初中折纸与数学课后服务课程开发与实施

刘姣 张旖澈

【摘要】折纸具有直观性、探究性和应用性特征，是开展初中数学课后拓展与跨学科活动的有效载体.初中折纸与数学课后服务课程可兼顾社会情境与真实情境，注重跨学科的背景与知识，形成以数学为主线，融合科学、技术、艺术、工程等真实情境的跨学科主题学习活动.课程实施中可采用基于任务的问题驱动式教学策略，多元化评价方式，以及丰富的课程资源，使学生获得数学学科思想方法，提高学生的科学素养，发展学生的探究精神和實践能力.

【关键词】折纸与数学；课后服务；跨学科；科学教育

折纸看似把简单的纸折成不同的形状，其实其中蕴含着无限的数学知识和原理.折纸让数学变得直观形象，而数学又为折纸提供了理论依据，折纸与数学密不可分.已有多项研究证明“折纸活动”符合学生的认知规律，能激发学生在兴趣驱动下探究数学知识、应用数学原理，能够有效地促进学生的数理思维.早在20世纪初，折纸在西方国家就开始成为研究数学和科学的工具，20世纪晚期，“折纸科学、数学、教育国际会议”（the International Meeting on Origami in Science， Mathematics， and Education，简称“OSME”）成立，目的是深入探究折纸的科学意义与教育意义，“折纸与数学”是该会议的常设主题.1992年以色列开始推广折纸项目，以拓展学生观察技能、空间技能、逻辑思维能力等学习技能.在我国，利用折纸开展数学教学的方式在各版本教材中都有所体现，例如，北师大版初中数学教材在“展开与折叠”“利用轴对称进行设计”两节中将折纸活动贯穿始终.以CNKI数据库收录的以“折纸”“数学”为主题的研究数量近些年逐渐增多.但据笔者访谈了解，由于课内课时限制和教学材料的匮乏，很多数学教师有折纸教数学的需求，却很难开展相关实践.

双减政策背景下，学校成为课后服务的主渠道，课后服务的时间、资源、场地等得到了保障.这为引入折纸活动进行数学课后拓展与跨学科活动提供了契机.因此，充分认识折纸的数学教育价值并进行活动课程，尤其是跨学科主题学习活动的开发，对于丰富学校课后服务课程，满足学生多样化需求，发展学生实践创新素养和问题解决能力都有非常重要的价值.

1折纸的数学教育价值

1.1折纸操作的直观性利于促进学生对抽象数学语言的理解

初中阶段，学生抽象思维还不成熟，思维活动更加需要具体、直观、感性经验的支持.上海师范大学陆新生教授团队的最新研究显示：折纸探究活动与直观想象、数学抽象核心素养有显著的相关性[1].折纸作为数学学习活动已经在各个版本的数学教材中得到应用.例如人教版初中数学教材有31处，北师大版初中数学教材有39处，主要分布在“图形与几何”领域的各章节中，引导学生通过折纸去观察、探究、验证几何结论，体会几何概念的形成过程.在折纸活动中，教师可借助数学语言来表达折纸操作，比如，两点折线、两线对折、过点对折、点折到线等.学生在形象化的图形合成、图形分解、图形移动等操作中，对基本的几何概念和公理的理解得以加深.也可引导学生通过折纸拼图、折纸镶嵌等活动，促进对几何图形初步知识的直观理解.

1.2折纸活动的探究性利于推动学生创造性地解决问题，发展数学思维

折纸活动符合学生的认知规律，直观有趣，但又有一定的挑战性.折纸活动中，学生做中思、玩中学，通过小小的一片纸探究数学原理与规律，提出和发现问题、分析并解决问题，经历思考、操作、观察、归纳、概括、建模等探究性思维过程，锻炼数学思维，提升数学素养.因此折纸搭建了从折纸操作到科学思维、从直观操作到抽象思维的桥梁.常文武博士致力于数学折纸的研究，他指出：通过数学折纸的任务驱动方式可以有效培养学生创造力，折纸对学生创造力的激发尤其在于通过操作和想象来促进发散思维，加强知识、观念的新联结、新组合，这是创造性思维的重要体现[2].初中各版本教材中，都不同程度地将折纸引入到正文或课后探究等环节，利用折纸引入概念、性质和定理，让学生参与几何结论的猜想与验证过程（如图1所示）.而教材习题中引入的折纸活动，往往为学生设置了一个问题情境，促进学生应用学到的数学概念、原理来分析问题、解决问题.

1.3折纸应用的广泛性利于落实新课标跨学科主题学习要求

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出，要整合数学与其他学科的知识，完成跨学科实践活动，感悟数学与生活、数学与其他学科的关联[3].现代折纸已经从手工艺术扩展应用到服装设计、建筑设计、医学、力学、材料学等领域，跨学科的广度越来越大.这为开发跨学科主题学习活动提供了丰富的实际情景，是STEAM教育的良好载体，有利于促进落实新课标提倡的跨学科主题学习.相比于正式课程教材中的折纸活动侧重于对数学知识的猜想发现与验证，依托折纸开展跨学科的探究活动可以作为正式课程的有机补充，帮助学生发现数学与审美、数学与科学、工程、技术的紧密联系，应用数学知识、发展创新意识，拓展视野，丰富对数学的认识.

总之，将成本低、易操作的折纸活动引入初中课后服务课程中，可以与正式课程中数学课上的抽象学习形成很好的链接，是对当前数学传统教学的一种改革性尝试和补充.

2初中折纸与数学课后服务课程开发与实施

2.1课程目标的定位

“课后课程”供给区别于学校正式课程.在性质上，“课后课程”供给是辅导性的教育活动，并非传统课堂教学的变形，更不能等同于培优班或补课班；在过程上，学校正式课程为学生认知的形成与发展服务，“课后课程”供给则为学习的转化与应用提供支撑[4].

因此，折纸与数学课程的目标定位是以满足学生的兴趣与发展需要为价值起点，落实《义务教育数学课程标准（2022版）》综合与实践领域的要求.课程以纸为载体，通过折叠、裁剪等动手实践，促进学生在动手动脑中思考、体验、探究、创造，理解数学知识和科学原理，使学生的动手能力、思维能力、想象力、审美能力、注意力和观察力得到锻炼.

2.2课程内容的选择

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，综合与实践领域的教学活动，以解决实际问题为重点，以跨学科主题学习为主，以真实问题为载体，适当采取主题活动或项目学习的方式呈现，通过综合运用数学和其他学科的知识与方法解决真实问题，着力培养学生的创新意识、实践能力、社会担当等综合品质[5].因此，基于现代折纸广泛的跨学科应用性，折纸与数学活动项目的选择兼顾社会情境与真实情境，注重跨学科的背景与知识，形成了以数学为主线，融合科学、技术、艺术、工程等真实情境的一系列跨学科探究活动.这些活动单元使学生获得数学学科思想方法，提高学生的科学素养，发展学生的探究精神和实践能力.表1呈现了部分跨学科主题学习活动.

2.3课程实施的策略

课后服务课程往往具有课时间隔时间长的特点，容易导致课时不太连贯.基于此，折纸与数学活动课程整体采用项目式学习模式，每学期的课程由1—2课时可完成的若干短期项目构成，每个项目采用基于任务的问题串推动教学进程逐步深入.为发展学生的数学思维，课堂活动采用“问题情境引入—数学建模—模型应用—作品分析”的基本流程，将数学内容作为解决问题的途径嵌入到折纸任务中.

例如，在“玩转变脸六边形”项目活动中，学生要想实现一个图2所示的变脸六边形作品，首先需要解决变脸六边形学生作品“如何折出一个等边三角形”的问题.此时，教师可引导学生将现实的折纸问题带入到已有的数学经验中.学生可以通过测量来实现，也可通过数学建模，用图3那样的折叠操作得到.学生由此初步建模，应用自己所学的等边三角形、四边形等知识，获得等边三角形.

折“60°角”问题的数学建模完成作品后，可从跨学科角度拓展，对作品进行美化与分析.比如，可布置个性化涂色的任务以及思考性任务：①找出变脸六边形的所有面：如何判断是否找全？②找出每个面的所有不同的图案.③从一个菱形入手，思考这些图案的变化规律.学生在任务性活动中，科学思维、艺术审美等素养得到发展.

2.4课程多元化评价

课程要坚持评价为学生发展服务的导向功能，制定多元化评价方案，兼顾过程和结果.

活动过程中的形成性评价，可以依托“学习任务单”，促进学生思考、发言、汇报交流、合作学习等.基于折纸活动的特点，“学习任务单”可采用“看—试—想—做”四大任务驱动学生深入思考，主动探究.

“看”的环节主要呈现折纸作品的折痕图.学生观察教师提前准备的作品成品，用数学知识去分析，并猜想其折叠程序.“试”的环节，设置具有冲突性的问题或者操作指导，让学生在动手过程中体会折纸作品的功用特点.“想”的环节，提供折纸应用于工程、科学、医疗、航天等领域的真实性情境素材，激发学生联系实际生活，创造性地应用折纸.最后，通过“做一做”，引导学生自己对作品进行创意加工、改造和应用.这是折纸活动最容易激发学生兴趣的环节.学生在学以致用的过程中，熟悉折纸操作，进行个性化艺术呈现.在探究与创造过程中，提升思维认知和问题解决能力.

例如，“一张纸能折多小”项目中，学生在“看一看”的任务中，先通过观察三浦折叠作品和折痕图，分析里面的几何信息，猜想并尝试折叠.通过“想一想”的现实情景设计，猜想或者创造性提出折纸结构的应用场景（如表2所示）.在“做一做”的环节中，与同伴讨论，设计一个可行的三浦折叠应用场景，并一起动手实现这一作品.

此外，还要重视终结性评价的作用，设置一定学习成果要求，以驱动学生基于任务来进行课堂学习，形式上可以是随堂作品、期末作品、课后探究等，如图4.

2.5课程资源的开发

保障课程资源的丰富性、精品性，对于折纸与数学这类兼顾动手操作和动脑思考的实践活动课程尤为重要.丰富的课程资源可以更好地支持教与学的高效进行，满足学生多元化学习需求，解决活动课中学生节奏速度不一导致教师指导不过来的问题.

导学案（“学习任务单”）、折纸步骤图、拓展阅读材料等是非常必要的纸质资源，是推动活动环节、辅助学生操作、满足学生探究需求的重要载体.数字化资源除了课件之外，还可以利用折纸动态演示软件/网页、现代折纸科普视频等来辅助呈现现实情境、折纸与数学的实际应用等，拓展学生视野，激发学生在实际生活中发现问题、建立模型、解决问题的兴趣.

3思考与展望

初中折纸与数学课后服务课程开展了多项以数学为主线，依托折纸的跨学科主题项目活动，学生总体好评率95%.学生不仅积极参与课堂任务，还主动利用班级微信公众号等途径，分享探究历程，向其他同学共享挑战任务.可见该课程是符合初中生兴趣与需求的.

不过，折纸看似简单，但实际过程有一定挑战.在实施过程中，一节课40分钟，学生往往饶有兴致地花了大量时间进行折叠，但还没深入探讨数学问题就下课了.这反映了课时短、课时之间不连贯导致探究性思考无法足够深入的问题，这也是活动类课程在“做”和“思”中难以把握的平衡点.笔者认为，在课时无法调整的情况下，可以回归到项目设计本身进行调整：增加课程内容设计时的连贯性原则，以此为标准，进一步删减或调整各项目，使项目之间有连贯性、联系性、递进性，以便将共同的思想方法贯穿到多个项目中.通过梳理设置项目关键驱动问题来推动探究活动的逐步深入，不仅节约了时间，还加强了各项目的整体性.此外，建立活动小组微信群，保持持续交流，通过课下非正式交流拓展学生数学思维、科学思考，一定程度上解决两次课间隔时间较长导致的学习内容遗忘及缺乏深入思考的现状问题.

2023年2月21日，习近平总书记在主持中共中央政治局第三次集体学习中指出，要在教育“双减”中做好科学教育加法，激发青少年好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体[6].这为本课程以数学为载体发展学生科学素养提供了价值导向和时代意义.未来，折纸与数学课后服务课程将基于现有的课程开发经验和成果，结合STEAM理念进一步优化课程结构，并加强课程的项目与实施的系统化设计，探索课后服务课程模式下项目式学习的高效教学实施策略，促进学生充分利用课上、课下时间，在“做”和“学”的过程中激发科学兴趣，发展科学思维，提升科学素养.

参考文献

[1]陈静颖.基于数学核心素养的高中折纸探究教学研究[D].上海：上海师范大学，2022：1.

[2]常文武.运用数学折纸培养学生创造力[J].教育视界，2021（17）：4-8.

[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022：78.

[4]熊晴，朱德全.学校“课后课程”供给体系建设：逻辑框架与推进机制[J].中国教育学刊，2022（03）：29-34.

[5]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2022：87.

[6]新華社.习近平主持中共中央政治局第三次集体学习并发表重要讲话[EB/OL].https：//www.mca.gov.cn/article/xw/szyw/202302/20230200046282.shtml，2023-2-22/2023-2-24.

作者简介刘姣（1991—），女，河南焦作人，中学一级教师；西城区科研学科带头人；主要研究中学教育科研、初中数学教育.

张旖澈（1991—），女，黑龙江哈尔滨人，中学一级教师；西城区骨干教师；获北京市教学设计评比一等奖;主要研究初中数学课程与教学.