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利用转化思想 提升运算能力

2023-07-24徐小玉

数学之友 2023年8期
关键词:转化思想小学数学

徐小玉

摘 要:《义务教育数学课程标准(2022年版)》明确指出要让学生理解数学思想方法、学会自己学习.而转化思想作为重要的数学思想,是教师教学中的重点.通过系统解读教材,发现“数与运算”主题的内容结构化特征明显,教学时运用转化的思想可将这个主题的内容有效联系起来,促进学生知识与方法的迁移,使学生学习变得更轻松更持久,其核心素养也能得到发展.

关键词:小学数学;数与运算;内容结构化;转化思想

2022年版新课程标准的修订,更注重数学课程的整体性与一致性,在数与代数领域由原来的四个主题变为两个主题,把负数、方程、反比例相关内容都移到了初中进行教学.下面具体说说“数与运算”主题的内容结构化特征.

1 “数与运算”主题中内容结构化的特征分析

整个小学阶段“数与运算”主题,横向来看是发展学生对数的认识,即整数、小数、分数;纵向来看是发展学生的运算能力,即不同运算的发展.两者螺旋递进,如:认识自然数的同时,运算也随之产生,从1开始每次+1,产生一个新的数.

1(+1)→2,2(+1)→3,3(+1)→4……

加法是所有运算的基础,其他运算都可从加法运算导出:减法是加法的逆运算,乘法是求相同加数的和,除法是乘法的逆运算.整数、小数、分数的运算,核心概念都是“相同数位上的个数相加”.

新版数学课标的统整,加强了“数与运算”主题中的内在联系,突出课程内容结构化的特征.目的是让教师能深入浅出地理解教材,用转化的教学思想,使学生了解所学内容之间的关联;学生通过转化的数学思维,将所学内容的差异勾连,从而理解知识间的核心概念,促进其用数学的思维思考现实世界.

2 转化思想在“数与运算”主题中的应用

由上述分析可看出,“数与运算”主题结构化特征明显,这样的教材内容十分适合运用转化思想勾连新旧知识.

2.1 解读转化思想

转化思想是指:将对于学生而言的新知、需要解决的问题,在头脑里通过知识的重组和改变,与原有的知识相勾连,化归为已经掌握的知识、已经会解决的问题,使新知得以用学过的方法、手段来解决.通常能将复杂的问题简单化、将抽象的问题具体化、将特殊的问题一般化.

让学生理解思想方法、学会自己学习,是新课程的任务.转化思想作为重要的数学思考方法,是我们教师教学的重要目标.

2.2 运用类比,使陌生的问题转化为熟悉的问题

类比方法是通过对两个研究对象的比较,根据它们某些方面(属性、关系、特征、形式)的相同或类似之处,推理出它们在其他方面也可能相同或类似的一种推理方法.[1]

苏教版数学教材四年级下册第三单元“三位数乘两位数”,是在二、三年级学习“多位数乘一位数”“两位数乘两位数”基础上的延续,也是小学阶段整数乘法的最后部分内容.因此要学习“三位数乘两位数”,必然要让学生勾连旧知“两位数乘两位数”,教学环节可以这样设计:

2.2.1 导入:回顾两位数乘两位数的算理、算法

师:老师从家到学校步行需要21分钟,每分钟走91米,请问老师家到学校的距离是多少米?

(教师首先让学生列竖式计算91×21,同时让两名学生上台板演列竖式解题过程,引导学生复习“两位数乘两位数”的算理及算法)

2.2.2 新授:类比三位数乘两位数与旧知的关联

师:我们再来解决一个问题:李叔叔从某城市乘火车去北京用了12小时,火车每小时行145千米,该城市到北京有多少千米?

(教师引导学生读题,并分析题目中的数量关系)

师:那我们该怎么列式呢?

生:145×12=.

师:这是几位数乘几位数呀?

生:“145”是三位数,“12”是两位数,所以是“三位数乘两位数”.

师:是的,让我们今天一起学习“三位数乘两位数”.

师:同学们自己试着计算一下145×12.

预设1:将12分解成10加2,145乘2等于290,再用145乘10等于1450,最后用290加1450等于1740.

預设2:将12看成2乘6,先用145乘2等于290,再用290乘6等于1740.

预设3:将12看成3乘4,先用145乘3等于435,再用435乘4等于1740.

预设4:还可以列竖式计算.

2.2.3 拓展:四位数乘两位数、三位数乘三位数的算理、算法

师:三位数乘两位数的计算方法和两位数乘两位数的计算方法是一样的,那还有几位数乘几位数呢?你会计算吗?

本节课是要通过“两位数乘两位数”与“三位数乘两位数”的算法类比,发现共同部分:都是将第一个因数看作整体,先用第二个因数的个位乘第一个因数,再用第二个因数的十位乘第一个因数.(如图1)勾连旧知建模后,学生不再对“三位数乘两位数”的计算感到陌生,通过熟悉的模型解决三位数乘两位数的问题,同时为以后解决多位数乘多位数的问题奠定了算法基础.

除了要关注“三位数乘两位数”知识的生长点,也要关注到教材的连续性.预设的前3种运算方法,都是将第二个因数进行分解,实质上是为学习同册书第五单元乘法分配律和结合律埋下了伏笔.数与运算主题中结构化的特征,为使用转化思想进行教学提供了内容基础.

2.3 统一条件,把特殊的问题转化为一般的问题

统一条件就是通过协调问题中未统一的部分,来突出条件之间的本质联系,便于解决问题.这在解决较复杂的分数加减乘除时,作用显得尤其突出.[1]

苏教版数学教材五年级下册第五单元“异分母分数加法和减法”,是在学习了“同分母分数加法和减法”“倍数和因数”的基础上进行教学的.例题出示了两个异分母分数相加的算式“12+14”,由于分数单位不同无法直接进行加减计算.这节课的难点就是在于理解:计数单位相同方可进行计算;学生要体会知识之间内在的联系,感受转化思想在数学中的应用,从而提升数学思维能力.可以这样设计教学环节:

2.3.1 导入:脑筋急转弯揭示核心概念——计数单位相同才能相加减

师:1+1什么时候可以等于11?

谈话:比如1元+1角=11角.

追问:为什么不是等于2元或者2角呢?

预设生:单位不同.

明确:单位不同时,不能直接相加.

2.3.2 新授:明确分数加减的前提——统一分数单位

例1 明桥小学有一块长方形试验田,其中12种黄瓜,14种番茄.黄瓜和番茄的面积一共占这块地的几分之几?

师:异分母分数加法又该怎样计算呢?请同学们根据自己的理解和经验,借助手中的长方形纸折一折,看一看,想一想,试着来解决这个问题.

预设1:12+14=26=13,

预设2:12+14=16,

预设3:12+14=24+14=34,

预设4:12+14=0.5+0.25=0.75=34,

反馈交流:答案各不相同,哪种算法对呢?为什么对?错的又错在哪里?

讨论预设3的算式,12与14的分数单位不同,不可以直接相加.

明确:先化成分母相同的分数,也就是让它们的分数单位相同,分数单位相同就能直接相加了.这种把异分母转化成同分母的方法,叫做通分.

这节课中,把异分母分数转化成同分母分数,是用了统一条件的转化思想,达成了分数单位相同才能做加减法的核心概念.

2.4 数形结合,将抽象的问题转化为具体的问题

数与形之间的转化,常被老师们用来解决实际问题、分析数量关系,以及用于空间与几何中,但在“数与运算”主题用数形结合的老师并不多.实际上,数形结合利用其具体化、形象化的图示,是有利于老师阐述算理的形成,并将复杂的问题简单化的.

蘇教版数学教材五年级上册第五单元“小数乘小数”这节课的算理教学,是将小数乘法转化为整数乘法,再根据积的变化规律,确定积的小数点位置.如果画一个正方形来阐述小数乘法的算理,就能够更直观、更便于理解.

创设情境:一张桌子的桌面是长方形,长0.8米,宽0.7米,它的面积有多大?

求面积时产生新计数单位,如图2,先画一个边长1米的正方形,把边长平均分成10份,桌子的长取8份,宽取7份.在竖着分、横着分的过程中,发现共分成了100小份、每小份是0.01平方米,也就是说0.8×0.7的过程中,产生了一个新的计数单位“0.01”.这个长方形桌面,一行有8个0.01,有7行,共有56个0.01,是0.56.用这样的面积模型,来表示小数乘小数的算理,更直观,并且有利于在分数乘分数中,继续用该模型进行算理的表达.

苏教版数学教材六年级上册第二单元“分数乘分数”,算理教学时教材也采用了面积模型来介绍算理,但是教材中例题使用的情境相对复杂,学生理解起来比较困难.我们可以先采用以下简单的情境,利用数形结合,将复杂抽象的问题转化为具体的问题,从而有利于学生理解分数乘分数的算理.

创设情境:一个长方形菜地长710分米,宽310分米,它的面积有多大?

求面积时产生新计数单位:如图3,先画一个边长1分米的正方形,先找边长的710,再找边长的310,要求的大小就是涂色部分.在均分的过程中,发现产生了一个新的计数单位“1100”.这个长方形菜地,一行有7个1100,有3行,共有21个1100,即21100.

以形解数,用这样的图示可以清晰地表达,把大正方形平均分成了100份,每一份就是1100,取了其中的21份,就是21100.通过数形结合的图示,还可以清楚地感知,其实小数乘小数与分数乘分数的算理是一致的.

3 转化思想在“数与运算”主题中各年段渗透的深度

由上述分析可知,转化思想作为一种常用的推理方法,是教师教学的内容之一.但是需注意的是,在小学各年段,转化思想的渗透深度是不同的.[2]

3.1 低段学生感知转化思想

在苏教版数学教材低段里,教材只是安排了学生在运算的过程中感悟转化能够解决问题,感知即可、不必言明.例如,在教学十几减9时,可以用“想加算减”的方法解决问题.这部分教学,学生能够感知减法算式,可以转化为“9+□=1□”这样的模型来解决,不需要一步步道明其解题步骤.

3.2 中段学生了解转化思想

转化作为解决问题的策略之一,虽然是在小学高段教材中才学习的,但是中段的学习过程中,已经需要老师带领学生感知转化思想在平时课堂中的应用了.如四年级下册运算律中,看到算式中含有“4×25”“125×8”这样可以凑整百、整千的式子,就需要敏锐地把它们从多步计算中提炼出来了.例如在解决125×56时,将原式变形为125×8×7,就是对原题进行了转化.

3.3 高段学生运用转化思想

新课标要求教师不仅要授之以鱼,还要授人以渔.学生不仅要学会知识,更要学会如何学习新知识.转化思想是基础的数学思维方式,在低段、中段能润物无声地感知、累积并转化思想,到了高段,面对复杂的小数、分数乘除法时,教师要引导学生转化为已经学过的数学知识,这样对新知不会觉得陌生、抽象或束手无策.学生在以后遇到相似的问题时如果可以擅用转化思想,将复杂的问题简单化、将抽象的问题具体化、将特殊的问题一般化,那么这将终身受益.

参考文献:

[1] 张卫星.转化思想在小学数学教学中的运用[J].教学与管理,2009(20):40-42.

[2] 林碧珍.深研数学教材 渗透转化思想——试谈数学思想方法在小学数学教学中的渗透(一)[J].湖北教育(教育教学),2010(8):13-15.

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