基于“问题变式”的思维拓展教学设计

傅海伦 廉海燕

【摘 要】 运用“问题变式”教学，有助于提高学生的学习主动性，培养学生的创新精神以及加强学生思维的深刻性.旋转相似问题是中考的热点和难点问题，凡是涉及三角形旋转相似模型的问题，学生解决起来都比较困难.为了更好的突破这一难点，在相似三角形的新授课中，特别突出了旋转相似模型的建立、应用及变式练习环节，是拓展式教学在三角形相似问题中的一次初步探索.

【关键词】 数学拓展式；相似三角形；旋转；变式问题

1 “问题变式”的思维拓展教学的要义

数学拓展式课堂教学旨在丰富学生的数学视野，加强对数学教学内容的深入理解，在深度和广度上培养学生的数学探究意识和兴趣，建立科学的思维方法和探究方法，在提出和发现数学问题、分析与解决问题的能力上得到提高，促进学生均衡而有个性地发展，提升学生数学素养 [1] .

作为学生的一项基本数学学习能力，解题能力的提升是思维品质提升的外在表现.通过外在启发和内在思考，学生能够获得新的认识，产生新的解决问题的策略和方法，从而提高数学解题能力，进行数学思维的拓展.在这个过程中，要求教师对课堂中学生的不同思维方式给予足够的尊重、用心发掘与引导，给学生自由的学习空间，鼓励学生主动发现、敢于创新，进行差异化教学，因材施教，同时根据学生的思维发展特点，实施进阶式、层递式的思维拓展教学，其中一种就是基于“问题变式”的思维拓展教学.

所谓“问题变式”，是指教师通过精选有价值的数学问题或精心设计问题情景，并有目的、有计划的对问题进行合理的转化 [2] .不少一线教师坚持“题海战术”，即同一类题型对应着固定的解题方法，实施“灌输式教学”，易导致学生通过练习就可以熟练掌握教师教授的内容，学生很少主动思考和探索，从而造成思维的固化和僵化，形成思维定势.因此我们提倡运用“问题变式”教学，对症下药.

运用“问题变式”教学，不仅能够激发学生的学习兴趣，提高学习主动性，还可以培养学生的创新精神，加强思维的深刻性.事实上，“问题变式”教学在日常教学中比较常见，“问题变式”就是将例题的条件或结论进行增减或变换，不断改变问题中的非本质特征，但要将本质性因素保留下来，使学生能够掌握数学对象的本质属性.通过“问题变式”教学，教师有意识引导学生从“变”中发现“不变”的本质，使学生融会贯通，培养求同存异的思维品质，从千变万化中感悟数学的魅力.

因此，在基于“问题变式”的思维拓展式数学教学中，教师应搭建合理的学习平台，要开发和拓展学生的数学思维，必须要尊重学生的思维方式，肯定学生的探索精神.为具体体现此拓展模块的教学活动，考虑设计三个栏目，分别为思维“加油站”，构造基础模型，为学生搭建数学学习的“脚手架”；思维“步步高”，让学生体会模型的应用，不断加深学生对模型的认识与理解；最后设计“凌绝顶”栏目，进行习题变式设计，从而拓展学生的思维，逐渐加深学生思维的深度和广度.

2 “旋转相似模型”思维拓展类型

旋转是中考热点，也是难点.旋转问题要准确把握图形旋转的过程，明确图形的旋转轨迹，从旋转中心、旋转角、旋转图形等方面抓住图形旋转的特征，体会旋转的本质.三角形相似作为初中几何的核心部分，是一个重要的概念，同时也是一个计算工具，贯穿在锐角三角函数、旋转、圆等的学习中，重要性不言而喻.要理解三角形相似的本质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质定理，在此基础上解决相应问题.

三角形的旋转相似变换，是将旋转与三角形相似结合，具有极丰富的内涵，通过位置变换，将分散的条件和结论集中到相关图形中，能够将特殊问题一般化，化未知为已知，从而更有利于问题解决.旋转相似不仅体现在角度、线段的求解，而且更重要的是解决了一些重要模型（如瓜豆模型）的基础支撑，经常涉及数形结合、分类讨论、构造和化归转化等思想方法，并且蕴含着轨迹的重要思想.

事实上，几何学旨在研究几何图形运动过程中那些保持不变的性质，体现了变与不变既对立又统一的辩证思想.旋转能够保持原有图形的性质，旋转的对应边、对应角保持“不变”，而改“变”图形的相对位置，因此在应用旋转相似模型的过程中要重点关注“變化”中的“不变”，化动为静，化繁为简，充分利用此模型的结论来简化解题过程.中考常依据旋转相似模型为基础设置综合性问题，学生掌握旋转相似模型，有利于形成解题思路、节约大量时间、提高解题效率，进而加深对轨迹、类比探究等数学思想方法的理解，从而感受旋转的运动美和相似的朦胧美.

此类问题的特点有：第一，类比探究，注重考查学生大胆猜想、自主探索、举一反三的能力，多数题目问题设置为由特殊情形到一般、复杂情形逐步深入，思想方法一脉相承.第二，便于与其它知识相联系，解题方式灵活多变，注重考察学生分析问题和解决问题的能力.在这一理念的引导下，近几年的数学中考加大了这方面的考察力度.

模型教学在初中数学的几何教学板块中占据主要位置，徐海霞指出几何模型教学有三个重点：模型本质、模型性质特征和构建方法 [3] .因此在具体的教学实践中，教师要重视对学生数学建模意识的培养，基于真实情景对模型开展研究，引导学生掌握从复合图形提取基本模型的方法，总结结论，进而应用模型解决实际问题，从而促进学生解题经验的积累.旋转相似模型要求从旋转的视角把握相似三角形，是相似三角形和旋转问题的延申和拓展，有利于培养学生的模型意识和创新精神、几何直观素养和数学建模素养，提升数学建模能力和实践能力.

首先，基于问题变式的思维拓展数学教学，通过思维“加油站”建立模型，使学生知其然知其所以然.其次，将旋转相似模型进行学以致用，加深学生对模型的理解与认识.然后，设计习题变式，小试牛刀，鼓励学生主动思考，从而提高解题效率，扩展解题思维，养成良好的思维方式.最后，进行旋转相似模型的拓展，选取真题，使学生积累做题经验，拓展思维.

3 基于“问题变式”的“旋转相似模型”思维拓展教学设计

鉴于对相似三角形的教材分析和中考考查要点分析，本节课在拓展式教学设计过程中特别重视了旋转相似模型的渗透.引导学生理解模型的实质，掌握基础知识.

3.1 思维“加油站”——模型建立

如图1，已知△ABC∽△ADE，则ABAC=ADAE，∠BAC=∠DAE，所以∠BAD=∠CAE，则△BAD∽△CAE.

旋转相似模型的一般过程为：首先将三角形放大或缩小得到相似，如图1，△ABC∽△ADE，然后△ABC绕旋转中心点A、旋转角度为∠BAD进行旋转，经过这种同时旋转、缩小（相似）的变换后，再连接BD和CE（图中虚线），就得到了第二组相似三角形△BAD∽△CAE，使原本并无关联的BD和CE建立了对应边成比例的关系.

旋转相似模型的实质是通过对应边成比例及夹角相等判定三角形相似，围绕公共顶点，由已知寻求衍生相似三角形.在解决实际问题时，必须明确“相似必成双”，找到新的相似三角形，根据两对相似三角形的性质解决实际问题.旋转相似模型结构简单，提供了一个较为简便的解决问题的方法，然而作为压轴的综合性主观题，此模型经常蕴含在复杂的图形情境中，依赖学生敏锐的观察力，认真剖析题目条件，作出辅助线构造相似三角形，快速提取旋转相似模型.

接下来，为了进一步深化学生对旋转相似模型的理解与认识，笔者又设计了“步步高——模型应用”环节，用下面两个题目体现模型的应用，并为下一栏目做好铺垫.

3.2 思维“步步高”——模型应用

例1 如图2，在Rt△OAB和Rt△OCD中，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC，与BD的延长线交于点M，求∠AMB的度数.

分析 本题为旋转相似模型的典型应用，解题关键在于基于两相似直角三角形，通过对应边成比例且夹角相等证明△BOD∽△AOC，进而得到对应角相等.

解答 因为∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，所以OBOA=ODOC=33，又∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，即∠DOB=∠COA，所以△BOD∽△AOC，所以∠OBD=∠CAO，則∠OBA=∠OBD+∠DBA=∠CAO+∠DBA=60°，又∠OAB=30°，所以∠AMB=90°.

点评 本题考察相似三角形的判定及其性质，注意到本题中最根本的两个三角形为直角三角形，其它三角形由此衍生而来，从而使分析、提取旋转相似模型大大降低了难度，有利于学生体会旋转相似模型的内涵及解题方法.

例2 如图3，已知等边△ABC、△ADE，连接CE、BD，若∠DEC=60°，证明B，D，E三点共线.

分析 本题考察了旋转全等三角形，利用△ABD≌△ACE可得出∠ADB=∠AEC=120°，所以∠BDE=∠ADB+∠ADE=180°，即三点共线.

解答 因为∠BAC=∠DAE=60°，∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE，又AB=AC，AD=AE，所以△ABD≌△ACE（SAS），所以∠ADB=∠AEC=∠AED+∠DEC=120°，进而∠BDE=∠ADB+∠ADE=180°，所以点B，D，E在同一直 线上.

点评 本题目没有涉及三角形相似，而利用了三角形全等，但同样包含三角形旋转的过程，本题旨在让学生体会旋转相似和旋转全等的相同点和不同点，在探索过程中发现旋转的本质，同时为下一个栏目做好铺垫.接下来我们将习题进行变式，将模型进行扩展.

3.3 思维“凌绝顶”——习题变式设计

变式1 如图4，在等边△ABC中，D为内部一点，连接AD，线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接BD，DE，CE，延长ED交直线BC于点F.

①如图5，当点F与点B重合时，用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系；

②如图6，当点F为线段BC的中点且ED=EC时，求∠BAD的度数.

分析 ①由两边及夹角相等证明△ABD≌△ACE，所以BD=CE.又因为△ADE是等边三角形，AE=DE，即可得到BE=AE+CE.

②经过仔细观察，我们可以大胆猜想AD=BD，∠ADB为直角，进而有△BAD为等腰直角三角形，就能得到∠BAD的度数.下一步我们要证明以上两个猜想，利用全等三角形和等边三角形的性质就可以得到AD=BD，但是如何证明∠ADB为直角呢？突破点就是构造相似三角形，根据旋转相似模型的规律，将△BAD绕点A进行旋转，旋转到点A，F，B三点共线，此时AD的对应边垂直于EF，那么辅助线就可以作AG⊥DE于点G，连接AF，从而构造出相似三角形.将以上整个过程倒推，就是本问的解题思路：过点A作AG⊥DE于点G，连接AF，有BD=CE=DE=AD，又△BAD∽△FAG，所以∠BDA=∠FGA=90°，所以△BAD为等腰直角三角形，即得∠BAD=45°.

解答 ①因为∠BAC=∠DAE，∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE，又AD=AE，AB=AC，所以△ABD≌△ACE（SAS），则BD=CE.又因为AE=DE，所以BE=BD+DE=CE+AE.

②如图7，过点A作AG⊥DE于点G，连接AF，因为AD=ED，由①可知△ABD≌△ACE，BD=EC，又已知条件ED=EC，所以AD=BD.又因为∠DAG=∠BAF=30°，所以AGAD=AFAB=32，又∠DAG+∠DAF=∠BAF+∠DAF，即∠FAG=∠BAD，因此△BAD∽△FAG，所以∠BDA=∠FGA=90°，就有△BAD为等腰直角三角形，即可得到∠BAD=45°.

点评 本题考查旋转相似模型，与基本模型的区别是先旋转再相似.第①问是例2的变式拓展，图形相同，将结论和条件进行互换，但是利用全等三角形的性质来解题的本质不变.此题难点在于第②问，学生无法直接提取出旋转相似模型，甚至无从下手，关键在于不断尝试合理添加辅助线构造相似三角形.

变式2 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上且BD=13BC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，设旋转角为α，连接BE、CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF.（0°＜α＜180°）

①如图8，求线段AF与BE的数量关系；

②如图9，当B、E、F三点共线时，连接AE，试判断四边形AECF的形状并说明理由.

分析 ①本小问考查了旋转相似模型，根据两边成比例且夹角相等，可证明△AFC∽△BEC，对应边成比例，就有BE=2AF.②首先通过观察不难猜想四边形AECF是平行四边形，因为第①问给出了线段的关系BE=2AF，然后以EF为中介，在Rt△BFC中找出BE和EF的关系，又已知CE和EF的关系，就能得到对边相等CE=AF（此处难点在于如何寻求BE和EF的关系，结合题目条件BD=DE和△BFC为直角三角形，尝试取BC的中点，记作M，连接MF，就有∠BFM=∠FBD=∠BED，所以ED∥FM，相应边成比例便得BE=2EF.）.第二步证明对边平行，根据△AFC∽△BEC，∠AFC=∠BEC=135°，则∠AFE=∠FEC=45°，所以AF∥CE，因此四边形AECF是平行四边形.将以上辅助线进行总结：过点A作AM⊥BC，连接MF，然后将整个推导过程倒推即为解题思路.

解答 ①因为△ABC和△EFC均为等腰直角三角形，所以BCAC=ECFC=2，∠ACB=∠FCE=45°，所以∠ACB-∠ACE=∠FCE-∠ACE，即∠FCA=∠ECB，所以△AFC∽△BEC，则BEAF=BCAC=2，BE=2AF.

②四边形AECF是平行四边形.理由如下，如图10，过点A作AM⊥BC，连接MF，因为∠BAC=90°，AB=AC，所以BM=MC=12BC，又因为DB=DE，则∠DBE=∠BED，因为∠EFC=90°，FM为中线，所以BM=FM，则∠BFM=∠FBD=∠BED，所以ED∥FM，BEEF=BDDM，又因为BD=13BC，DM=BM-BD=12BC-13BC=16BC，所以BE=2EF，又由①可知，BE=2AF，所以AF=2EF，又因为在等腰直角△CEF中，CE=2EF，所以AF=CE.因为△AFC∽△BEC，所以∠AFC=∠BEC=135°，则∠AFE=∠AFC-∠EFC=45°=∠FEC，所以AF∥CE，综上可知，四边形AECF是平行四边形.

点评 在思维“步步高”栏目中，例1依托于直角三角形，例2和变式1依托于等边三角形，如果旋转相似模型从特殊的三角形拓展到一般的三角形，学生能否准确剖析图形结构、快速提取旋转相似模型，为此题的考察目的.本题主要利用了相似三角形对应边成比例的性質，从整体到局部，在复合图形中合理添加辅助线构造出旋转相似模型是解决问题的关键.

以上两个变式题分别改编自2022年和2021年的济南市中考真题，此类型题目固定分值为12分，占比较大，难易程度属于中等偏上，将两个旋转相似题目进行比较，从题目设置的数量和结构上来分析，一般第（1）问通过三角形全等或相似判断直接给出线段的数量关系，第（2）问又细分为两道题目，图形或线段进行旋转，旋转到某一特殊状态时，判断上一题的结论是否仍然成立，并给出证明；求解较为隐蔽的角度、边长、图形形状等，过程比较复杂，一般涉及辅助线、全等、相似、平行线、等边和等腰三角形的性质等，综合考查学生缜密的逻辑思维能力，注重考察学生的综合能力.整个题目从易到难，从基础性到综合性，考查学生类比探究的能力，学生要联系已有经验，从未知到已知，结合题目情境，从特殊情形到一般情形，通过理解、照搬前面的框架寻求解决问题的方法，经过严谨的推理论证后完成解题步骤.这就要求教师在此部分的教学活动中，引导学生发现模型实质，加深理解与认识，拓展学生的思维.

总而言之，以上的教学设计，是数学拓展式教学在旋转相似模型中的尝试探索过程.教师通过一系列的例题和变式练习题的设计，帮助学生探索旋转相似解题的基本方法：在思维“加油站”栏目先建立模型，然后思维“步步高”应用模型、思维“凌绝顶”设计变式，层层递进，梯度性好，有效的降低了学生思维的跨度，同时给予学生切实可行的方法性指导，对于提高学生的学习兴趣、帮助学生解决思维难点有较好的示范效果.参考文献

[1]傅海伦，权奎，孟庆玲，刁桂兰.数学拓展式课堂教学及案例分析[J].中学数学杂志，2016（08）：14-17.

[2]王晓，傅海伦，徐小惠，于春杰.数学拓展式习题课变式问题的教学策略[J].中学数学杂志，2017（02）：18-20.

[3]徐海霞.关于旋转相似模型的解读探究[J].数学教学通讯，2021（11）：83-85.

作者简介

傅海伦（1970—），男，山东曹县人，教授，博士生导师；主要研究数学教育.

廉海燕（2000—），女，山东济宁人，硕士研究生;主要研究数学教育.

基金项目 2021年度山东省社会科学普及应用研究项目“传统数学文化传播与拓展读本”（2021-SKZZ-24）；2022年山东省优质专业学位教学案例库“教育硕士专业学位研究生《数学教学设计与实施》案例库建设”（SDYAL2022067）；山东师范大学优秀研究生课程建设项目“《数学课程与教材研究》‘本硕一体化卓越数学教师培养模式创新研究与实践”（2021BJ053）.