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例析轨迹方程的几种求法

2023-05-30褚玉霞

语数外学习·高中版中旬 2023年1期
关键词:关系式动点双曲线

褚玉霞

求轨迹方程问题经常出现在解析几何试题中.这类问题常与直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识相结合,具有较强的综合性,且解题过程中的运算量较大.解答这类问题的常用方法有直接法、定义法、相关点法、参数法等.下面重点谈一谈轨迹方程的三种求法.

一、直接法

直接法是指根据动点所满足的几何条件,直接列出等量关系式,化简该式即可求得动点的轨迹方程.在解题时,要仔细审题,寻找一些点、线段、角之间的几何关系或关系式,灵活运用点到直线的距离公式、直线的斜率公式、两点间的距离公式、正余弦定理等建立关于动点的方程.

例1.

解:

本题较为简单,可采用直接法求解.设出动点的坐标,根据? =0、 =-  建立关于 x、y 的关系式,通过化简即可求得 M 的轨迹方程.在运用直接法求得动点的轨迹方程后,还需考虑题中出现的一些约束条件,尤其要关注对 x 、y 的限制条件.

二、定义法

若动点所满足的条件与一些曲线的定义,如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义相吻合,就可以运用定义法来求轨迹的方程.这就要求同学们要熟悉并灵活运用圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义,将动点看作曲线上的点,将定点视为圆的圆心、椭圆的焦点、双曲线的焦点、抛物线的焦点,求得圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程中的参数,即可求得动点的轨迹方程.

例2

解:

由动圆与圆 O1 、圆 O2 之间的关系便可建立关系式 |MO2| - |MO1| = 3 ,而 O1 、O2 为定点,由此可以联想到双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 、F2 的距离之差的绝对值等于常数(小于 |F1F2| )的点的轨迹叫做双曲线,于是设出双曲线的方程,求得 a、b 的值,即可解题.

三、参数法

如果动点本身所满足的条件中含有参数,或者在运动过程中受到某个变量的制约,那么就可以以此变量为参数,建立关于该参数的关系式,再设法消去参数,就可以得到轨迹方程,该方法称为参数法.在选取参数时,要考虑到制约参数的限制条件对动点坐标的范围的影响.另外,选取的参数不同,解题过程中的运算量也不同,要选取合适的参数,这样才能减少运算量.

例3

解:

M 为 AB 的中点,要求 M 的轨迹方程,需要采用参数法,先设 A、B 两点的坐标,并用 A、B 两点的坐标表示 M ;再根据 A、B 所满足的几何条件建立关系式,通过消去参数,求出 M 的轨迹方程.

四、相关点法

如果动点随着另一个或多个相关点的运动而运动,那么根据动点满足的条件,就很难列出关于动点的关系式,此时可以采用相关点法来解题,其具体的步骤为:

1.設动点的坐标为 (x,y) 以及相关点的坐标为

2.把相关点的坐标代入动点所满足的某个(些)方程中;

3.建立动点的坐标与相关点的坐标之间关系式,求出相关点的坐标;

4.将相关点的坐标代入已知方程,消去相关点的坐标,得到关于动点的坐标的方程.

例4

解:

根据题意,不难发现点 C、点 D、点 P 与点 M 相关,于是采用相关点法,分别设出 C、D、M 的坐标,而点 C、点 D 为抛物线的切点,既满足切线方程,又满足抛物线方程,点 P 在已知的圆上,据此建立关系式,并消去 C、D、P 的坐标,得到关于 M 点的坐标的关系式,即可解题

总而言之,求轨迹的方程,需将“形”转化为“数”,将“曲线”转化为“方程”,通过对方程的研究来挖掘曲线的性质,明确曲线的轨迹,从而求得轨迹的方程.

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