“K形图 ”的变异空间及教学要点

李贺　朱黎生

摘要：变异理论认为 ，以相似性为基础的差异性是学习迁移的关键。因此 ，教学中 ，要对一个学习对象的各个维度进行多种变异，从而获得更多的差异对象 ，扩大变异空间 ，进而进行审辩学习。 “K形图 ”是平面几何问题中常见的基本图形 ，可以通过旋转直角三角形、旋转直线一侧的直角、改变角度大小、改变长度关系、隐藏部分图形等方式不断扩大其变异空间。相应的教学要点为 ：感悟变化过程中的数学思维 ，把握 “变中不变 ”的数学本质 ，体会 “学以致用 ”的模型价值。

关键词 ：初中数学 ;变异理论 ;基本图形 ;K形图

一、从传统迁移观到变异理论

迁移 ，即人们已经获得的知识、技能、情感、态度等对新的学习产生的影响。迁移是学习的根本目的 ，“举一反三 ”“学以致用 ”等说的都是迁移。迁移理论历来是学习 （教育 ）心理学研究的重点。“形式训练说 ”相“同要素说 ”“共同原则说 ”均被用来解释迁移。这些学说有一个共同之处 ，即认为迁移是人们因为不同情境或结构间的共同性或相似性而引发的认知影响 ，二者的相同要素越多 ，迁移量越大 ，迁移得越为彻底。[1]

瑞典哥德堡大学教授马飞龙 （Ference Marton）创立了变异理论 ，挑战这种强调共同性（相似性 ）的迁移观。变异理论认为 ，相似性是迁移的一个基石 ，而差异性是迁移的另一个基石。没有相似性的迁移是不可能发生 的，而没有差异性的迁移是不可能深刻的 ，二者在迁移中的地位是相同的。假设我们生活在一个纯红色的世界 ，我们就很难认识红色。正是因为现实世界中颜色的多样性 ，我们在区分、辨别中才能认识红色。

（一）相似性

相似性是学习迁移的根源。事物间的相似性有多种表现 ，如情境背景的相似、外在形式的相似、表层结构的相似、深层结构的相似等。“四只球队踢单循环赛 ”和 “四个人两两握手 ”在情境背景上相似 ，因而其解题方法类似。分数与分式在表现形式上相似 ，因而其运算法则可以相互借鉴。正如 20世纪 90年代与国际棋王卡斯帕罗夫两次对垒的计算机分别被命名为 “深蓝 ”与 “更深的蓝 ”一样 ，事物的结构有多个层级 ，可以分为表层结构、深层结构甚至更深层的结构。例如 ，欧氏几何、射影几何、非欧几何在创立之初各有其自身结构。19世纪 ，数学家致力于寻找这些不同几何学间的内在联系 ，试图用统一的观点解释它们。1872年，F.克莱因发表了《埃尔朗根纲领》，用变换群的观点综合了各种几何学中的不变量及其空间特征 ，从而统一了各种几何学。这样 ，就形成了相较于前者结构的更深层的结构。

（二）差异性

差异性是学习迁移的关键。通过对众多相似实例的观察 ，可以归纳出共同属性或相同规律。但这时存在两个问题 ：第一 ，相似实例既具有相同的本质属性 ，也具有相同的非本质属性 ，我们如何将本质属性从非本质属性中剥离出来 ？第二 ，在实例中 “一般 ”和“具体 ”是相互纠缠的 ，而数学是抛弃了物质属性的空间关系与数量形式 ，我们如何对 “一般 ”和“具体 ”进行区分 ？变异理论认为 ，我们可以选择本质属性相同但非本质属性不同的实例 ，且非本质属性差异越大 ，越容易辨别出本质属性。学习者接触这样的差异实例越多 ，就越有可能排除其差异特征 ，对其本质特征的理解就愈加深刻。例如 ，教学 “异面直线的概念 ”时，可以给出不同的直观材料 （如图 1所示 ），可以呈现画法不同的图形 （如图 2所示）。

（三）变异空间

以相似性为基础的差异性是学习迁移的关键。这就启示我们 ，要对一个学习对象的各个维度进行多种变异 ，从而获得更多的差异对象 ，进而进行审辩学习 ，即根据对差异对象的体验和认知 ，从物质的或文化的世界中辨认出、觉察到某个特征 [2]。由此 ，变异的维度和种类决定了可能的学习空间 （意义世界），即变异空间 [3]。变异空间越大 ，差异对象越多 ，通过审辩学习对学习对象的认识就越深刻。

一般来说 ，变异的维度和种类与学习对象本身的属性和特征有关。总体而言 ，有两个大方向 ：动态过程上的变异和静态结果上的变异。前者更关注发展的环节 ，后者更关注结构的要素。当然 ，在具体问题中 ，两者往往是交织在一起、不容易区分的。在教学中 ，变异空间需要基于学生对学习对象的理解与误解 ，通过教师课前预设和学生课堂生成而构建。

二、“ K形图 ”的变异空间及教学要点

平面几何中的基本图形简单、直观 ，蕴藏丰富的结论 ，有很大的变化空间 （即迁移应用价值 ），因而 ，是重要的数学模型。从复杂的图形中分解出基本图形或在隐藏的图形中构造出基本图形 ，再运用有关结论 ，是平面几何解题的重要策略。平面几何教学应该重视基本图形的变化。[4]

“K形图 ”是平面几何问题中常见的基本图形。其基本型如图 3所示 ，相应的条件为 ∠1= ∠2= ∠3=90°且PC =PD，可得到的结论有 △PAC ≌△DBP等。因为 AB、PC、 PD三条线段构成 K字形 ，所以 ，人們习惯上称此图形为 “K形图 ”———因为顶点在线段 AB上的 ∠1、∠2、∠3都是直角 ，所以 ，此图形也被称为 “一线三直角 ”。下面尝试探索 “K形图 ”的变异空间 ，并给出相应的教学要点。

（一）变异空间

1.旋转直角三角形

“K形图 ”是由两个全等的直角三角形拼成的。以一个直角三角形为标准来看 ，另一个直角三角形旋转了 90°。由此启发 ，可将这个直角三角形再旋转两次 90°，得到两个直角三角形。这四个直角三角形可以拼成一个正方形 ，如图 4所示。这就是毕达哥拉斯用来证明勾股定理的图形。换个角度看 ，这个图形也可以通过在正方形各边上截取相等的线段 ，然后顺次连接各截点得到。由此 ，可将 “K形图 ”附着在正方形这个更为基本的图形上 ，找到图形产生的可能源头。

2.旋转直线一侧的直角

“K形图 ”也是通过画一条直线 ，以直线上一点为顶点作一个直角 ，在直角两边上找到顶点距离相等的两点 ，过这两点分别作直线的垂线得到的。由此启发 ，可将图 3中的 ∠3绕点 P旋转一定的角度 ，使点 C、D在直线 AB的异侧，得到图 5。对这个图形 ，也作直角三角形的旋转、拼接的话 ，可以得到如图 6所示的正方形，即赵爽用来证明勾股定理的图形 ：“弦图 ”。这样 ，“K形图 ”就由同侧型推广到异侧型 ，有助于学生辨别本质属性与非本质属性。

3.改变角度大小

“K形图 ”中有三个直角 ，可以改变它们的大小 ，构造出 “一线三等角 ”的图形。由此 ，也作三角形的旋转、拼接的话 ，可能得到其他正多边形。比如 ，变为 60°，得到图 7，进而得到如图 8所示的正三角形 ;变为 108°，得到图 9，进而得到如图 10所示的正五边形。这样 ， “K形图 ”就由直角型推广到锐角型和钝角型，有助于学生进一步辨别本质属性 （三个角相等 ）与非本质属性 （三个角的大小）。

4.改变长度关系

“K形图 ”中 PC =PD，可以改变这一长度关系 ，构造出 PC、PD不相等的圖形 （如图11所示 ）———当然 ，也可结合角度大小的改变 ，构造出图 12、图 13等图形。此时 ，可得到的结论变为 △PAC ∽△DBP等。这样 ， “K形图 ”就由全等型推广到相似型 ，有助于学生进一步辨别本质属性 （角对应相等 ）与非本质属性 （边对应相等）。

还可以改变 PC =PD的长度关系 （即AP =BD或 AC =BP的长度关系 ）为AP =BP的长度关系 （P为 AB的中点 ），构造出图 14所示的图形 ———当然 ，也可结合角度大小的改变，构造出图 15、图16等图形。此类图形可称为 “中点 K形图 ”。此时 ，结论变为三个三角形相似，即 △PAC ∽△DBP ∽△DPC。这里 ，第三个三角形与前两个三角形相似的证明稍微有些难度 ，需要用到 “夹角相等 ，两边对应成比例”。这样 ，随着条件既减又加 ，“K形图 ”就由 “弱全等 ”型演变到 “强相似 ”型。

5.隐藏部分图形

“K形图 ”中蕴含着一个等腰直角三角形，即 △PCD。因此 ，等腰直角三角形甚至 45°的角等 ，都可以看成部分隐藏的 “K形图 ” （不妨称为 “45°K形图 ”）。在解决问题时 ，常常可以由此构造 （补全 ）出“K形图 ”。

例1如图 17，已知反比例函数 y= k/x的图像经过点 A（3，4），在该图像上找一点 P，使得 ∠POA =45° ，求点 P的坐标。

（二）教学要点

1.感悟变化过程中的数学思维

数学是思维的科学。“ K形图 ”的变化需要数学思维的引领 ，上述变化过程中确实蕴含着一些基本的数学思维策略 ，比如从整体到局部的元素分析、从角度到长度的基本量思想、从静态到动态的视角转换、从特殊到一般的拓展推广、从显露到隐藏的想象构造、从简单 （单一 ）到复杂 （综合 ）的循序渐进。教学中，教师不能直接告知学生 “K形图 ”的变化结果 ，而要搭建 “脚手架 ”，引导学生自主探究，想一想可以变什么、怎么变 ，试一试会变成什么 ，从而感悟变化过程中的数学思维 ，培养学习能力。由此 ，教师引导下学生对 “K形图”变异空间的探索 ，可以不局限于上述过程和结果 ，而走向更深广的空间 ———特别是 ，可以叠加变化维度 （如从 “同侧直角全等型 ”到 “异侧锐角相似型 ”等），丰富附加条件 （图形背景 ），得到更多变化 ，甚至设计出丰富多彩的平面几何题目。

2.把握 “变中不变 ”的数学本质

数学也是模式的科学。模式就是不变的规律 ，就是本质。“ K形图 ”的教学中 ，在不断变化的基础上 ，教师还要引导学生比较辨析 ，发现其中不变的规律 ，深究规律背后的原因 ： “K形图 ”无论怎么变 ，不变的是 “三个 180°” （一条直线和两个三角形 ）的背景以及 “三个 180°中各有一个角相等 ”的条件 ，从而推出三个180°中剩下两角的和相等 ;其中有公共角 ，进而推出等角 ，推出相似 ……由此 ，促进学生把握数学本质 ，实现深度理解。

3.体会 “学以致用 ”的模型价值

之所以对 “K形图 ”做丰富的变化和充分的比较 ，是因为它是一种基本图形 ，在平面几何问题解决中有着广泛的应用。教学中 ，教师不能只顾引导学生变化和比较图形 ，还要设计丰富的习题 ，让学生学以致用 ，体会模型价值。这里简单举两个例子 ：

1.如图 19，在 △ABC中，AB =AC，点 D是BC的中点 ，∠EDF = ∠B，试证 ：△BDE ∽△DFE。

2.如图 20，正方形 ABCD中，点 E在边 BC上，连接 AE，作 EF ⊥AE，交正方形 ABCD的顶点 C处的外角平分线于点 F，求证：AE =EF。

这里 ，第一题通过等腰三角形背景间接给出了 “中点 K形图 ”。第二题则通过正方形背景给出了部分隐藏的 “K形图 ”。

总之 ，在变化中才能发现不变 ，在异相中才能体悟共相。这是教学的基本道理。

参考文献 ：

[1]陈建翔 .“变异理论 ”对传统迁移观的超越及启发 [J].中国教育学刊 ，2019（1）：31.

[2]F.马腾 .从变异理论看国际比较中数学教与学的差异 [J].上海教育科研 ，2002 （8）：4.

[3]王艳玲 .小学数学变式教学的研究 [D].长春 ：东北师范大学 ，2008：10.

[4]印睿妍 ，印冬建 .平面几何教学应重视基本图形的 “链 +”[J].教育研究与评论 （中学教育教学 ），2023（2）：66.