[7]。

李善兰、华罗庚在数学上做出的杰出贡献和他们强烈的科学报国意识，都为后人树立了榜样。教师在引导学生为数学家感到骄傲和自豪的同时，强调不能忘记华罗庚对我们学习数学的嘱托——既要有雄心壮志，又要有持久的热诚，还要有应用所学知识服务于人民的意识。

此外，教师在线性代数课程教学中针对高阶线性方程组计算量较大的问题，一方面鼓励学生用计算机软件求解，培养学生享受新技术带来便利的感恩意识，同时激发学生报效祖国的斗志；另一方面讲述陈景润攻克哥德巴赫猜想时产生了一麻袋一麻袋的草稿纸的故事，激励学生锲而不舍地认真求学。针对矩阵变换过程易出错这一问题，教师在强调要培养认真细致态度的同时，引出埃尼奖获得者王中林院士的感言：“有时候你摔了一跤，但绊倒你的很可能不是砖头，而是一块金子。”以此鼓励学生正确面对挫折和失败，培养求真務实、认真细致的好习惯。

（三）引导学生体会课程知识蕴含的哲理以及掌握辩证唯物主义观点和方法

线性代数课程的很多知识点都体现了一定的哲理，如矩阵的可逆与不可逆、满秩矩阵与降秩矩阵、非退化矩阵与退化矩阵、线性相关与线性无关、线性方程组有解与无解、二次型正定与非正定等，这些非此即彼、互为矛盾的概念很好地体现了马克思主义哲学原理中的对立统一规律。教师引导学生分析问题时，要让学生学会用全面的观点看问题、一分为二地看问题；在生活中要敢于正视矛盾，在解决矛盾时要善于抓住主要矛盾，但也不忽视次要矛盾。

行列式和n维向量空间的课程内容很好地反映了科学认识事物的两个阶段：从具体到抽象，再从抽象到具体。首先，从二阶三阶行列式到n阶行列式的建立，从二维三维向量空间到n维向量空间的定义，都是从感性的具体寻找其共性特征，进行公理化抽象，进而在思维中建构出一个理想化模型。这是哲学认识论中从感性的具体到理性的抽象过程，而科学的认识论还要求把理性的抽象再次上升到理性的具体，回归到行列式和向量空间的相关内容。教师要引导学生理解我们正是在建立其一般定义的基础上探究其具体性质，以真正认识和掌握这些概念，然后再探究其应用问题。

矩阵的初等变换是线性方程组求解和化二次型为标准型的重要工具，在应用矩阵初等变换解决问题过程中，矩阵的形式在不断发生变化，但矩阵的秩是不变的，且可以借助矩阵的秩来研究矩阵的等价、线性方程组解的判定及二次型标准型的判定等问题。这很好地揭示了唯物辩证法中变与不变的关系：变是绝对的，但变中总会有不变的规律，以不变应万变才是关键。教师要引导学生明白，人们在生活中面对变化时往往会不知所措，如果掌握了变和不变的辩证法，就可以冷静处事，积极寻找事物发展变化的规律性，帮助解决变化中的问题。

（四）挖掘课程知识在科技前沿和现实生活中的应用案例，提高学生的学习兴趣

随着信息技术的发展，矩阵的应用越来越广泛。密码学是由矩阵的乘法、求逆和线性变换发展而来的；5G通信编码技术的极化码本质上也等同于矩阵乘法；隐形飞机的设计、手机电磁辐射评估所用到的麦克斯韦方程，最终都可归结为大规模线性方程组的求解问题；图像压缩处理则是通过将每个像素点对应一个灰度数字，将整张图片以矩阵形式表示出来，进而对该矩阵的特征值或奇异值进行分解；Google搜索排序、Netflix视频推荐、机器人中的运动学正解等都离不开矩阵。

教师在线性代数课程教学中不仅可以通过介绍科技前沿来培养学生的学习兴趣和科学探索精神，而且可以在矩阵举例时选取特殊数字来提醒学生铭记历史，如以数字19310918、19212021，19492049为元素构建2行4列的矩阵，回顾九一八事变、思考中国共产党的“两个一百年”奋斗目标等；在教学行列式这个内容时，指出按行列式的定义法计算，即使用我国的“神威·太湖之光”超级计算机，计算一个29阶行列式也需要大约5.0068万年的时间才能算出结果[8]。这样，在激发学生对行列式性质和其他计算方法探究兴趣的同时，也引导学生了解我国超级计算机的发展从跟跑到领跑的跨越，弘扬科学精神和增强爱国情怀。

三、基于课程思政的线性代数课程资源建设途径

（一）遵循学生认知规律、精选思政育人材料加强教材建设

基于线性代数课程教学目标及其高度抽象性导致学习困难的考虑，很多教学团队对其课程内容体系结构进行了探索，主要有以下四种类型。第一种类型：从直观易学的矩阵出发，引入行列式和矩阵的初等变换；再以矩阵的秩讨论线性方程组解的判定、向量组的线性相关性，建立线性方程组解的结构，最后讨论相似矩阵和二次型。第二种类型：从线性方程组的求解这一根本问题出发，引入行列式、矩阵及向量组的线性相关性，进而研究线性方程组解的判定、解的结构、相似矩阵和二次型。这种类型的内容体系强调从问题出发，突出其应用。第三种类型：以线性空间和线性映射为主线，将行列式和矩阵作为工具讨论线性方程组的求解和二次型的应用。这种体系结构多见于重点高校，重在突出代数思想，有利于提升学生的数学素养。第四种类型：从行列式和矩阵的定义出发讨论其性质和计算，再给出矩阵的初等变换和矩阵的秩，进而讨论向量组的线性相关性和线性方程组解的结构，最后研究相似矩阵和二次型。这种类型的特点是在逻辑严密的基础上将难点分散，便于学生夯实基础。

从现有的线性代数课程内容体系结构和笔者长期的教学实践来看，上述四种类型的内容体系均能有助于完成课程培养目标，但考虑到需要课程内容易懂、易教和易学，课程组更倾向于采用第四种对教材内容进行以下安排：第1章行列式，从二元、三元线性方程组的公式解，引出二阶、三阶行列式，再通过排列的逆序定义分析二阶、三阶行列式的特征，建立n阶行列式的定义，进而讨论n阶行列式的性质和计算；第2章矩阵及其运算，主要介绍矩阵的运算，包括矩阵的加法、数乘、乘法、转置和逆运算等；第3章矩阵的初等变换，在回顾线性方程组消元法求解基础上引入矩阵的初等变换，定义初等矩阵和矩阵的秩；第4章线性方程组，一方面利用矩阵的初等变换和秩讨论线性方程组的求解和解的判定，另一方面通过向量组的线性相关性研究线性方程组解的结构；第5章矩阵的相似变换，主要利用行列式、矩阵和向量组的线性相关性讨论方阵的对角化问题；第6章二次型，主要研究二次型化标准型的方法和二次型正定性的判定。

与此同时，课程组结合对课程思政元素挖掘的研究成果，在序章安排初识线性代数、学好线性代数和请珍惜我们这个伟大的时代三部分内容，并在每章的最后附有课外阅读材料，包括华罗庚谈数学学习方法、李善兰与李善兰恒等式、《九章算术》与矩阵、祖率与[π]、华罗庚与线性方程组、陈景润与哥德巴赫猜想、从《数书九章》到伽罗华理论等。课程组所编的线性代数教材已由中国农业出版社出版[9]。

（二）有效利用线上教学平台，优化线性代数的在线育人功能

随着混合式教学模式的推进，线性代数课程的线上教学平台可选用爱课程网站上自建的SPOC（small private online course，小规模限制性在线课程）。课程首页设置了课程概述、课程大纲和成绩要求等，学生登录课程后可以看到公告、课件、视频、阅读材料、作业、测试和讨论区等内容。教学过程中，学生可以通过阅读公告，在学习清单引导下按时间点要求完成视频观看、作业及测试并参加讨论。所有讲授线性代数课程的教师都在SPOC平台下建有以线下课堂班级为单元的慕课堂。通过慕课堂管理模块，教师可以及时掌握学生的学习状况，包括学生在线观看视频、完成练习情况以及线下课堂的考勤情况、回答问题情况等，并通过线上备课活动等形式开展个性化教学。

线上课件、视频是课程知识传授的主要载体，视频讲解采用画龙点睛式和隐性渗透式的方法开展课程思政，课件文档不断增加阅读材料和相关链接，除已有李善兰与李善兰恒等式、《九章算术》与矩阵等资料外，还重点增加了线性代数在农业科学中的应用系列，包括矩阵的应用、密码学中的编码与解码、投入产出问题、农业发展与环境污染增长模型、莱斯利种群模型等。合理利用网络资源，特别是一些结合科技前沿和新闻资讯等的实时性相关资源，不仅有利于实现专业教学与课程思政的同向同行，而且可以很好地体现教师认真负责的工作态度和率先垂范的优秀品格，起到协同育人的效果。

课程思政是当今高校持续进行的一项重要工作，课程思政元素的挖掘、课程相关教材和教学平台的建设、教师的教学艺术缺一不可。课程组虽然已经做了大量线性代数课程思政相关资源的建设工作，出版了教材，自建了SPOC，开展了线上线下混合式教学的探究等，但如何用好这些资源，真正有效地开展线性代数课程思政，还需要授课教师在教学中不断思考与探索，进一步提升开展课程思政的亲和力和说服力，在向学生传授专业知识的同时，完成好新时代立德树人的根本任务，提升育人质量。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 习近平. 习近平谈治国理政：第二卷[M].北京：外文出版社，2017.

[2] 刘三明.将思政教育融入应用工程数学课堂教学中的探索[J].教育教学论坛，2020（22）：346-347.

[3] L.戈丁.数学概观[M].北京：科学出版社，2001.

[4] 刘洪元.高斯消元法是中国古法[J].沈阳农业大学学报，2003（1）：56-58.

[5] 李文汉.高斯消元法是中国古法[J].教材通讯，1992（1）：30-32.

[6] 张必胜.李善兰的学术人生及教育思想研究[J].高教探索，2019（4）：117-123.

[7] 王树和. 数学聊斋[M]. 普及版.北京：科学出版社，2004.

[8] 楊威，陈怀琛，刘三阳，等.大学数学类课程思政探索与实践：以西安电子科技大学线性代数教学为例[J].大学教育，2020（3）：77-79.

[9] 曹殿立，马巧云. 线性代数[M]. 2版.北京：中国农业出版社，2020.

［责任编辑：庞丹丹］