必备学具巧运用 快乐高效提素养*

杭 静 (江苏省兴化市板桥初级中学 225700)

1 问题的提出

《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出:“学生的学习应是一个主动的过程,认真听讲、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式”[1],并要求教师组织学生亲历实验操作、观察猜想、推理验证等数学教学活动,激发学生学习兴趣,引发学生积极思考,引导学生在真实情境中发现问题、提出问题、分析问题和解决问题,从而获得基础知识,掌握基本技能,领悟基本数学思想与方法,积累数学基本活动经验,培养良好的数学学习习惯,形成积极的情感、态度和价值观,提升核心素养.要达到以上目标,学具的运用不失为一个重要的载体.

所谓学具,是指可供学生在开展学习活动时直接操作的用具.本文所说的学具主要指直尺、三角板、圆规、量角器等学习工具.由于这些学具是每一位学生在数学学习时所必备的,因此我们称之为学生的必备学具,它们是很重要的教学资源.如何合理使用学生的必备学具,构建快乐高效的课堂活动,有效提升学生的核心素养,是一个值得认真研究的课题.下面谈谈我们的做法与思考,供研讨.

2 运用必备学具的案例

2.1 运用必备学具理解核心概念

数学概念是构成数学理论体系的基石,是对客观世界中的数量关系、空间形式及结构联系的精辟概括,是数学对象本质属性的反映,是中学数学基础知识的核心.深刻理解数学概念是学好数学的关键,因为数学概念是进行准确判断和正确推理的基础,是提高解题能力和进行自主学习的保证．数学概念的教学是数学教学的重要组成部分,而运用必备学具可以加深学生对核心概念本质的理解．

案例1轴对称图形概念的教学.

同学们,我们已经知道轴对称图形的概念,下面请大家一起来寻找身边的轴对称图形．我们每个人都有一副三角板和一个量角器(图1)．

图1

(1)在这三件学具中,可以看作是轴对称图形的是(填字母代号),并指出它的对称轴;

(2)请先用这三个图形中的两个摆出一个轴对称图案,再画出它的草图(只需画出一种)．

设计意图轴对称图形是初中数学的核心概念之一,在教授轴对称图形的概念后,引导学生利用自己十分熟悉的必备学具来进行轴对称图形的识别与设计,以加深学生对轴对称图形概念的理解.在这个设计中,既要用概念去进行判断,又要用概念去指导操作,既有封闭性的问题,又有开放性的问题,能简洁高效地检测学生对轴对称概念的掌握与运用情况.

教学说明 由于对必备学具十分熟悉,因此问题一提出学生便兴趣盎然,纷纷动起手来,有的还不满足于设计一种图案．对于问题(1)学生均能正确判断,而问题(2)是一个开放性问题,随着解题者思考角度的不同,设计的图案也各异,绝大多数学生设计的图案如图2所示,也有学生设计出类似于图3的图案,灵活运用了轴对称图形的概念,体现出思维的灵活性、广阔性和创造性．

图2

图3

2.2 运用必备学具探究发现结论

法则、定理、公式的教学是初中数学教学中又一重要组成部分,法则、定理、公式是解题的有力武器,是学生形成关键能力的主要渠道.但许多法则、定理、公式是有前提条件的,如果改变前提条件,就可能是另一片天地.因此在法则、定理、公式的教学中,既要重视强调这些前提条件,避免使用时出现似是而非的错误,又要在学生知识储备许可的情况下,适当引导学生去掉这些前提条件,去探索新的结论,进而完善学生的知识体系,提高学生的探究能力,发展学生的核心素养.

案例2勾股定理的教学.

同学们已经知道,勾股定理在直角三角形中才能成立,即在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.那么,对一般三角形,这个结论是否成立?如果不成立,又有怎样的结论呢?你能利用手中的学具说明你的猜想的合理性吗?

设计意图勾股定理是对直角三角形而言的,但有些学生忽视这个前提条件,在一般三角形中也运用勾股定理而导致错误.因此,必须通过数学活动来强化学生对勾股定理前提条件的认识,可以利用举反例来强化,也可以通过探索非直角三角形中三边之间的数量关系来强化.而利用必备学具来探索非直角三角形中三边之间的数量关系,工具唾手可得,结论一目了然,过程快乐高效.

教学说明 勾股定理在非直角三角形中不成立,有些教师是通过举反例来强化的,还有些教师通过几何画板将直角三角形变为锐角三角形和钝角三角形,再让学生计算有关面积,进而概括出非直角三角形中三边之间的数量关系,以此进行强化．这里,引导学生通过必备学具(圆规)演示将直角三角形的直角变换成锐角和钝角,在角的两条夹边长度不变的情况下,发现角的对边分别变短和变长了,进而概括出结论,直观明了.学生将探索得到的新结论与勾股定理整合,构成了一个完整的知识体系.

2.3 运用必备学具突破重点难点

在数学学习中,有许多重点、难点需要教师通过组织数学活动帮助学生去突破,解难释疑是教师的天职.可组织的数学活动是多种多样的,而利用学生的必备学具组织的数学活动最为经济且高效.学生动手操作,通过学具的接拼与组合,再进行详细的观察与测量,对得到的数据进行分析比较,从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性,形成自己的完整数学认知,重点、难点得到突破,必备能力得到提升,核心素养得到发展.

案例3探索全等三角形的条件的教学[2].

议一议

(1)当两个三角形的1对元素分别相等时,它们一定全等吗?

(2)当两个三角形的2对元素分别相等时,它们一定全等吗?

(3)当两个三角形的3对元素对应相等时,它们一定全等吗?

请学生先独立思考,再小组内交流,最后全班展示,分别列举出只有1对元素、2对元素、3对元素对应相等的所有情况,并利用身边的学具说明三角形是否一定全等.

设计意图利用全等三角形的概念判定两个三角形全等,需要说明三边和三角分别相等,比较复杂,如何简化判定条件是教学的重点,也是难点.这里提出的三个问题,从简单到复杂,让学生通过独立思考、组内交流、全班展示,自主探索三角形全等的条件.学生充分利用自己的必备学具和教师的教具,对不全等的情况举出反例,得到至少需要3对元素(其中至少有1对边)相等才可能全等的猜想,顺利进入本节课研究的重点,提高了课堂教学的效率.

教学说明 学生对必备学具了如指掌,因此在独立思考、组内交流的基础上,全班展示时,充分利用学具列举反例,效果极佳[3].

(1)1对元素相等的情况有2种:一边、一角,此时三角形不一定全等.

一边:如图4,两块三角板有1条边相等,但它们不全等;

图4

一角:如图4,两块三角板都有1个角是直角,但它们不全等.

（1）显著降低水稻各部位稻米中镉和砷的含量且提升稻米产量。（2）有利于酸性镉污染土壤改良和镉/砷在水稻根表的吸附固定，可抑制镉和砷向水稻内部迁移。

(2)2对元素相等的情况有3种:两边、一边一角、两角,此时三角形也不一定全等.

两边:如图5,以圆规的两脚为腰组成的等腰三角形中,当顶角分别为锐角和钝角时,它们有2条边分别相等,但它们不全等;

图5

一边一角:如图4,两块三角板有1条边和1个直角分别相等,但它们不全等;

两角:我们用的小等腰直角三角板和老师用的大等腰直角三角板,三个角都分别相等(当然满足两个角相等),但它们不全等.

(3)3对元素分别相等的情况有4种:三角、两边一角、两角一边、三边．

三角分别相等的反例如前,但对于其余三种情况下两个三角形是否全等,学生们激烈地争论着,看法不一,最后都向教师投来了求助的目光.

教师在总结归纳的基础上,明确本节课研究的主题:探究两边及其夹角相等的两个三角形是否全等．

这里,学生用必备学具学习数学、理解数学、应用数学,深感必备学具的魅力,学生学得生动活泼,富有个性．

2.4 运用必备学具培养问题意识

案例4三角形内角和定理及其推论的教学.

我们在学习角的时候,曾用一副三角板拼出了一些特殊角.现在我们又学习了三角形的内角和定理及其推论,利用三角板就可以设计出运用这些知识来解决的新问题.例如,将一副三角板按图6的方式重叠,则∠1的度数为( )．

图6

A．45° B．60° C．75° D．105°

请用你们手中的一副三角板,摆出新图案,提出新问题,先组内交流,再派小组代表展示,比一比,看谁提出的问题多!

设计意图以学生熟悉的用三角板拼特殊角入手,抓住前后知识的联系,充分利用学生的知识最近发展区,通过教师的示范,引导学生拾级而上,不断变换三角板的位置,去发现和提出问题,积累发现和提出问题的经验,达到培养学生问题意识的目的．

教学说明 利用学生的必备学具设计问题是中考命题的热点,这类问题难度适中,背景公平,利于操作,使考生备感亲切．当教师布置任务后,学生十分兴奋,很快投入到问题的设计中,提出了许多高质量的问题:(1)如图7,使一副三角板一条直角边重合,另一条直角边平行,求∠1的度数;(2)如图8,使一副三角板两条斜边平行,直角顶点分别在另一个三角形的斜边上,求∠BMD的度数;(3)如图9,让一副三角板直角边与斜边平行,一个三角形直角顶点在另一个三角形直角边所在的直线上,求∠CED的度数;(4)如图10,将两个三角形重叠摆放,求∠2的度数;等等.在进行交流展示时,学生对各个问题进行了分析求解,并对有些问题进行了变式拓展,提出了新的问题.如对问题(4),有学生提出新问题:如果改变两个三角形重叠的位置,则∠1的大小是否发生变化?如果设∠1=α,你会用∠1来表示∠2吗?学生从解题者变为命题者,这个角色的转换使学生的关键能力得到了提高,核心素养得到了发展.

图7 图8

图9 图10

3 思考与建议

3.1 要充分认识必备学具的特有价值

必备学具作为学生手中的重要资源,有着特有的价值.从经济的角度来看,必备学具就在学生的手边,取放自由,经济方便,可直接触摸,任意摆弄;从熟悉的角度来看,学生在小学就与必备学具打交道,相处数年,对必备学具各自的功能十分熟悉,可依需选择,随时更换;从功能的角度来看,由于学生对必备学具十分熟悉,在数学教学中科学有效地使用必备学具创设合理适时的动手操作活动,给学生提供动手的机会,即可拉近学生与数学的距离,进而唤起学生的学习兴趣,调动学生学习的积极性.必备学具所代表的客观事物可以较清晰地呈现,因此能激发学生的直觉思维,使抽象的数学知识变得直观形象,有利于学生更好地理解掌握,会使数学学习变得自然、轻松、快乐、高效.因此,教师要充分认识必备学具的特有价值,在教学中充分用好这一资源,让学生在必备学具的操作中深刻理解核心概念,探究发现数学结论,有效突破重点难点,不断培养问题意识,助力学生提升学习效果,形成关键能力,使核心素养的培养落地生根.

3.2 要深度研究必备学具的运用策略

教师备课时,在认真研读课标和教材的基础上,要考虑如何将必备学具与教学内容有机地结合起来,深度研究必备学具运用的策略,让必备学具为提高教学效益添砖加瓦.(1)在变换中运用.在必备学具的多种变换中突出事物的本质属性,从而使学生对概念本质特征的理解更加清楚,对结论来龙去脉的探究更加明白.如案例1中,学生都是利用等腰直角三角板和量角器进行构造的,教学中可提问:用一块含30°的直角三角板和量角器可以构造吗?为什么?再如案例2中是用圆规来探究结论的,教学中可提问:变换为等腰直角三角板如何探究结论?(2)在合作中运用.在必备学具的运用中,一般学生都是单打独斗,他们总是只选择自己的必备学具,而不是与同学或老师进行合作.因此,教师要营造学具“短斤少两”的氛围,当学生发现必备学具不够用时,对合作的要求就自然变成了学生的需求,学生就会变“要我合作”为“我要合作”,这恰恰是合作学习的最美风景.如案例1中可要求学生设计出复杂一点的轴对称图案,案例3中寻找三个角相等的两个三角形是否全等的反例时教师可举起手中的三角板,案例4中可要求学生设计难度大一些的题目. (3)在解题中运用.在数学解题中,必备学具更有其用武之地(这方面的例子很多,限于篇幅,从略).在例题教学中,教师可借助典型问题引导学生学会运用必备学具去分析问题、解决问题,提升学生的解题能力.

3.3 要关注必备学具操作中的数学思维

在运用必备学具进行操作的过程中,操作只是载体,是表象,关键是数学思维,这才是内在的核心.在课堂教学中,我们要及时引导学生关注必备学具操作过程中所反映出的数学本质,引领自己的数学思维,实现必备学具操作活动的内化.(1)在操作前引领.利用学生对必备学具十分熟悉的优势,让学生在操作前将必备学具“隐形”,对操作后的结果展开数学想象,再把想象的样子在草稿纸上画张草图,最后操作必备学具进行验证.这就使得学生的思维充分外显,并得到有效引领,能更好地培养学生的空间想象能力,发展空间观念.(2)在操作中引领.在必备学具的操作中,要求学生每次操作时都说明理由,即用已经学习过的数学知识来进行数学思维.一般来说,学生对实验操作如何抽象成数学问题会感到比较困难,即不会进行数学表达.为此,教师要不断引导学生将具体的操作及相关的结论进行数学抽象并转化为数学问题,来培养学生发现问题、提出问题的能力.(3)在操作后引领.对通过操作必备学具得到的数学结论,要求学生根据操作得到的启示,运用不同的思维方法,用逻辑推理来证实(或证伪),提高分析问题和解决问题的能力,并用课堂的生成性资源来规范学生的表达,让学生学会用数学的语言来表达世界.

必备学具虽然结构都很简单,但科学使用却大有讲究.如何根据教学的具体内容灵活运用必备学具助力教与学,构建快乐高效的课堂,提升教学质量,值得我们去深度研究.