三类函数零点问题的命题形式及解法

郭建明

函数零点问题比较常见，常见的命题形式有：（1）求零点的个数；（2）求零点的大小；（3）判断零点的所在区间；（4）由零点求参数的取值范围等.解答函数零点问题，需灵活运用方程思想、数形结合思想、转化思想.下面，结合实例谈一谈三种函数零點问题的命题形式及其解法.

一、求零点的大小

函数 f （x） 的零点是指函数 f （x）= 0 时 x 的取值，也是函数 f （x） 与 x 轴的交点的横坐标.在求函数零点的大小时，可根据函数零点的定义，将问题转化为求方程 f （x）= 0 的解，通过解方程去求得零点的个数和具体值.

例1

解：

解答本题，需根据函数零点的定义，令 g（x）= f （x） -x = 0 .而函数 f （x） 是一个分段函数，需分两种情况讨论 f （x）= x 的解.把零点问题转化成解一元二次方程问题，就能转换解题的思路，达到化繁为简的目的.这有利于提升解题的效率.

二、判断零点所在的区间

判断零点的所在区间，往往要运用零点存在性定理和二分法.需首先根据题意确定零点所在的大概区间，然后将该区间一分为二，并根据零点存在性定理，在每个子区间上讨论两个端点处的函数值的乘积是否小于0，再将乘积小于0的区间一分为二，如此重复上述步骤，直至得到精确的区间.

例2

解：

运用零点存在性定理时，要先判断函数在区间 （a， b） 上是否连续不断；然后判断 f （a）? f （b） 是否小于0，若是，则可判断函数在该区间上存在零点.

三、求参数的取值范围

由已知的零点求参数的取值范围问题较为复杂，往往需将零点问题转化为函数图象的交点问题或方程的解的问题，然后结合函数的图象和性质，如单调性、对称性、周期性等，利用一元二次方程的判别式、韦达定理，讨论函数的对称轴、开口方向、零点的位置、取值等.

例3

解：

我们利用转化思想，将函数零点问题转化方程 f （x）+ 2m = 0 有3个解，以及两个函数 y = f （x）和 y = - 2m 的图象有3个交点问题；然后运用数形结合思想，通过讨论图象中交点的位置和个数，从而建立新不等式，求得问题的答案.借助图形来分析函数零点问题，可以使问题中的数量关系以直观的形式呈现出来，这给我们分析问题带来了很大的便利.

总之，解答函数零点问题，要把握函数零点定义的内涵，将问题转化为方程问题、图象交点问题，通过研究方程和函数的图象，使问题快速得解.