例谈用一元一次方程解应用题

摘 要：一元一次方程是初中数学的重要知识点，是解决应用题的常用工具.为掌握不同类型应用题解题方法，提高一元一次方程应用题解题效率，应针对不同应用题类型，采取不同的授课方法，这也是学生把握破题的关键.

关键词：初中数学；应用题；一元一次方程

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2023）17-0035-03

收稿日期：2023-03-15

作者简介：

邹凤（1982.8-），女，广西壮族自治区梧州人，硕士，中学一级教师，从事初中数学教学研究.

一元一次方程应用题主要有配套问题、工程问题、盈亏问题、方案问题、行程问题和几何问题^[1].列一元一次方程的关键在于寻找到等量关系，教学实践中应将抽象问题具体化，帮助学生理解、寻找等量关系，提高其应用一元一次方程的解题技能.

1 配套问题

配套问题在初中数学中较为常见，创设的情境描述的是整体与局部的关系^[2].寻找等量关系可从时间、参与人数总量入手.

例1 某生产厂家设计一种储物柜.每个储物柜由两扇门、三个抽屉、一个框架构成.一个工人每天可以做5扇门或者3个抽屉或者2个框架.如果共有38名工人，要求全部参加工作，如何分配可使得工人每天的工作刚好能配套完成一定数量的柜子，并计算每天完成柜子的数量.

该情境中柜子、框架、抽屉、门之间存在隐含的等量关系，只要设出其中一个变量，则可顺利地表示出剩余变量.同时要求学生思考工人数量与对应部件间的对应关系，构建一元一次方程.

2 工程问题

工程问题是初中数学中极为常见的问题.解答该类问题的难点在于如何理解每天工作量和天数之间的关系.很多学生不明白为什么将总工程量看做“1”.为帮助学生更好地突破这一难点，应以学生熟悉的生活情境为切入点，对工作效率加以解释，即将整个工程量看做1，则每天完成的工作量为1/天数^[3].在此基础上为使学生活学活用，应做好例题展示，看其能否正确回答.

例2 某道路改造工程由1號单位施工计划30天能够完成，结果在施工10天时接到通知需要提前8天完成工程.为完成施工要求剩余工程由1号和2号单位共同完成，结果如期完成施工任务.

（1）若要求2号单位单独完成该工程，需要多少天？

（2）若1号和2号单位同时进场，完成整个工程需要多少天？

围绕问题情境设计如下问题：

（1）1号单位的工作效率是多少？

（2）接到通知时1号单位完成的工程量该怎么表示？

（3）两单位合作的天数是多少？搞清楚者三个问题便不难列出正确的一元一次方程.

根据题干描述还需明白两个单位合作的过程中1号单位的工作效率并未发生改变，认识到这一点从2号单位的工作效率入手问题便迎刃而解.

3 盈亏问题

盈亏问题与人们的生活密切相关，多数应用题情境都来源于人们的生活.运用一元一次方程解答该类应用题的关键在于明确成本、售价、利润、打折之间的关系，尤其借助百分比和成本表示售价时应能正确表示出来，明白打折就是按照对应价格的百分之多少出售.

例3 某商店出售甲、乙两种商品.两种商品的成本总价为300元.其中甲、乙商品分别按照60%、50%的利润率出售.销售过程中均按照标价9折出售，该商店总获利114元.

（1）甲、乙两种商品的成本各多少元？

（2）若该商店投入1 000元购进这两种商品，每种商品至少购进1个，则如何安排进货获利最大？

情境中给出两种商品的成本价之和以及出售规则.授课时要求学生从甲、乙商品中的其中一个商品入手设参数，看其能否正确表示出售价格，以及如何围绕“114元”构建一元一次方程.

解析 （1）设甲商品的成本价为x元，则乙商品的成本价为（300-x）元，则对应的标价分别为（1+60%）x，（300-x）（1+50%），则根据题意可列一元一次方程：0.9（1+60%）x+0.9（300-x）（1+50%）-300=114，解得x=100，则甲、乙两种商品的成本分别为100元、200元.（2）根据题意甲、乙两种商品的利润分别为0.9（1+60%）×100-100=44元，0.9×（1+50%）×200-200=70元，相当于花费100元利润为35元.显然进的甲商品越多，获利越多，则乙商品只进1个，甲商品进8个.

4 方案问题

方案问题往往给出多个方案，要求学生选择最佳方案.吃透题意，寻找参数的对应关系是解题的关键.为提高学生条理分析问题的意识与能力，要求学生在读题后，要对题干中的“关键词”进行分类，分别寻找等量关系.

例4 使用甲、乙两种车运送货物.两车同时参与运输需各运12趟，支付4 800元费用.若甲、乙两车均单独运完，则乙车运输趟数是甲车的两倍，且乙车每趟运费比甲车少100元.

（1）甲、乙两车每趟的运费是多少？

（2）若仅使用一种车，甲、乙两车每趟还需分别支付40元，20元的损失费，单独使用哪辆车运完该批货物支出的总费较少，总费用是多少？

情境中涉及两个非常重要的关键词“运费”“趟数”.其中围绕“总运费”“甲乙运费的关系”可列出对应的一元一次方程.围绕“两车单独运输的趟数”以及隐含的工程量为“1”可列出对应一元一次方程，求出参数后计算出单独使用甲、乙的总费用.

5 行程问题

行程问题是初中数学中一类结合实际且较有意思的问题^[4].部分习题以图象设问兼顾考查学生的读图能力，解题的关键在于吃透图象纵轴、横轴表示的含义，明确变化点表示的含义.

例5 甲、乙两地相距为480 km，A、B两车分别从甲乙两点开始相向而行，A车到达乙地立即返回，B车到达甲地停止.其中B车的速度为80 km/h.两车离各自出发地的距离y（km）和行驶时间x（h）之间的关系如图1所示.

（1）图中m、n的值分别是多少？

（2）求出P点坐标，并解释该点的实际意义.

图象中的隐含信息较多，学生需根据题干描述将A、B两车的运动图象对应起来.两个图线的起始点并不相同，意味着A、B两车并不是在同一时间出发的，这一点应给予学生引导使其引起足够重视，如可询问其哪辆车先出发，哪辆车后出发中间相隔多长时间等.

解析 （1）根据题干描述折线为A车的运动图象，直线为B车的运动图象.由图像知A车单程用时4小时，则双程用时8 h.B车速度为80 km，用时480÷80=6 h，则m=8，n=6.5；（2）P点表示A车返回甲地时距甲地的距离和B车距离乙地的距离相等.由（1）可知A车的运动速度为480÷4=120 km/h.设A车行驶时间为x h，2×480-120x=80（x-0.5）解得x=5，则80×（5-0.5）=360，則P点坐标为（5，360）.P点表示的意义为A车行驶5 h后A、B两车距离各自出发点的距离为360 km.

6 几何问题

部分几何类的应用题需运用一元一次方程知识解答.解答几何类应用题常需画出草图以更好地揭示相关参数之间的内在关系，但是部分习题围绕“距离”设计的有陷阱，使学生难以识别.为提高学生解题的正确性，应为其剖析“陷阱”设在何处，如何加以识别，尤其通过展示应用题的具体解题过程，启发其在以后列一元一次方程时能更为全面地考虑问题.

综上所述，用一元一次方程解应用题时应做好题型的归类，并做好不同题型解题方法的探寻、应用以及总结.

参考文献：

［1］石莲花.核心素养视域下初中数学应用题教学的实践与探索：以“一元一次方程的应用”教学为例[J].现代教学，2022（09）：63-64.

[2] 梁飞.提升一元一次方程应用题教学效果的三个策略[J].广西教育，2021（01）：121，123.

[3] 范志德.关于初中数学一元一次方程应用解题研究[J].天津教育，2019（33）：155-156.

[4] 丁丽娟.初中数学一元一次方程应用题解题研究[J].中学数学，2019（16）：63-64.

［责任编辑：李 璟］