选用合适的方法，提升求函数值域的效率

张明强

函数的值域是指函数值的取值范围，其受函数的解析式、自变量的影响.求函数值域问题的常见命题形式是根据已知的函数解析式和定义域，求函数的值域.由于各个问题中函数解析式的形式和特点均有所不同，所以求函数值域的方法也不相同.求函数值域的常用方法有：直接法、配方法、数形结合法、换元法、判别式法等.本文重点探讨一下如下几种求函数值域的常用措施.

一、利用直接法

直接法主要适用于求解较为简单的函数值域问题.在解题时，只需仔细观察函数式或对函数式进行适当的变形，就可以直接运用函数的性质，通过简单的计算、推理，求得函数的值域.

例1.求函数 y =x - 的值域.

解：∵1-x ≥0，∴ x ≤1，

∵≥0，∴-  ≤0，

∴ x - ≤1，即y ∈（-∞， 1]，

∴函数 y =x - 的值域为（-∞， 1].

该函数解析式中含有根式，需先根据根式的意义，求得函数的定义域；然后根据不等式的可加性，求得函数式的取值范围，进而采用直接法求得函数的值域.在求函数的值域时，需确保函数式中的每个代数式有意义，如完全平方数、算术平方根、绝对值都是非负数，据此建立不等式，求得函数的定义域，再根据其定义域求函数的值域.

二、配方

若函数的解析式为二次函数式或形如 F（x）=af2（x）+bf（x）+c 的函数式，则可采用配方法来求函数的值域.运用配方法求函数的值域，需先根据完全平方式对所求函数式进行配方，将其变形为形如 f（x）=a（x + m） 2 + n 或 F（x）= a[ f （x）+ m] 2 + n 的式子；然后根据二次函数的性质和图象求得函数在定义域内的值域.

例2

解：

本题较为简单，只需根据完全平方式，将函数式配方，便可根据二次函数的解析式和图象快速确定函数的对称轴和单调区间，进而求得函数的最大值、最小值.值得注意的是，有时端点处的函数值为函数的最值，所以在求得函数的最值后，需将其与端点处的函数值进行比较.

例3

解：

该函数式是一次函数式与反比例函数式的和，无法直接求得函数的值域，于是将 x、1 x 看作 x、1 x 的平方，运用配方法，将函数式配方，便可根据完全平方式的取值范围确定函数的值域.在本题中，由于不确定 x 的取值，所以需分 x > 0、x < 0 两种情况进行讨论.

三、利用函数的单调性

在求函数的值域时，经常需用到函数的单调性，这就需要首先根据函数的定义或运用导数法来判断出函数的单调性；然后根据函数的单调性去求函数在定义域内的最值，进而确定函数的值域.一般地，若在某个区间 [a，b] 上，函数 f （x） 为增函数，则函数在 x = a 处取最小值，在 x = b 处取最大值，则函数的值域为 [ f （a） ， f （b）] ；若在某个区间 [a，b] 上，函数为减函数，则函数在 x = b 处取最小值，在 x = a 处取最大值，则函数的值域为 [ f （b），f （a）] .

例4

解：

解答本题，要先根据根式有意义求得函数的定义域，然后判断出函数在这个区间内的单调性，才能根据函数的单调性得出所求函数的值域.

例5

解：

该函数式为分式，且含有两个根式，需先对其进行适当的变形；然后根据 y = x + 1、y = x - 1 的單调性判断出函数 y = x + 1 - x - 1 在 [1 +∞） 上的单调性；再根据函数的单调性求得函数的值域.一般地，对于简单的基本函数而言，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；对于复合函数，可根据同增异减的原则来判断函数的单调性.

例6

解：

在解答本题时，需先根据函数单调性的定义，在定义域内任取 x1，x2 ∈ （0，+∞）， 且x1 < x2 ；再将 f （x1）- f （x2） ，通过化简判断出 f （x1）、f （x2） 的大小，从而判断出函数的单调性；最后根据函数的单调性求得函数的值域.有些函数式较为简单，可根据常用基本函数的单调性直接判断出函数的单调性，有些函数较为复杂，则需利用函数单调性的定义、导数法、复合函数的性质来判断其函数的单调性.

通过上述分析可以发现，对于较为简单的函数值域问题，可运用直接法进行求解；而对于较为复杂的函数值域问题，就需将函数式进行适当的变形、配凑，以判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性来求函数的值域.在求函数的值域时，可结合函数的图象来分析问题，这样有利于快速确定函数的变化趋势，求得问题的答案.