利用转化思想 提升运算能力

徐小玉

摘 要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出要让学生理解数学思想方法、学会自己学习.而转化思想作为重要的数学思想，是教师教学中的重点.通过系统解读教材，发现“数与运算”主题的内容结构化特征明显，教学时运用转化的思想可将这个主题的内容有效联系起来，促进学生知识与方法的迁移，使学生学习变得更轻松更持久，其核心素养也能得到发展.

关键词：小学数学；数与运算；内容结构化；转化思想

2022年版新课程标准的修订，更注重数学课程的整体性与一致性，在数与代数领域由原来的四个主题变为两个主题，把负数、方程、反比例相关内容都移到了初中进行教学.下面具体说说“数与运算”主题的内容结构化特征.

1 “数与运算”主题中内容结构化的特征分析

整个小学阶段“数与运算”主题，横向来看是发展学生对数的认识，即整数、小数、分数；纵向来看是发展学生的运算能力，即不同运算的发展.两者螺旋递进，如：认识自然数的同时，运算也随之产生，从1开始每次+1，产生一个新的数.

1（+1）→2，2（+1）→3，3（+1）→4……

加法是所有运算的基础，其他运算都可从加法运算导出：减法是加法的逆运算，乘法是求相同加数的和，除法是乘法的逆运算.整数、小数、分数的运算，核心概念都是“相同数位上的个数相加”.

新版数学课标的统整，加强了“数与运算”主题中的内在联系，突出课程内容结构化的特征.目的是让教师能深入浅出地理解教材，用转化的教学思想，使学生了解所学内容之间的关联；学生通过转化的数学思维，将所学内容的差异勾连，从而理解知识间的核心概念，促进其用数学的思维思考现实世界.

2 转化思想在“数与运算”主题中的应用

由上述分析可看出，“数与运算”主题结构化特征明显，这样的教材内容十分适合运用转化思想勾连新旧知识.

2.1 解读转化思想

转化思想是指：将对于学生而言的新知、需要解决的问题，在头脑里通过知识的重组和改变，与原有的知识相勾连，化归为已经掌握的知识、已经会解决的问题，使新知得以用学过的方法、手段来解决.通常能将复杂的问题简单化、将抽象的问题具体化、将特殊的问题一般化.

让学生理解思想方法、学会自己学习，是新课程的任务.转化思想作为重要的数学思考方法，是我们教师教学的重要目标.

2.2 运用类比，使陌生的问题转化为熟悉的问题

类比方法是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性、关系、特征、形式）的相同或类似之处，推理出它们在其他方面也可能相同或类似的一种推理方法.［1］

苏教版数学教材四年级下册第三单元“三位数乘两位数”，是在二、三年级学习“多位数乘一位数”“两位数乘两位数”基础上的延续，也是小学阶段整数乘法的最后部分内容.因此要学习“三位数乘两位数”，必然要让学生勾连旧知“两位数乘两位数”，教学环节可以这样设计：

2.2.1 导入：回顾两位数乘两位数的算理、算法

师：老师从家到学校步行需要21分钟，每分钟走91米，请问老师家到学校的距离是多少米？

（教师首先让学生列竖式计算91×21，同时让两名学生上台板演列竖式解题过程，引导学生复习“两位数乘两位数”的算理及算法）

2.2.2 新授：类比三位数乘两位数与旧知的关联

师：我们再来解决一个问题：李叔叔从某城市乘火车去北京用了12小时，火车每小时行145千米，该城市到北京有多少千米？

（教师引导学生读题，并分析题目中的数量关系）

师：那我们该怎么列式呢？

生：145×12=.

师：这是几位数乘几位数呀？

生：“145”是三位数，“12”是两位数，所以是“三位数乘两位数”.

师：是的，让我们今天一起学习“三位数乘两位数”.

师：同学们自己试着计算一下145×12.

预设1：将12分解成10加2，145乘2等于290，再用145乘10等于1450，最后用290加1450等于1740.

預设2：将12看成2乘6，先用145乘2等于290，再用290乘6等于1740.

预设3：将12看成3乘4，先用145乘3等于435，再用435乘4等于1740.

预设4：还可以列竖式计算.

2.2.3 拓展：四位数乘两位数、三位数乘三位数的算理、算法

师：三位数乘两位数的计算方法和两位数乘两位数的计算方法是一样的，那还有几位数乘几位数呢？你会计算吗？

本节课是要通过“两位数乘两位数”与“三位数乘两位数”的算法类比，发现共同部分：都是将第一个因数看作整体，先用第二个因数的个位乘第一个因数，再用第二个因数的十位乘第一个因数.（如图1）勾连旧知建模后，学生不再对“三位数乘两位数”的计算感到陌生，通过熟悉的模型解决三位数乘两位数的问题，同时为以后解决多位数乘多位数的问题奠定了算法基础.

除了要关注“三位数乘两位数”知识的生长点，也要关注到教材的连续性.预设的前3种运算方法，都是将第二个因数进行分解，实质上是为学习同册书第五单元乘法分配律和结合律埋下了伏笔.数与运算主题中结构化的特征，为使用转化思想进行教学提供了内容基础.

2.3 统一条件，把特殊的问题转化为一般的问题

统一条件就是通过协调问题中未统一的部分，来突出条件之间的本质联系，便于解决问题.这在解决较复杂的分数加减乘除时，作用显得尤其突出.［1］

苏教版数学教材五年级下册第五单元“异分母分数加法和减法”，是在学习了“同分母分数加法和减法”“倍数和因数”的基础上进行教学的.例题出示了两个异分母分数相加的算式“12+14”，由于分数单位不同无法直接进行加减计算.这节课的难点就是在于理解：计数单位相同方可进行计算；学生要体会知识之间内在的联系，感受转化思想在数学中的应用，从而提升数学思维能力.可以这样设计教学环节：

2.3.1 导入：脑筋急转弯揭示核心概念——计数单位相同才能相加减

师：1+1什么时候可以等于11？

谈话：比如1元+1角=11角.

追问：为什么不是等于2元或者2角呢？

预设生：单位不同.

明确：单位不同时，不能直接相加.

2.3.2 新授：明确分数加减的前提——统一分数单位

例1 明桥小学有一块长方形试验田，其中12种黄瓜，14种番茄.黄瓜和番茄的面积一共占这块地的几分之几？

师：异分母分数加法又该怎样计算呢？请同学们根据自己的理解和经验，借助手中的长方形纸折一折，看一看，想一想，试着来解决这个问题.

预设1：12+14＝26＝13，

预设2：12+14＝16，

预设3：12+14＝24+14＝34，

预设4：12+14＝0.5+0.25＝0.75＝34，

反馈交流：答案各不相同，哪种算法对呢？为什么对？错的又错在哪里？

讨论预设3的算式，12与14的分数单位不同，不可以直接相加.

明确：先化成分母相同的分数，也就是让它们的分数单位相同，分数单位相同就能直接相加了.这种把异分母转化成同分母的方法，叫做通分.

这节课中，把异分母分数转化成同分母分数，是用了统一条件的转化思想，达成了分数单位相同才能做加减法的核心概念.

2.4 数形结合，将抽象的问题转化为具体的问题

数与形之间的转化，常被老师们用来解决实际问题、分析数量关系，以及用于空间与几何中，但在“数与运算”主题用数形结合的老师并不多.实际上，数形结合利用其具体化、形象化的图示，是有利于老师阐述算理的形成，并将复杂的问题简单化的.

蘇教版数学教材五年级上册第五单元“小数乘小数”这节课的算理教学，是将小数乘法转化为整数乘法，再根据积的变化规律，确定积的小数点位置.如果画一个正方形来阐述小数乘法的算理，就能够更直观、更便于理解.

创设情境：一张桌子的桌面是长方形，长0.8米，宽0.7米，它的面积有多大？

求面积时产生新计数单位，如图2，先画一个边长1米的正方形，把边长平均分成10份，桌子的长取8份，宽取7份.在竖着分、横着分的过程中，发现共分成了100小份、每小份是0.01平方米，也就是说0.8×0.7的过程中，产生了一个新的计数单位“0.01”.这个长方形桌面，一行有8个0.01，有7行，共有56个0.01，是0.56.用这样的面积模型，来表示小数乘小数的算理，更直观，并且有利于在分数乘分数中，继续用该模型进行算理的表达.

苏教版数学教材六年级上册第二单元“分数乘分数”，算理教学时教材也采用了面积模型来介绍算理，但是教材中例题使用的情境相对复杂，学生理解起来比较困难.我们可以先采用以下简单的情境，利用数形结合，将复杂抽象的问题转化为具体的问题，从而有利于学生理解分数乘分数的算理.

创设情境：一个长方形菜地长710分米，宽310分米，它的面积有多大？

求面积时产生新计数单位：如图3，先画一个边长1分米的正方形，先找边长的710，再找边长的310，要求的大小就是涂色部分.在均分的过程中，发现产生了一个新的计数单位“1100”.这个长方形菜地，一行有7个1100，有3行，共有21个1100，即21100.

以形解数，用这样的图示可以清晰地表达，把大正方形平均分成了100份，每一份就是1100，取了其中的21份，就是21100.通过数形结合的图示，还可以清楚地感知，其实小数乘小数与分数乘分数的算理是一致的.

3 转化思想在“数与运算”主题中各年段渗透的深度

由上述分析可知，转化思想作为一种常用的推理方法，是教师教学的内容之一.但是需注意的是，在小学各年段，转化思想的渗透深度是不同的.［2］

3.1 低段学生感知转化思想

在苏教版数学教材低段里，教材只是安排了学生在运算的过程中感悟转化能够解决问题，感知即可、不必言明.例如，在教学十几减9时，可以用“想加算减”的方法解决问题.这部分教学，学生能够感知减法算式，可以转化为“9+□=1□”这样的模型来解决，不需要一步步道明其解题步骤.

3.2 中段学生了解转化思想

转化作为解决问题的策略之一，虽然是在小学高段教材中才学习的，但是中段的学习过程中，已经需要老师带领学生感知转化思想在平时课堂中的应用了.如四年级下册运算律中，看到算式中含有“4×25”“125×8”这样可以凑整百、整千的式子，就需要敏锐地把它们从多步计算中提炼出来了.例如在解决125×56时，将原式变形为125×8×7，就是对原题进行了转化.

3.3 高段学生运用转化思想

新课标要求教师不仅要授之以鱼，还要授人以渔.学生不仅要学会知识，更要学会如何学习新知识.转化思想是基础的数学思维方式，在低段、中段能润物无声地感知、累积并转化思想，到了高段，面对复杂的小数、分数乘除法时，教师要引导学生转化为已经学过的数学知识，这样对新知不会觉得陌生、抽象或束手无策.学生在以后遇到相似的问题时如果可以擅用转化思想，将复杂的问题简单化、将抽象的问题具体化、将特殊的问题一般化，那么这将终身受益.

参考文献：

［1］ 张卫星.转化思想在小学数学教学中的运用［J］.教学与管理，2009（20）：40-42.

［2］ 林碧珍.深研数学教材 渗透转化思想——试谈数学思想方法在小学数学教学中的渗透（一）［J］.湖北教育（教育教学），2010（8）：13-15.