浅析导数的应用

吴宗德

【摘 要】 导数在高中新课标中的下移，对高中函数的诸多问题的解决带了福音，如可以用导数来解决函数中的最值问题，单调问题，不等式问题，还可以与解析几何相联系。因此，在中学教学过程中，对导数相关内容的教学也就成了教学的重中之重，也是高考的必考点。

【关键词】 导数；应用；函数；中心对称图形；切线；旋转

【中图分类号】G633.22 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）07-0-01

导数在高中新课标中的下放，对高中函数的诸多问题的解决带来了福音，如：可以用导数来解决函数中的最值问题，单调问题，不等式问题，还可以与解析几何想联系。因此，在中学教学过程中，对导数相关内容的教学也就成了教学过程中的重中之重，也是高考的必考点。而本文则以导数应用的其中的一个方面（解决简单函数图形的中心对称问题）来说明导数的妙处。

一、情境场景

在新课标的教学过程中，一个偶尔的机会遇到这样一题：

已知函数其中为常数。

证明：函数的图形为中心对称图形。

而遇到这道题的时候，刚好我们教学内容也进行到导数这一章，于是我的第一反应这道题应该与导数的相关内容有关（因为函数的最高次数已经是3次了），可具体的相关情况感觉是一头雾水。于是静坐下来对此题进行了细心的分析，终于功夫不负有心人总算有所收获，特此和大家一起来分享。

二、分析探讨

首先我们从函数的形式上来分析：

第一、最高次数是三次，超出了我们高中阶段对于一般函数图形画法掌握的要求，即使如此选择多项式的合并提取等想关内容也无法将高次变成低次的相关我们熟悉的形式，所以直接从三次图形上或多项式的变形处理上来选择明显不合适。

第二、本函数表达式中出现了参数，从而这道题不在是一个单一某个函数的问题，而是指这一类函数的情况，具有通性。也因为参数的出现，急需一种通法解决更是合适的决定，要不以后同类问题上还是会留下后遗症。

第三、我们从函数所要解决的问题情况来看：不是解决常规的定义域、值域、单调性、奇偶性的问题，而是函数图形的中心对称问题。

那么分析到这个时候问题就出现了：为什么在一个高次函数问题中（而且是含参数的函数）设计一个中心对称图形的问题呢？做为一个高中阶段的学生或教师自然会想到——导数。那么如何解决这个问题呢？我们还要注意这道题中所包含了那些内容呢？

三、内容分析

我们知道中心对称图形是指如果把一个图形绕某一点旋转180°后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。该点称为对称中心.而在新课标下来说，只对于简单函数画法做必须掌握的要求外，其它相对较复杂函数的图形根本不做要求。也因为如此，这个外加参数的函数图形就更没办法去处理了。

而在高中教学过程中对处理这种简单高次形式的问题，只能借助于导数去解决。

我们知道若函数图形关于点对称，由函数的中心对称原理可得，在与处的切线必平行（关于对称点旋转后图形必重合）

那么，对于函数的导函数来说，要是的图形中心对称，则只需函数关于轴对称即可。

四、解决问题

通过上面的分析可得，要证明这个命题，则只需证明，存在使得成立即可，那么现在这个问题很容易解决了：

解：因为为一个一元二次函数，以为对称轴的轴对称函数，

所以满足：，即存在。

那么函数必为中心对称函数，

且以为对称中心。

举例：求以为对称中心时函数中的的值_____。

解决办法也是如此：

因为，所以对称轴，则

到此为止，这个问题就便得到完整解决了，不难从中发现解决此类型的问题的关键是保证导函数为一个轴对称函数即可。

细细品来，我感谢导数。如不是导数的存在，要想解决这个问题可不知要费多大的工夫，我也庆幸我自己因为遇到这一道题而使我认真去思考解决这类问题，从而为我在今后的教学工作中多了一个问题解决的方法，多了一份自信。

这也恰恰是导数魅力之所在。