设计“三有”作业 提升数学素养

【摘要】作业作为学校课程的一部分，承担着育人的功能，它最终目的是培养学生学会学习和自主学习，从而提升学生的数学素养，促进学生的全面发展．在“双减”背景下，重新认识和设计作业，让作业的呈现有层次，让作业的完成有思考，让作业的体验有趣味，进一步培养学生持续的学习力．

【关键词】作业;有层次;有思考;有趣味

一直以来，作业是巩固教学成果的主要体现，而老师们过多的关注学生完成作业的“时间”“场合”“总量”三个指标：需要在规定时间内完成，在规定场合下完成，也规定了完成的总量．但是这样的作业模式也导致了教学的一些低效产生，只关注作业的完成时间，却忽略了作业是学校课程的延续，忽略了作业应有的功能；只看班级群体，不看独特个体，在迎合部分学生畏难情绪下，设计低于能力生长点的练习，缺乏针对不同个体的差异化设计；只注重在学生端落实，遗失了教师端的改良，作业依然是教师交给学生的任务，而对作业目标的设定，作业类型的设计，作业难度系数的设置[1]，作业趣味性的体现，作业选择性的实现等现状缺乏统一规划和深入思考．基于以上情况，对于作业的定位与重构值得每位教师思考，南京市秦淮区初中数学中心组在研训员的引领下，从2021年9月启动对数学作业的统一设计，每一节作业由ABC三类和个性化作业构成：其中A，B类作业一一对应，实现了从统一到分层变化，孩子们可以根据自己的情况完成AB类相应的题目；C类作业为拓展提升，关注了学生对知识和方法的深度思考，意在提升学生综合分析问题的能力，让作业更具有思考价值；个性化作业是本节课学习内容的延续，以阅读思考，操作体验，数学文化等形式呈现，意在培养学生创新能力和独立探索问题的能力，指向数学核心素养的培养，也让作业的体验更具有趣味性．

1基于目标，准确定位

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出要制订指向核心素养的教学目标，而作业是课程的一部分，故设计作业前要关注单元教学目标，从而设计作业目标，如表1．从实践层面看，作业设计先于教学设计;从目标要求看，本章节除了“会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体”“运用图形的平移、轴对称、旋转进行图案设计”和“能根据展开图想象和制作模型”是运用水平，其余基本上是了解水平.同时，本章节是作为几何的起始课，意在培养学生的学习兴趣和探索能力，通过对图形的观察、展开、折叠等活动，探索丰富的图形世界.因此作业目标设计表要紧扣课程标准要求，覆盖本单元知识点，重点关注学生的空间观念、几何直观、抽象能力及推理能力的形成．

教师在设计作业之前，心中要有清晰的设计原则——基于课程标准，以确保作业的科学性和合理性，因此仔细研读课程标准和教材是重中之重．

2落实素养，设计“三有”

2.1基于学情，分层选择

每个学生在思维能力、接受能力、理解能力、兴趣和意志品质等方面有差异，因此教师仅仅基于课程标准、基于学情来统一布置作业，就很难兼顾到所有学生；如果同一个知识点同时布置几道类似且没有梯度的题目，就不能减轻学生的作业负担，在课程标准和学情的指引下，分层设计作业就显得尤为重要．AB两类试题属于同一知识点下不同难度的一一对应，根据学情，教师可以让学生自主选择AB两类试题，如果B类试题较难，可以选择相应的A类试题完成，如果A类试题较容易，也可以挑战相对应的B类试题．同时在部分A类试题下方还有解答提示，希望所有学生能完成每节课的作业目标，从而完善课程体系，落实“四基”要求．以下对部分作业设计进行说明．

作业1（A类）从运动的观点看：点动成___________，线动成___________，面动成___________．

（B类）分别举出一个生活实例，其中蕴含“点动成线”“线动成面”“面动成体”．

设计意图A类作业是了解层次，加深学生的运动观念，属于记忆类型；B类试題关注运动方式在生活中的呈现，基于对A类的理解后的信息加工，关注学生的素养“会用数学的眼光观察”从而发现运动，“会用数学的思维思考”从而辨析运动，“会用数学的语言表达”从而丰富呈现方式，逻辑严谨，对运动理解深刻．

作业2（A类）在方格纸中画图．

（1）画出图1①中线段向右平移3格所得到的图形．

（2）画出图1②中线段沿图中虚线翻折后的图形．

（3）画出图1③中线段绕点O旋转180°后的图形．

（B类）在方格纸中画图．

（1）画出图2①中三角形先向右平移3格，再向下平移1格所得到的图形．

（2）画出图2②中三角形沿图中虚线翻折后的图形．

（3）画出图2③中三角形绕点O旋转180°后的图形．

设计意图AB两类作业的难度一目了然，A类作业更能反映运动的本质，虽然难度低于B类，但通过这两道题目的对比能让学生感受到图形的运动中“对应点”的重要性，图形的运动可以通过最基本的“点”的运动来确定运动后的图形，为后续平移、轴对称、旋转的学习渗透思想方法，“要素”将成为探究图形定义和性质的抓手，体现了运动研究的一致性．本作业也体现了在图形的运动中局部和整体的互相转化，加强对图形运动的理解．

作业3（A类）若在正方体表面上画如图3所示的线段，请你在展开图上标出对应的其它两条线段．

（提示：要确定所求线段的位置需要知道哪几个点的位置？）

（B类）若在正方体表面上画如图4所示的线段，请你在展开图上标出对应的其它两条线段．

设计意图在A类作业中，平面展开图和立体图形的对应更加清晰，因此三条线段的位置容易得到．而B类作业的展开图对于线段的位置寻找有困难，需要将平面图形和立体图形的“位置”不断调整，找到它们之间的对应关系．同样的立体图形，不一样的平面展开图，关注学生的空间想象能力，学生可以先通过直观想象，然后借助正方体的展开图将其还原成立方体，从而解决问题．直观想象加深从立体到平面的感知，而动手操作可将平面图形转化成立体图形来研究，体现了转化的数学思想．同样的题设，呈现出作业的难度却不一样，让分层选择易操作，让每个学生都能得到自我的发展，落实“四基”要求．

作业4（A类）能否把一张正方形纸片（如图5）不经裁剪折叠成一个立体图形？如果可以，画出示意图．

（B类）现有边长20cm的正方形纸片（如图5所示），能否用它剪得两个面积最大的正方体表面展开图？若能，请你画出你的设计方案；若不能，请说明理由．

设计意图AB两类试题的答案具有不确定性，学生经历了操作体验和直观想象，将一个“平面”的纸片进行折叠得到立体图形，提升学生动手操作的能力，在尝试中寻找答案，积累数学活动经验；而B类试题关注了“最大”，需要合理对纸片进行布局，同时关注正方体展开图的合理“摆放”，旨在考查学生对正方体展开图的理解和对已知条件的信息处理，培养学生的想象和推理能力．

作业5（A类）一个长方形的长和宽分别为3cm和2cm，依次以这个长方形的长和宽所在的直线为旋转轴，把长方形旋转1周形成圆柱体甲和圆柱体乙，两个圆柱体的体积分别记作V甲，V乙，则下列说法正确的是（）．

A．V甲＜V乙B．V甲＞V乙

C．V甲＝V乙D．无法确定

（B类）一个长方形的长和宽分别为3cm和2cm，如图6，依次以这个长方形的长和宽所在的直线为旋转轴，把长方形旋转1周形成圆柱体甲和圆柱体乙，两个圆柱体的体积分别记作V甲，V乙，侧面积分别记作S甲，S乙，则下列说法正确的是（）．

A．V甲＜V乙，S甲＝S乙B．V甲＞V乙，S甲＝S乙

C．V甲＝V乙，S甲＝S乙D．V甲＞V乙，S甲＜S乙

作业6（A类）用一个平面去截正方体（如图7），下列关于截面（截出的面）的形状的结论：①可能是三角形；②可能是长方形；③可能是正方形．其中所有正确结论的序号是．

（B类）用一个平面去截正方体（如图7），下列关于截面（截出的面）的形状的结论：①可能是三角形；②可能是四边形；③可能是五边形；④可能是六边形；⑤可能是七边形．其中，所有正确结论的序号是．

设计意图作业5和6的AB两类试题的题干几乎一致，设计初衷是B类试题是A类试题的再思考，作业5中A类是旋转体的体积的比较，而B类增加了侧面积的比较，根据平面图形的运动来想象立体图形的特征．作业6是根据立体图形思考截面的形状，其中A类是关于正方体截面的形状分类，而B类是在A类的基础上增加了截面为六边形和七边形的辨析，关注学生高阶思维的培养，亦可以培养学生从反证的角度思考．两道题目前后呼应，方法一致，这种类型的分层作业值得推广．

2.2基于能力，深入思考

对于学有余力的学生，作业应加深认知拓展和关注对问题的深度思考，通过对课堂上未解答的某个内容的格外关注或疑惑，从而以某项作业的完成标志着能力的提升，激发学生深入思考，提升能力．这样的作业难度较大，处理时间较长，课堂上教师在兼顾全体的原则下，不一定能开展此项教学活动，因此以作业的形式让学生对课堂学习的巩固和提升，促使学生独立思考，学会数学思维，培养“四基”“四能”，发展数学核心素养，学会学习．以下选取本章节的部分C类作业．

作业1（C类）某玩具店根据积木数量的不同，订制了不同型号（只包装一个积木和包装两个积木）的外包装盒，所有外包装盒均为双层上盖的长方体纸盒（如图8，上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍）．已知每个积木的长和高均为acm，宽为bcm，且a＞b．放入包装盒时，必须将长为acm，宽为bcm的那一面朝上．

（1）若只包装一个积木，则该型号长方体纸盒需要cm2纸板（用含a，b的代数式表示）；

（2）将两个积木放在包装盒内有甲，乙两种方式（如图9），请分别计算甲，乙两种摆放方式所需外包装盒的纸板面积，并比較哪一种方式所需纸板面积更少，说明理由．

设计意图第（1）问中关注立体图形的表面积的计算，学生易于理解和操作；在第（2）问中将两个积木拼在一起放在包装盒内，渗透分类讨论思想，引导学生关注不同摆放方式的面积比较，通过计算，得到结果，从数的角度思考问题．是否可以尝试从形的角度思考来比较大小，留给学生思考空间．

作业2（C类）如图10，正方形硬纸板的边长为a，其4个角上剪去的小正方形的边长为b（b＜a2），这样可制作一个无盖的长方体纸盒．

（1）这个纸盒的容积为（用含a，b的代数式表示）；

（2）当a＝10，无盖长方体盒子的容积因b的值的变化而变化，请填写下表：

（3）根据上述计算，请猜想无盖长方体容积何时达到最大？

设计意图通过列式得到容积的表达式，代入具体数值感受长方体盒子的容积随b的值的变化而变化，从而渗透函数思想．进一步通过列举猜想取到最大值的大致范围，引导学生可以继续“加密”数据，犹如面积为2的正方形边长的探究过程，透过数据寻找答案，关注学生数据分析观念的建立.这里教师可以引导学生类比已有结论：“当周长一定的情况下，所有长方形中面积最大的是正方形”，类比体积最大时应该满足什么条件？可以查阅相关资料，小组合作一起解决未知问题，为后续的学习做好铺垫，培养学生的直观想象能力和发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的意识．

2.3基于素养，趣味体验

基于学生的学习经历，从学生的体验感来讲，大部分作业让学生感觉到枯燥无趣，而教师对作业的研究却显得微不足道，不过作业作为课堂的延续，也是重要组成部分．课堂教学中会关注内容的“趣味性”，因此作业的趣味性也显得尤为重要，如何让学生喜欢上写作业，除了作业可选择以外，更重要的是能让学生感受到一些趣味性，这里的趣味性包括素材的有趣，过程的有趣，结果的有趣，呈现方式的有趣，等等．教师要创造条件给学生提供素材和思考的空间，个性化作业立足于让学生进行数学阅读，验证数学猜想，体验数学游戏，传播数学文化．以下选取本章节的几个个性化作业．

作业1：

阅读·认识

“江南佳丽地，金陵帝王州”，南朝萧齐诗人谢朓的《入朝曲》里描绘出了南京与其他江南城市的区别——不似苏杭那样精致、秀气，南京城透露出的是一股恢弘的历史气息．在南京这所历史名城中，有一些标志性的建筑，如紫峰大厦、中山陵园、大报恩寺、国际青年会议中心等，它们体现了一定的南京文化．请欣赏下列建筑的精美图片（图11），你能从照片中看出哪些熟悉的几何体？你能再去寻找一些你印象深刻的建筑吗？请拍成照片，与同学们分享．

设计意图打卡南京的标志性建筑来游览南京，将课程从课堂走向生活，引导学生发现生活中的几何体，通过将实物模型抽象成几何体的过程中，发展学生的空间观念，明晰几何体的特点，感悟数学与我们同行，培养学生的数学素养．

作业2：

俄罗斯方块与图形运动

你知道吗？平时我们生活中熟悉的玩具和娱乐游戏中，常常含有许多与图形运动有关的知识，例如俄罗斯方块这一拼图游戏．

如图12①，俄罗斯方块游戏里有7种不同形状方块不断随机下落，根据它们的形状来命名，分别为I，J，L，O，S，T，Z．俄罗斯方块的游戏规则是玩家需要将随机掉下的不同形状的方块进行变化（每个方块可以顺时针转动90°，180°，270°，360°），将之填放到适当的位置，被填满的行将自动消除．玩家一次可消除1行至4行不等．而随着被消除的总行数的不断增加，方块下落的速度也会越来越快．一旦某个方块放置后超出了原规定长方形（如图12②中的长方形ABCD）的高度，游戏便自动结束．

如果把方块一次聚积到2行、3行、4行，再消掉的话，那得分会比一行一行消去的分数要高得多．

你能画出这7种方块顺时针转动90°，180°，270°，360°的图形吗？请试一试！

俄罗斯方块引发了一个值得思考的数学问题，假如玩家的技术水平高超，那么这一游戏是否永远不会结束？答案是否定的．曾有论文指出，当“S”型方块和“Z”型方块以适当的间隔交替出现时，游戏区域中将不可避免地出现越来越多无法消去的行，最终导致游戏结束．虽然这种情况发生的概率极低，但仍然是有可能的．

设计意图在游戏中体会图形的运动，感受到图形的美妙，运动前后图形的形状大小不变，要想把一些组合图形填到相应的空缺处，需要对图形进行平移和旋转，因此这个游戏中涉及到平移变换和旋转变换，同时游戏的易操作和刺激性让学生不断挑战自我，激发学生的学习兴趣和提升空间想象能力．

作业3：

數学·文化

哈密尔顿世界环游

1859年，著名数学家哈密尔顿发明了一种“环游世界”的游戏，他把正十二面体（图13）的20个顶点分别标上伦敦、巴黎、东京、华盛顿等城市的名字，要求玩家从某个城市出发，沿着正十二面体的边通过每一个城市，并且只能经过一次，最后回到出发的城市．

在数学的历史上，哥尼斯堡七桥问题（有兴趣的同学可以去查阅一下有关哥尼斯堡七桥问题的资料）是在寻找一条遍历图中所有边的简单路径，而哈密尔顿的世界环游问题则是在寻找一条遍历图中所有点的基本路径．

让我们一起动手操作，利用图14的纸片做一个正十二面体，体验一下哈密尔顿的“环游世界”的游戏．

设计意图哈密尔顿世界环游问题和哥尼斯堡七桥问题都是图论中的经典问题，素材中的正十二面体源于七上课本的做一做，在九上的概率章节中也出现了正十二面体，图形的价值不言而喻，同时图形也展现了对称之美，那么如何制作一个正十二面体值得学生去思考，在观察和操作中培养学生的动手能力，让数学更加有趣，沿着哈密尔顿的路线，回顾经典，探索数学的奥秘．

3设计作业，彰显价值

作业设计的必要性和重要性显得尤为重要．首先要基于作业目标设计适合学生发展的作业．其次，作业设计要让题目呈现有层次，便于学生能选择；作业要有思考价值，促使学生不断思考，尝试计划，努力解决，反思提炼，从而提升学生解决问题的能力；作业更应该具有趣味性，让学生在玩中学，做中学，发展数学核心素养．

作业的改进能促进学生对自我的剖析与认识.作业反映了学生独立自主的学习过程，是学校课程的重要组成部分，是自我消化和自我发展的重要载体，它既影响着学生的学习兴趣与学习自信的建立，能够为学生长期学习提供源源动力，又有助于培养学生的责任感、自律性以及学习的意志力，促进学生的自我成长．

作业的改进能促进学生的个性化发展．作业不仅能够帮助学生获取基本的知识和方法，更能加强自我提升和自我管理，在统一发展的过程中，我们也应该充分尊重学生个性化发展的需求，让作业的完成有选择，有乐趣，有思考，消除学生对被动完成作业的无奈感、对作业统一要求的沮丧感、对自我需求得不到关注的孤独感，实现学生个体生命的成长与成熟[2]．

因此，作业设计走“新”，更应该走“心”．

参考文献

[1]何捷.“双减”背景下，“课程”视角的作业设计与研制[J].中国教师，2022，（01）：22-27.

[2]杨清.“双减”背景下中小学作业改进研究[J].中国教育学刊，2021，（12）：6-10.

作者简介王强（1987—），男，江苏南京人，硕士，中学高级教师;伊犁州优秀援疆教师，伊宁市优秀教师，南京市优秀青年教师，南京市秦淮区数学学科带头人;曾获江苏省初中数学优质课比赛一等奖.