教材写漏了吗？

高凯亮 周沁

【摘要】整式的除法是整式的四则运算内容，各版本教材对该内容的编写有所不同，笔者所在地区使用的苏科版教材“没有”编排该内容.为了给七年级的学生答疑解惑，对四个不同版本教材整式的除法内容进行对比分析，在研究整式的乘法模块后增加“整式的除法”内容，并阐述对笔者的教学启示.

【关键词】整式的除法；教材对比；教学启示

1缘于学生的一次“灵魂拷问”

整式的除法是整式的四则运算内容，笔者所在地区使用的是苏科版教材，该教材对“式的运算”研究顺序分别是整式的加减、幂的运算、整式的乘法、分式的四则运算、二次根式的四则运算，其中“没有”编排整式的除法内容.学习整式的乘法后就继续研究因式分解，于是，学生向笔者发起了“灵魂拷问”：“老师，我们不学习整式的除法吗？”众所周知，如果将分式从运算的角度来看，则是整式的除法运算；七年级的学生没有分式的知识储备，这样来给学生解释显然不行.实际上，同底数幂的除法是特殊的整式的除法；于是，笔者反问学生：“真的没有研究过吗？”当天将问题反抛给学生思考，笔者并未直接回答.

笔者仔细分析学生提出的问题后，认为非常合乎情理，学生小学已经学习过正整数、分数、小数的四则运算.在小学的学习基础上，七年级初期阶段进一步认识了负数，将数的范围扩充到有理数，完成了初中阶段第一次数域扩充，在此背景下继续研究了有理数的四则运算.从小学到初中，学生对数的四则运算已经“根深蒂固”.因此，学生在研究了整式的加减、乘法后提出这样的疑问属于正常现象.

2不同版本教材“整式的除法”内容分析

2.1人教版教材内容分析

人教版教材编排“式的运算”顺序分别是整式的加减、整式的乘法、分式的运算.其中，整式的乘法分为3个模块，先研究幂的运算（不包括除法），再研究整式的乘法，最后研究整式的除法.从课题的编写来看，教材的课题中没有整式的除法，该内容的位置处于整式的乘法最后一个课时，教材在整式的除法引入时，明确指出“由于除法是乘法的逆运算，因此我们可以利用整式的乘法来讨论整式的除法”，因此，这可能是教材没有单独给出整式的除法课题的原因.但是，人教版教材對于有理数的除法、分式的除法都明确给出课题，若整式的除法内容教材没有单独给出课题，学生在列复习提纲时便会忽略整式的除法运算，不利于学生自主归纳、总结反思.从教材的内容来看，“整式的乘法与因式分解”章引言中明确指出“我们可以类比数的运算，以运算律为基础，得到关于整式的乘法运算与因式分解的启发”.可见，人教版教材没有忽视学生已经具备有理数的运算经验，这也为笔者实施本节课的教学提供了一个明确的方向.

2.2苏科版、翼教版教材内容分析

苏科版、翼教版教材编排“式的运算”顺序一致，分别是整式的加减、幂的运算、整式的乘法、分式的四则运算、二次根式的四则运算，两种教材都没有系统地研究整式的除法运算.两种教材在研究分式时都是从实际问题进行引入，但是，翼教版教材在“分式和分式方程”章学习中，第一课时分式的概念给出后，教材的提示框中明确指出“分式的分母必须含有字母，分式也可以看做两个整式相除（除式中含有字母）的商”，苏科版教材没有在分式的概念给出后从运算的角度进行说明.两种教材在本章的学习中都涉及到分式的约分；苏科版教材在分式一章的学习中从始至终没有从除法运算的角度认识分式等相关知识，翼教版教材仅在分式的第一课时从除法运算的视角认识分式，后续也没有从除法运算的视角“认识”分式的约分.事实上，从运算类型来看，分式的约分是在进行整式的除法运算，这样“简约”而不简单的教材内容凝练出编写者的智慧.整式的乘法、分式的四则运算分别都在两种教材的七年级、八年级，间隔时间较远，需要学生、教师、读者用心揣摩编写者的意图，否则会造成教材“漏写”的错觉[1].

2.3北师大版教材内容分析

北师大版教材编排“式的运算”顺序分别是整式的加减、幂的运算、整式的乘除、二次根式的四则运算、分式的四则运算.从课题名称来看，该版本教材对式的运算类型概括得较为全面，有助于学生复习阶段快速列出复习提纲，更有助于学生系统地认识式的运算.整式的除法这一课时的情境引入开门见山，直接让学生计算三个单项式除以单项式的题目，并阐述理由.教材提示框中指出“可以用类似于分数约分的方法来计算”，目的是采用“数式通性”思想研究本节课的内容.

综上所述，各版本教材各有权衡与侧重，为了解答学生的“灵魂拷问”，笔者结合七年级学生的心理特征与认知发展规律，在七年级下册苏科版教材第九章整式的乘法模块研究后，增加“整式的除法”内容，目的有三个：第一，在七年级研究整式的乘法后继续完善整式的运算类型;第二，再次深刻感悟“数式通性”思想;第三，为后续从不同视角认识分式等相关知识埋下伏笔.笔者作了如下的教学设计与各位同仁交流、研讨.

3教学设计

3.1学情分析

学生在本节课之前已经研究过有理数的运算、整式的加减、幂的运算，并系统地研究过整式的乘法，分别从单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式展开研究.整式的除法目前主要研究两种类型——单项式除以单项式和多项式除以单项式，其中，多项式除以单项式可以转化为单项式除以单项式计算.学生对之前研究数与式的经验为本节课系统地研究整式的除法奠定了基础，符合学生的认知水平.

3.2教学目标与目标解析

3.2.1教学目标

（1）类比整式的乘法类型构建出整式的除法类型，明确研究路径.

（2）理解单项式除以单项式、多项式除以单项式法则，会用法则进行计算.

（3）经历单项式除以单项式、多项式除以单项式法则的形成过程，发展运算能力，体会类比、转化思想.

3.2.2目标解析

达成目标（1）的标志是能类比整式的乘法运算类型写出整式的除法运算类型，通过类比有理数的除法运算发现哪些类型的整式除法“好”算，确立本节课主要研究单项式除以单项式、多项式除以单项式两种类型，渗透“数式通性”思想.

达成目标（2）的标志是学生能通过具体实例描述单项式除以单项式的运算过程，应用运算法则计算时分为“三步走”：系数相除、同底数幂相除、只在被除式里含有的字母连同它的指数作为商的一个因式.

达成目标（3）的标志是通过观察、类比等过程，归纳出单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，推导法则的过程中感受从特殊到一般和转化思想.

3.3教学过程

3.3.1课前热身

计算：

（1）525÷3；

（2）（13－56＋79）÷（－118）；

（3）（－118）÷（13－56＋79）.

3.3.2构建运算类型，确定研究路径

问题1本节课继续研究整式的运算——整式的除法，应该怎么展开研究呢？

追问1：课下有部分同学提出疑问，为什么不学习整式的除法呢？对于这个问题大家怎么看？真的没有学习过吗？（同底数幂的除法）

追问2：应该如何对整式的除法展开研究呢？有什么经验可以借鉴？（整式的乘法）

追问3：请写出一些整式的除法算式，类型尽可能丰富一些.（展示学生的素材后，并对其进行分类，分为单项式除以单项式、单项式除以多项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式）

追问4：先选择一种类型研究，应该选择哪一种呢？（通过直观感受单项式除以单项式的“式结构”最简洁，再结合整式的乘法的学习经验，确定先研究单项式除以单项式，形成结构化的板书，如图1）

3.3.3类比归纳，生成法则

问题2计算：（1）x5y÷x2；（2）8m2n2÷2m2n；（3）a4b2c÷3a2b.

师生活动：学生先独立尝试完成3个计算题，在完成的过程中教师再分步适时介入指导，引导学生分别从分数约分的方法、乘法与除法是互逆运算两个角度获得计算结果，再引导学生类比“单乘单”的运算法则得到“单除以单”的运算法则.特别注意，8m2n2÷2m2n是指（8m2n2）÷（2m2n）的意思.

追问1：如何计算x5y÷x2？（方法1是将式子转化为“分数”的形式，即x5y÷x2＝x5yx2，再通过类似于分数约分的方法得到计算结果x3y；方法2是通过除法与乘法是互逆运算的角度得到计算结果，并让学生把推理的过程尝试写下来，如图2.）

追问2：类似地，请从两种视角计算8m2n2÷2m2n；a4b2c÷3a2b.

追问3：你能归纳出单项式除以单项式的法则吗？有什么经验可以借鉴？（引导学生类比“单乘单”的运算法则，归纳出“单除以单”的运算法则，并将两种法则进行对比（表1））

追问4：接下来，应该研究哪种类型的整式除法？（多除以单）

追问5：为什么不是单除以多呢？（引导学生回顾课前热身中（13－56＋79）÷（－118）、（－118）÷（13－56＋79），这两个题目是怎么计算的？第一题“化除为乘”比较简便；第二题先算括号里的，再算除法；通过类比数的运算可感受到“多除以单”比“单除以多”易算，因此，确定第二种研究类型为“多除以单”）

问题3计算：（12a3b－6a2）÷3a.

师生活动：问题3部分学生也会迁移有理数的运算经验，“化除为乘”解决，但是之前讨论的“倒数”是两个数之间的关系，此时3a是一个“式”，这种方法从严谨性上来说有待商榷，笔者认为这是学生对数学的直觉，值得鼓励[2].教师可根据乘法与除法是互逆运算引导学生计算问题3，并让学生尝试写出推理过程（图3），归纳出“多除以单”可转化为“单除以单”进行计算，生成“多除以单”的运算法则，渗透转化思想.

师：经过刚才的探讨，我们知道单项式除以多项式“不好”计算.类似地，多项式除以多项式也“不好”计算，是不是就不能计算了呢？例如，计算3a÷（12a3b－6a2），我们可以将它写为“分数”的形式，观察这个“式结构”，你猜想结果会有怎样的特点呢？

生1：除不尽？有余式？

追问1：还有不同的看法吗？

生2：结果可能像“分数”，分母中含有字母.

师：这两种整式的除法类型是我们后续要研究的内容，目前我们只研究“单除以单、多除以单”两种类型.

3.3.4从数到式，再次感悟由特殊到一般

问题4已知多项式6x5－15x4＋3x3－3x2＋x＋1除以3x2，得余式x＋1，求商式.

师生活动：问题4先“放手”让学生独立完成，教师巡视的过程中注意观察学生是否能够将“数”的研究经验正遷移至“式”，感悟“数式通性”思想.

3.3.5从数到式，谈谈感悟

问题5本节课研究了整式的除法，再回首有理数的运算、幂的运算、整式的运算，你有哪些感悟？

师生活动：本环节让学生畅谈感悟，最终落脚点是数与式的关系上，感悟从特殊到一般研究问题的路径，为后续分式运算、二次根式运算的研究路径埋下一颗“种子”.

3.3.6作业设计

（1）必做题（略）.

（2）选做题：我们知道由数到式是特殊到一般的关系，解决“数”或“式”的问题时，思想方法上往往是相通的，请以“由数到式的奇妙之旅”为题，写一篇300字左右的短文（提示：可以谈谈自己的学习感悟，也可以通过具体题目进行说明自己的收获）.

4教学启示

4.1以生为本，尊重认知发展规律

“生本教育”理念是郭思乐教授创建的一种教育思想和方式，倡导教育教学中要以“一切为了学生”为核心，将学生的终身发展作为教育教学的终极目标.通过上文各版本教材对比分析可知，苏科版、翼教版教材“没有”编排整式的除法内容，学生自然也就缺失一次从特殊到一般研究问题的机会.笔者在中国知网数据库以“整式的除法”为主题检索时，没有发现对苏科版、翼教版“整式的除法”内容进行研讨的相关文献.部分教师看来，教材在整式的乘法之后没有编排整式的除法内容是理所当然，这种理解是教师已经具备了分式的相关知识储备的基础之上，对于七年级的学生提出这样的疑问自然也是合情合理.因此，笔者在学生提出疑问后增加了整式的除法内容，既给学生答疑解惑，又一次让学生感悟“数式通性”思想.这样的教学笔者认为是非常有意义的，学生从真正意义上实现了“解决问题”到“问题解决”的转变，教师也实现了“教教材”到“用教材教”的转变.

4.2借助知识迁移，助力知识“生长”

叶圣陶先生曾说“教是为了不教”，这句话既道出了教学的终极目标，也给教师指引了正确的教学方向.本节课在五个核心问题的引领下促进学生深度思考，从“课前热身；构建运算类型，确定研究路径；类比归纳，形成法则；从数到式，再次感悟由特殊到一般；从数到式，谈谈感悟”五个循序渐进的环节展开教学.课堂上，每当学生没有思路时，笔者总会追问“有什么经验可以借鉴吗？”目的是让学生将相关知识的研究经验进行正迁移.例如，学生在问题4的探讨过程中，由于已经具备了有理数除法的研究经验，因此学生对于题目中“余式、商式”两个关键词的理解并不困难，教师借机让学生想想如果此题是“数”的题目，该如何解？此时是“式”的问题又该如何变通？甚至课后还可以引导学生思考问题2中8m2n2÷2m2n能否用除法竖式计算；解决这些问题的过程中有助于学生从“学会”向“会学”转变.

4.3为知识“生长”留下“萌芽”

众所周知，植物的生长需要经历萌芽期、生长期、硬化期，知识的习得过程也是如此，教师需要特别注意为学生的知识生长创造空间，留下知识生长的萌芽.例如，本节课问题1笔者执教时并未直接将整式的除法算式呈现给学生，而是先让学生写出不同类型的整式除法算式，再进行分类，自然而然就会产生四种类型的整式除法算式，这样习得知识的过程更符合构建主义理论.即便七年级阶段不具备研究“单除以多、多除以多”的条件，但是笔者执教过程中还是让学生大胆猜想计算结果会有怎样的特征，学生根据有理数的除法学习经验可感受到“除不尽，有余式，结果的分母中可能含有字母”，这是对“数”的相关知识进行经验迁移，也是后续从除法认识分式等相关知识的视角，更是学生对数学的一种直觉.数学直觉是数学学习的最高境界，正如伊恩·斯图加特教授所说“直觉是真正的數学家赖以生存的东西”.

参考文献

[1]印冬建.“14.1.4整式的乘法”（第4课时）修订建议[J].中学数学杂志，2021（02）：24－27.

[2]杨鹤云.数学直觉思维的一些思考[J].数学通报，2014（08）：29－32.

作者简介高凯亮（1995—），男，贵州六盘水人，中学二级教师;主要从事初中数学教学与研究；发表多篇论文.

周沁（1985—），女，贵州六盘水人，中学高级教师;贵州省“最美劳动者”，贵州省六盘水市“优秀名班主任”，贵州省六盘水六枝特区“骨干教师”;主要从事初中班主任工作管理及数学教学研究．