可压缩壁湍流热力学量统计特性分析

傅亚陆，袁先旭，刘朋欣，余明

空气动力学国家重点实验室，绵阳 621000

可压缩壁湍流是航空航天领域中广泛存在的流动现象，深入理解并掌握其统计规律具有重要的科学意义和工程价值［1-2］。可压缩湍流比不可压缩湍流更加复杂，不仅包含各种形态的涡结构，还包含膨胀和压缩等复杂波系结构。在可压缩湍流中，动能-内能通过压力做功互相转化，速度、压力、密度、温度和熵等运动学/动力学量和热力学量脉动存在强相互耦合［3］，因此研究热力学平均量和脉动量对于理解湍流中动能-内能之间的转换、建立壁模型等方面具有重要意义［4］。

随着计算性能的飞速提升和数值方法的发展和进步［5-6］，高精度直接数值模拟（Direct Numerical Simulation，DNS）方法已成为研究湍流机理的有效手段［7-9］。目前国内外学者已经对平板边界层［10-13］、槽道［14-17］和圆管［18］等规范壁湍流开展了广泛的DNS 研究，并取得较大进展。然而目前大多数研究仅针对速度、温度和压力脉动的统计特性，而对密度、熵以及各热力学量脉动间的相关性的研究还十分有限。

Coleman 等［14］对马赫数为1.5 和3.0 的可压缩等温壁槽道湍流开展了直接数值模拟，分析了温度、密度和压力脉动的均方根、流向和展向两点相关量、联合概率密度分布等统计特性，结论表明压缩性对热力学量脉动的影响不能忽略，等温边界条件显著影响了壁面法线方向的平均密度和温度梯度，最高温度/最低密度出现在槽道中心线处；随马赫数增大，壁面传热率随之增大，近壁条带结构相干性增强。2011 年，Wei 和Pollard［19］研究了马赫数为0.2、0.7 和1.5 条件下，速度脉动和温度、密度、压力等热力学量的脉动均方根、平坦度、偏斜度随中心线马赫数变化的规律，并进一步分析了马赫数对密度和压力脉动的相关系数以及脉动压力梯度和脉动涡量梯度相关系数的影响规律，发现二阶统计量在内区和马赫数相关，但在外区几乎不受马赫数影响，且近壁大尺度结构受马赫数影响明显［20］。

2013 年，Donzis 和Jagannathan［4］对DNS 数据进行分析，研究了可压缩均匀各向同性湍流的压力、密度和温度脉动的统计量，采用小扰动分析研究了脉动量、互相关和谱的标度规律，发现压力和密度脉动的概率密度函数在低湍流马赫数时呈负偏态，与不可压缩结果一致，而在高湍流马赫数时呈正偏态；雷诺数效应对单点统计量来说并不显著。Gerolymos 和Vallet［21］研究了低雷诺数可压缩槽道湍流中的热力学量脉动，并推导了热力学通量的输运方程，研究了统计量、相关系数、平衡分析，发现温度、密度、压力的归一化脉动均方根在槽道任意位置量级均相同，在低马赫数条件下亦是如此。对热力学脉动量、互相关进行研究发现，近壁区压力和温度相关性较弱，但在槽道中心线处增大；整个槽道内，压力和密度脉动、压力和温度脉动之间呈正相关，近壁区密度和温度呈负相关。除此之外，熵脉动和温度脉动存在很强的正相关，密度脉动存在很强的负相关，在法向范围y+∈(1， 100)范围内（其中y+为黏性尺度下的法向坐标），熵脉动与温度脉动的相关系数接近1，表明了二者的强相关性。速度-热力学量脉动相关性和中心线马赫数几乎无关。Gerolymos 和Vallet［22］进一步研究了热力学量脉动相关系数之间的关系，结果表明，基本热力学量的二阶矩以及无量纲脉动熵与特征马赫数呈正相关，且这些无量纲量具有相同的量级。

以上文献调研表明，目前对可压缩壁湍流中热力学量脉动的系统研究依然较少，压缩性对热力学量脉动的影响尚不明晰。因此，本文通过分析不同槽道中心线马赫数MaC=0.88～6.15 以及不同壁温比（壁温和恢复温度之比）条件下的DNS 数据，研究可压缩槽道湍流中热力学量脉动统计特性，进而给出压力、密度、温度、熵脉动的统计矩，以及各物理量之间的相关系数。

1 物理模型和数值方法

本文研究的物理模型为可压缩槽道湍流，如图1 所示，其中Ub、ρ0、T0分别为来流速度、来流密度、来流温度，Tw为壁面温度，u、v、w为速度分量。数据来源本文作者在前期建立的DNS 数据库，具体计算设置和结果的对比验证请参考文献［1］，在此简要介绍如下。

图1 物理模型示意图Fig. 1 Schematic diagram of physical model

流动的控制方程为完全气体的可压缩Navier-Stokes 方程，用张量形式可表示为

式中：t为时间；ρ、p、E分别为密度、压力和单位质量总能；ui(i=1， 2， 3)为xi方向的速度分量；τij为分子黏性应力；f1为体积力项；ϕ为热汇项；qj为分子热传导引起的热流。

分子黏性应力满足如下线性本构关系：

式中：μ为分子黏性系数，由Sutherland 公式给出。

分子热传导引起的热流qj为

式中：T表示温度；导热系数k=μcp/Pr，cp为定压比热，Pr=0.7 为普朗特数。

热力学量满足如下完全气体状态方程：

式中：R为气体常数；cv为定容比热；γ=1.4 为比热比；e为内能；s为熵。此外，动量方程中增加了均匀分布的体积力项f1以抵消黏性力做功，在能量方程中增加了热汇项ϕ以抵消黏性耗散产生的热流，保持体平均温度不变。

体平均温度Tb定义为

式中：α为热流控制参数；Tr代表来流马赫数Ma0时边界层恢复温度。

其中：r为恢复系数。

对于本文中的可压缩槽道湍流，流向和展向均为周期边界条件，上下壁面处速度满足无滑移和不可穿透条件，温度满足等温条件。

本文共考察7 组不同的算例，物理参数如表1所示。其中平均马赫数Mab、槽道中心线处马赫数MaC和摩擦雷诺数Reτ的定义为

表1 物理参数Table 1 Physical parameters

式中：Ub为平均速度；UC为槽道中心线处速度；TC为槽道中心线处温度；h为半槽道高度；ρw为壁面密度；μw为黏性系数；uτ为摩擦速度。

基于壁面总切应力τw（黏性和雷诺切应力之和）、壁面密度ρw和黏性系数μw，uτ可定义为

在本文的算例中，各组算例的摩擦雷诺数Reτ均接近500，平均马赫数范围为0.77～4.79，槽道中心线马赫数范围为0.88～6.15，包含了从亚声速到高超声速的参数范围；A1～A5 为近似绝热壁条件的流动，C1～C2 为高超声速冷壁流动。

直接数值模拟采用Li 等开发的基于有限差分的OpenCFD-SC 开源程序［23］。其中对流项在Steger-Warming 矢通量分裂后采用七阶迎风格式离散，黏性项采用六阶中心差分格式离散，时间推进采用3 阶TVD 龙格-库塔格式。

计算网格划分如图2 所示，展向z和流向x采用均匀网格，法向y采用双曲正切函数进行拉伸（在壁面附近密集）。计算参数如表2 所示。(Lx，Ly，Lz)为计算域尺寸，(Nx，Ny，Nz)为网格数。需要说明的是，算例C2 中Lx=6πh，这是因为在较低壁温下流向尺度更大，过小的计算域长度会引入非物理周期性。网格分辨率的选取已在文献［1］中做了说明，结果表明黏性尺度下的网格间距足以分辨湍流小尺度脉动。

表2 计算参数Table 2 Simulation parameters

图2 网格划分示意图Fig. 2 Schematic diagram of grid

为了更好地理解物理量的脉动，本文采用系综平均统计方法，在流向、展向和时间方向作平均。对于流动物理量φ，其系综平均为，对应的湍流脉动为φ′，即

脉动均方根为φ′rms。采用摩擦速度uτ、壁面总切应力τw、壁面密度ρw无量纲化的变量用上标“+”表示。

2 热力学量脉动的瞬时场结构

图3～图6 分别为算例A1、A5 和C1 的温度、熵、密度和压力脉动的瞬时分布，分别对应了低马赫数和高马赫数绝热壁流动，以及高马赫数冷壁流动。为了更清晰地展示流场的三维结构，本文选取了与壁面垂直的沿流向和展向分布的x-y和y-z平面和近壁处y+=30 的x-z平面上的流场分布。

图3 温度脉动T′/T0 的瞬时分布Fig. 3 Instantaneous structures of temperature fluctuations T′/T0

低马赫数流动中，近壁x-z平面上温度脉动T′（见图3）主要表现为沿流向分布的条带结构，与流向速度脉动类似。随马赫数的增加和壁温的降低，温度脉动中沿流向正负交替分布的行波包络结构逐渐显现，与速度脉动类似，这是压缩性效应在流场相干结构中的直接体现。此外，在近壁处的剪切层所引起的较强的湍流耗散会使局部温度升高，对应薄层的强温度脉动。随着法向高度的增加，相干结构的尺度逐渐增加（y-z平面）。在外区存在大尺度结构（x-y平面），其中附着在壁面上的结构与流向夹角约为45°，而非附着结构则更倾向于各向同性的分布。

熵脉动s′（见图4）在x-z平面上以大尺度的“斑块”结构为主，没有明显地表现出条带结构，表明在近壁区温度脉动与熵脉动的相关性较弱。在高马赫数流动中，近壁处的熵脉动同样存在沿流向正负交替的行波包络结构，表明压缩性效应同样体现在熵脉动中，并可能使温度与熵脉动相关性增强。在外区，熵脉动的相干结构与温度脉动相干结构分布类似，表明二者相关性较强。

图4 熵脉动s′/s0 的瞬时分布Fig. 4 Instantaneous structures of entropy fluctuations s′/s0

密度脉动ρ′（见图5）在外区与温度和熵脉动的相干结构类似，但符号相反。在近壁处，密度脉动强度较高，但是沿流向拉长的条带结构并不明显，而是表现为流向和展向特征尺度相差不大的在平面上“各向同性”的相干结构，与压力脉动（见图6）类似。根据状态方程，等温壁面附近压力和密度脉动是强相关的，因此相干结构分布类似这一现象也是合理的。在外区，压力脉动与其他热力学量的脉动均存在明显差别，因为压力不仅是热力学量，也是动力学量，其相干结构同样受到速度脉动和涡量脉动的影响。

图5 密度脉动ρ′/ρ0 的瞬时分布Fig. 5 Instantaneous structures of density fluctuations ρ′/ρ0

图6 压力脉动p′/p0 的瞬时分布Fig. 6 Instantaneous structures of pressure fluctuations p′/p0

整体而言，温度脉动T′、熵脉动s′和密度脉动ρ′在外区的相干结构分布类似；在近壁区的低马赫数流动中，上述热力学量脉动结构的分布形式差别较大，而在高马赫数流动中，行波包络形式的结构均较为明显，表明压缩性效应的增强对热力学量脉动及其互相关性具有较大影响，在流动建模中需考虑这一因素。

3 结果与讨论

本节重点讨论热力学的平均量和脉动量的单点统计矩，包括脉动均方根、偏斜度、平坦度，以及各热力学量之间及其与速度脉动的互相关系数。

3. 1 平均分布

图7 为热力学量的平均值沿法向的分布。图7（a）中的温度分布Tˉ(y)由中心线处平均温度无量纲化。由于壁温效应主要体现在近壁处，图7 中的横坐标采用了对数坐标。对于算例A1～A5，壁面处温度梯度很低，在y/h＜0.02 范围内平均温度几乎不变，而在该法向高度以上，平均温度单调降低。算例C1 和C2 则在近壁区存在一个温度的极大值点，在靠近壁面处温度随法向高度的增加而升高，远离壁面处的变化趋势相反。需要说明的是，即使高马赫数流动中流场中平均温度的最大值与槽道中心线处相差很大，这一温度梯度效应对统计量影响也并不显著。下文的研究将进一步揭示，平均温度梯度对湍流统计特性的影响主要体现在近壁区。图7（b）为平均密度沿法向高度的变化，由体平均密度无量纲化。由于流场中没有明显的压力梯度，平均压力沿法向高度的变化很小，因此平均密度和平均温度几乎呈反比。

图7 热力学平均量沿法向分布Fig. 7 Profiles of mean thermodynamic variables

图7（c）为平均熵sˉ(y)沿法向高度的变化。由于熵的绝对值没有意义，本文将壁面处的平均熵取为0，即考察平均熵与壁面平均熵之差。对于绝热壁算例A1～A5，壁面处的平均熵最高，随法向高度增加而单调递减；冷壁算例C1 和C2 则先增加后减小，在近壁处存在一个极大值点。平均熵的分布与平均温度分布在趋势上具有一致性。

由于流场中没有明显的压力梯度，平均压力沿法向的变化很小。由平均动量方程可知：

其中，黏性项的影响很小，因此压力沿法向高度的变化主要源于雷诺正应力的法向分量。图7（d）所示为平均压力与壁面平均压力差的法向分布，由壁面平均切应力无量纲化。该结果与文献［1］中雷诺应力法向正应力分量的分布和变化趋势相一致。该结果也表明，对于无明显压力梯度的流动，平均压力的分布主要取决于速度脉动，而非热力学量。

3. 2 脉动均方根

对于流动物理量的脉动量φ′，其均方根（RMS）的定义为

温度、密度、熵和压力脉动的均方根如图8 所示，分别由壁面平均温度Tw、密度ρw、熵s0、压力pw归一化。

图8 归一化的均方根热力学量脉动沿壁面法向分布Fig. 8 Profiles of RMS thermodynamic variables fluctuations

温度脉动均方根T′RMS/Tw如图8（a）所示。由于壁面处等温条件的限制，其壁面脉动强度为0。随法向高度的增加，温度脉动在近壁处达到峰值，并在外区y＞0.2h范围内单调递减。峰值所对应的法向位置随马赫数的增加而逐渐远离壁面。此外，在冷壁条件下，近壁处的温度脉动表现出“双峰值”的特点，这是因为平均温度分布是非单调变化的。对于算例C2，其峰值位置约位于y=0.05h处，该峰值上下的平均温度梯度较大，加之缓冲区的强湍流脉动，使得在峰值上下的近壁处出现了这一双峰值的特点。这一现象在冷壁条件湍流边界层中是广泛存在的［17，24］。随中心线马赫数MaC的增加，外区y＞0.2h范围内的温度脉动强度显著增强。由于马赫数是反映流体动能和内能量级之比的参数，不难推断，随马赫数的增加，黏性对湍动能的耗散所引起的内能脉动增强，且压力对体膨胀运动做功增强，使得温度脉动随马赫数增强。

密度脉动均方根ρ′RMS/ρw如图8（b）所示。与温度不同，密度在壁面处不需直接满足第一类条件，因此壁面处的密度脉动不为0。随中心线马赫数MaC增加和壁温的降低，壁面处密度脉动强度显著增加。随法向高度的增加，密度脉动强度先减小后增大，其最小值在近壁区，且随马赫数的增加和壁温的降低而逐渐外移。在外区y＞0.2h范围内，密度脉动强度随法向距离的增加而增加。与壁面脉动不同，冷壁条件的算例C2 在外区比算例C1 更低。从物理意义上，流体微团内的密度脉动对应流体微团的体膨胀运动，因此密度脉动强弱直接反映了湍流脉动中压缩性效应的强弱。因此不难推断，在近壁处，压缩性效应随马赫数的增加和壁温的降低而增强，这与Yu和Xu［17］对真实压缩性效应的研究结论是一致的；在外区，压缩性的强弱同样与马赫数呈正相关，而随壁温的降低，压缩性效应更弱。

熵的脉动强度如图8（c）所示。与温度脉动类似，熵是不直接与运动学和动力学相关的物理量。对于完全气体，熵值变化主要与2 个因素有关：一是由黏性耗散引起动能向内能的转换这一非可逆过程引起；二是由压力对流体微团的强压缩作用引起，类似于激波对流体的非等熵压缩作用。在壁面附近，虽然黏性耗散作用很强，但是黏性耗散的脉动（反映在温度脉动中）强度不高；而压缩性效应随马赫数的增加和壁温的降低显著增强，因此熵脉动强度增加。在外区，熵脉动随法向高度、马赫数和壁温的变化与密度和温度类似，在此不再赘述。

压力脉动强度如图8（d）所示。由壁面平均压力pw无量纲化的压力脉动强度随马赫数和壁温的变化趋势较为复杂。对于最低马赫数的算例A1，压力脉动强度沿法向高度的分布先增大后减小，与不可压缩湍流的结果一致，具体验证请参考文献［25］。对于算例A2～A5，随马赫数的增加，壁面处压力降低，而接近槽道中心线处压力升高。特别是对于算例A5，在外区y＞0.4h至槽道中心线处压力脉动强度几乎不变。随壁温的降低，压力脉动强度进一步减小，但在外区压力脉动强度几乎为常数这一现象没有明显改变。与温度、密度和熵等物理量不同，压力既是热力学量，也是动力学量，是建立动量和能量之间关系的桥梁。Yu 等［26］的研究对压力脉动泊松方程进行了分解，发现由剪切运动所引起的压力脉动与马赫数无关，而由体膨胀运动所引起的压力脉动则与马赫数有较大的关联。在黏性尺度无量纲化后，壁面和槽道中心线处压力脉动与马赫数呈正相关。本文以外尺度无量纲化，因此这一趋势没有得到直接体现，但是不难总结，压缩性效应对压力脉动的影响十分显著。

3. 3 概率密度分布

概率密度函数（Probability Density Function，PDF）能够更为完整地反映各物理量在各强度脉动的分布［4］。本文对PDF 预乘了脉动的平方，该曲线与横轴所围成的面积即代表了脉动的方差，直接反映了不同强度脉动对均方根的贡献。

图9 为y+=30 的预乘PDF 分布。其中温度、熵、密度和压力脉动均表现为较强的正负不对称性。对于温度和熵脉动，正值脉动分布范围较小，在约为1.2T′RMS和1.2s′RMS处达到峰值，且高于2.4T′RMS和2.4s′RMS的脉动对均方根的贡献可以忽略不计；与之相比，负值脉动分布范围更广，在约为-1.8T′RMS和-1.8s′RMS处达到峰值，在脉动值低于-4.2T′RMS和-4.2s′RMS范围内的极端事件对均方根的贡献较小。整体而言，温度和熵脉动的预乘PDF 分布随马赫数变化不大，而对壁温变化更为敏感。特别是冷壁算例C2，其强负值脉动的极端事件更为频繁，对脉动均方根的贡献更大。

图9 y+=30处热力学量脉动的预乘概率密度函数分布Fig. 9 Pre-multiplied probability density functions of thermodynamic fluctuations at y+=30

密度脉动的预乘PDF（图9（c））则与温度和熵脉动几乎呈现关于纵坐标轴线对称的分布：负值脉动分布范围较小，但预乘PDF 值更高；正值脉动分布范围较大，极端事件对脉动均方根的贡献更高。与温度和熵不同的是，密度脉动的PDF分布对马赫数和壁温均很敏感。随马赫数的增加，负值脉动的分布范围变窄，预乘PDF 的峰值升高，表明极端事件发生的概率更低，对脉动均方根的贡献更小，而降低壁温则起到了相反的作用。正值脉动的预乘PDF 分布则随马赫数的升高和壁温的降低而表现为分布范围更广、峰值更低的特点，即极端事件频率更高、贡献更大。3.2 节对密度脉动强度的讨论表明，随马赫数的升高和壁温的降低，近壁处的压缩性效应更强。图9（c）中的PDF 分布同样证实了这一结论的正确性——其预乘PDF 值升高表明流场中密度脉动不仅是速度脉动对平均密度梯度的输运引起，强压缩事件所引起的局部流体密度升高这一效应同样不可忽略。

压力脉动p′的预乘概率密度分布同样表现为正负不对称的特点。Pumir［27］的研究表明，在不可压湍流中，压力脉动的PDF 分布fp′呈负偏斜，且正方向尾部接近高斯分布。对于本文的算例，随着马赫数的升高和壁温的降低，负值脉动的预乘PDF 分布变窄，且正、负压力脉动趋向于对称。Donzis 和Jagannathan［4］的研究表明，可压缩湍流中正压力脉动的概率增大，这与本文中所给出的结果定性上是一致的，表明可压缩与不可压缩湍流中的压力脉动统计特性存在较大区别。

图10 为外区y=0.2h处的预乘PDF 分布。与近壁区y+=30 处的结果相比，温度脉动和熵脉动在正值和负值区域上的分布对称性更强，且随马赫数和壁温的变化不大。密度脉动和压力脉动则表现处与y+=30 处一致的非对称性，且随马赫数和壁温的变化趋势与y+=30 处相同，差别在于极端事件对脉动强度的贡献更小。

图10 y=0.2h处热力学量脉动的预乘概率密度函数分布Fig. 10 Pre-multiplied probability density functions of thermodynamic fluctuations at y=0.2h

3. 4 偏斜度和平坦度

本节讨论热力学量的三阶和四阶统计矩，即偏斜度S(φ′)和平坦度F(φ′)（其中φ′为任一流动物理量），其定义为

式中：偏斜度S(φ′)反映了随机变量分布的不对称性，完全对称分布的三阶矩为0；F(φ′)则反映了随机变量的间歇性，其中高斯分布的间歇因子为3.0，高于或低于该值表示该随机变量偏离高斯分布。

图11 为各算例热力学量脉动的偏斜度沿壁面法向分布。整体而言，温度、密度、熵、压力脉动几乎在全法向高度均不满足正态分布。其中温度脉动的偏斜度随马赫数和壁温变化不大。在y＜0.2h范围内变化较大，其偏斜度为负，幅值较大，表明近壁处的温度脉动为负的概率更高。在y＞0.2h的外区，偏斜度从负值逐渐变为正值，表明在外区温度脉动为正的概率更高。熵脉动的偏斜度的变化趋势与温度脉动类似，但是S(s′)随马赫数和壁温变化更为敏感，其中算例C1 和C2 在全法向高度内均为负。

图11 偏斜度沿壁面法向y/h 分布Fig.11 Distributions of skewness factors， plotted against y/h

密度脉动的偏斜度随马赫数的增加而升高，且随壁温的降低而降低。对于较低马赫数的算例A1 和A2，密度脉动在靠近壁面处为正，而在远离壁面处为负，这一趋势与温度脉动相反。而在较高马赫数的算例中，密度脉动在全法向高度范围内均为正。在3.3 节的讨论中已经指出，由于在较高马赫数流动中存在较强的压缩事件，密度脉动的正极端事件比负极端事件发生更为频繁且强度更高，因此随马赫数的增加，密度脉动的偏斜度越来越高。

对于压力脉动，低马赫数算例A1 和A2 在壁面处的偏斜度几乎为0，这与不可压缩湍流中的结论相一致［28］。而在壁面处的其他法向位置，压力脉动的偏斜度均为负值。随马赫数的增加和壁温的降低，壁面处的偏斜因子逐渐变为正值，全法向位置的偏斜度也随马赫数的增加和壁温的降低而逐渐升高，由低马赫数的负值逐渐增加为正值。这一变化规律与密度脉动偏斜度随马赫数和壁温的变化规律类似，这是由于高马赫数流动中的强压缩事件会同时引起正密度脉动和正压力脉动。

图12 为热力学量脉动的平坦度沿壁面法向分布。高斯分布的平坦因子为3.0。平坦度越大，间歇性越强，出现极端事件的概率也就越大。对于温度脉动，在靠近壁面y＜0.006h范围内，其平坦度均高于3.0，表明即使是在等温条件的约束下，靠近壁面处的温度脉动同样具有高于高斯分布的间歇性。在0.01h＜y＜0.03h范围内，F(T′)明显升高，且在平均温度最大值位置处达到峰值。这一现象是显而易见的，因为在平均脉动最大值位置处温度梯度为0，较弱的温度脉动对总温度脉动均方根的贡献很弱，而较强的温度脉动则贡献很强，进而表现为较强的间歇性。在0.1h＜y＜0.5h范围内的外区，F(T′)几乎为常数，且略低于3.0，表明此时温度脉动的间歇性较弱。在槽道中心线附近，F(T′)值略有抬升。熵脉动的平坦度变化趋势与温度脉动类似，在近壁y＜0.006h和外区0.1h＜y＜0.5h范围内F(s′) 与F(T′) 具体数值相差也不大，而在0.01h＜y＜0.03h范围内的峰值明显升高，特别是对于高马赫数的流动。整体而言，F(s′) 和F(T′)对马赫数和壁温的变化不敏感。

图12 平坦度沿壁面法向y/h 分布Fig.12 Distributions of flatness factors， plotted against y/h

密度脉动的平坦度F(ρ′)随法向高度的变化趋势与F(s′)和F(T′)一致，而各组算例的结果之间存在明显差异。在近壁y＜0.006h范围内F(ρ′)随马赫数变化不大，而随壁温的降低明显升高，表明近壁区的压缩性效应使得密度脉动的间歇性更强。在y＞0.1h范围内，F(ρ′)随马赫数的升高和壁温的降低均有明显增强，表明压缩性效应增强了密度脉动的间歇性。

压力脉动的平坦度F(p′)与其他热力学量有显著差异。对于绝热壁流动，压力脉动的间歇性在全法向位置的变化不大（算例A1 槽道中心线附近的结果除外），而在冷壁条件下，y＜0.02h范围内的近壁处压力脉动间歇性明显升高，与密度脉动的平坦度在近壁处的变化趋势一致。

3. 5 热力学量的互相关系数

对于量热完全气体，温度、熵、密度和压力之间由气体的状态方程相关联。在等熵流动中若存在小扰动，上述物理量之间脉动由等熵关系确定，其相关系数也为1.0。为了研究可压缩壁湍流中上述物理量之间的脉动关系，本文进一步对热力学量脉动的互相关进行考察，2 个流动物理量脉动φ′1和φ′2之间的相关系数定义为［29］

各热力学量脉动互相关系数R(ρ′，T′)，R(ρ′，s′)，R(ρ′，p′) ，R(s′，T′)，R(s′，p′)，R(p′，T′)沿法向（外尺度y/h）分布，如图13 所示。以下首先讨论密度、压力和温度三者的互相关。

图13 热力学量脉动间相关系数沿外尺度y/h的分布Fig. 13 Distribution of correlation coefficients between thermodynamic fluctuations， plotted against outer scaling y/h

密度和温度脉动的互相关系数R(ρ′，T′)（见图13（a））在壁面附近变化较为剧烈，在靠近壁面时为正，在近壁区迅速下降为负值，在y＞0.1h的区域内达到-0.8～-0.9 的强负相关，且这一相关性随法向位置、马赫数和壁温的变化不大。

密度与压力脉动的互相关系数R(ρ′，p′) 如图13（c）所示，二者在壁面是完全相关的，即相关系数为1.0。根据完全气体状态方程不难推断，由于等温边界条件的影响，即T′w=0，密度脉动和压力脉动直接满足p′=ρ′RTˉ这一代数关系。随法向高度的增加，二者相关系数逐渐降低，在y＞0.1h的区域随法向高度变化不大。对比不同算例，不难发现，密度和压力脉动的相关性随马赫数的增加而减弱，而随壁温的降低而增强。

压力和温度脉动的互相关系数R(p′，T′)如图13（f）所示。二者在近壁处相关性较强，而在y＞0.1h的外区相关系数几乎为0，表明压力脉动对温度脉动的作用很小。

下面讨论熵脉动与其他物理量之间的互相关。熵的控制方程相对简单，在RANS 和LES 方程中需模型化的未知项最少［21］，因此讨论熵脉动具有较强的应用价值。但其物理意义不如其他热力学量明确，因此需要借助其他热力学量对其进行理解。但是除近壁区外，熵脉动与温度脉动的相关系数R(s′，T′)几乎为1.0，表明二者具有很强的互相关性，与Gerolymos［21］和Kovasznay［30］等的研究结果一致。由熵的定义可知，熵的全微分可以展开为温度和密度的全微分之和，即

由于温度和密度脉动在外区相关性很强（如图13（a）所示），因此熵脉动与温度脉动之间同样存在相关性。进一步说，熵脉动与密度脉动和压力脉动的相关系数R(s′，ρ′)和R(s′，p′)与R(ρ′，T′)和R(p′，T′)分布类似——R(s′，ρ′)在近壁处变化较大，在外区约为0.9；R(s′，p′)在外区几乎为0，表明在平均意义上，压力脉动对熵脉动无直接作用。

3. 6 速度脉动对热力学量的输运

本节进一步讨论速度场对热力学量脉动输运的影响，主要分析密度、温度和熵脉动与流向和法向速度脉动的相关系数，统计结果如图14所示。

图14 热力学量脉动与流向速度和法向速度脉动的相关系数沿y/h 的分布Fig. 14 Distribution of correlation coefficients between thermodynamic fluctuations and streamwise and wall normal velocity fluctuations， plotted against y/h

其中速度与温度脉动的相关系数R(u′，T′)（见图14（a））在近壁区值为正，在外区值为负；R(v′，T′)（见图14（b））在近壁区值为负，在外区值为正。这一现象与Gerolymos 和Vallet［21］的结论一致。如3.1 节所讨论，这是由于近壁区平均温度随法向高度增加而升高，而外区平均温度随法向高度增加而减小所导致的。壁湍流中的速度脉动主要源于上抛和下扫事件。在近壁区，壁面附近的低温低速流体向上运动，远离壁面的高温高速流体向下运动，因此R(u′，T′)为正、R(v′，T′)为负。而在外区，上抛和下扫事件引起面附近的高低速流体向上运动，远离壁面的低温高速流体向下运动，因此R(u′，T′)为负、R(v′，T′)为正。

强雷诺比拟中指出，流向速度与温度脉动具有强相关性，即R(u′，T′)≈1。然而大量数值模拟结果表明，二者的相关系数的绝对值一般不高于0.9，且与壁温有关。本文的速度和温度脉动相关系数为R(u′，T′)≈-0.7。法向速度与温度脉动之间的相关系数的幅值R(v′，T′)与R(v′，s′)相接近，约为0.4。此外，马赫数和壁温对R(u′，T′)和R(v′，T′)的影响并不显著。

根据3.5 节的讨论，温度脉动与密度脉动呈现较强的负相关，而与熵脉动呈现较强的正相关，因此R(u′，ρ′) 和R(v′，ρ′) 与R(u′，T′) 和R(v′，T′)的变化趋势相反，而R(u′，s′)和R(v′，s′)与之变化趋势相同。这一结果表明，RANS 和LES 中的湍流热通量的湍流模型可以等效地用于建立密度和熵脉动通量的湍流模型。

4 结 论

本文对可压缩壁湍流直接数值模拟数据库进行了统计分析，研究了不同中心线马赫数MaC=0.88～6.15 以及不同壁温比Tw/Tr=1.0～0.2 条件下温度、密度压力和熵等热力学量脉动的相干结构和统计特性，得出以下主要结论：

1） 在高马赫数冷壁条件下，近壁温度、密度、熵和压力均表现为沿流向正负交替的行波包络结构，这是由于压缩性效应引起的。

2） 温度和熵脉动统计特性随马赫数和壁温变化趋势类似，主要由黏性耗散产热和压力对体膨胀运动做功所引起。其中脉动均方根温度脉动随马赫数增大而增强，并且冷壁条件下，近壁处脉动表现出“双峰值”特点。脉动的预乘PDF分布受马赫数影响不大，但对壁温变化更为敏感。偏斜度和平坦度随马赫数和壁温变化不大，近壁处的负脉动概率更高，但在y＞0.2h的外区，正脉动概率更高。

3） 密度脉动与压缩性效应直接相关，随马赫数的增加和壁温的降低，近壁处压缩性效应增强，脉动均方根显著增大；外区压缩性强弱与马赫数呈正相关，但与壁温呈负相关。脉动的PDF分布对马赫数和壁温均很敏感。偏斜度随马赫数的增加而升高，随壁温的降低而降低。平坦度在近壁y＜0.006h范围内随马赫数变化不大，而随壁温的降低明显升高；在y＞0.1h，压缩性效应增强了密度脉动的间歇性，其随马赫数的升高和壁温的降低均有明显增强。

4） 温度脉动、熵脉动和密度脉动具有较强的相关性，而这些热力学量与压力脉动的相关性较弱。湍流运动对温度、熵和密度脉动的输运作用类似。