结构化设计实际问题 ,助力等量关系的分析

康叶红

摘要：《分式方程的应用》一课教学的重点是引导学生分析实际问题中的等量关系 ，列出分式方程。对此 ，可基于苏科版教材给出的三道例题中数量关系的本质 （相应的式子结构 ），结构化地设计例题来组织教学 ：让学生利用一元一次方程解决实际问题 ，从而在新旧对比中把握数量关系的本质 ;让学生根据分式方程编制实际问题，从而在正逆转换中巩固数量关系的本质 ;让学生解决条件更多、条件关系更不清晰的实际问题 ，从而在复杂关系中体会直观工具的价值。

关键词 ：初中数学 ;分式方程 ;实际问题 ;数量关系 ;结构化

一、教前思考

“分式方程的应用 ”是苏科版初中数学八年级下册 “10.5分式方程 ”第三课时的教学内容。在这一节的前两个课时中 ，学生已经理解了分式方程的概念 ，掌握了 （可化为一元一次方程的 ）分式方程的解法 ，认识到解分式方程时必须对解得的根进行检验 ，同时 ，初步感受到分式方程的学习可以类比迁移整式 （一元一次 ）方程学习的经验。本课主要是引导学生利用分式方程这个数学模型解决实际问题。与之前学习的利用一元一次方程、二元一次方程组解决实际问题一样 ，学生也要经历如下页图 1所示的数学抽象、建模 （数学化）过程 ，从而可以再次体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型 ，积累利用方程解决实际问题的经验 ，进一步巩固、发展模型观念和应用意识。

利用分式方程解决实际问题的一般过程包括 ：从实际问题中分析出数量之间的相等关系 ，依据等量关系列出分式方程 ，解分式方程，根据实际意义检验解的合理性 ，进而解决实际问题。根据学生解分式方程、对其根进行检验的知识基础和利用一元一次方程、二元一次方程组解决实际问题的经验基础 ，以及利用分式方程解决实际问题与这些基础的关键区别 “由更为复杂的等量关系列出方程”，结合由学情前测发现的学习难点 “列出分式方程 ”（常表现为 ：不理解实际问题中数量关系的本质 ，不知道为什么所列的方程会是分式方程 ;不能理顺条件关系、抓住关键条件，获得等量关系 ;不能合理借助表格、线段图等直观工具分析题意 ，获得等量关系 ），可以确定本课教学的重点是引导学生分析实际问题中的等量关系 ，列出分式方程。

实际上 ，从两个 “每份数 ×份数 =总数 ”类型的数量关系出发 ，如果已知的是两个 “每份数 ”（“份数 ”）的大小、两个 “份数 ”（“每份数”）的和差或倍比关系 （包括相等关系 ）以及两个 “总数 ”的和差或倍比关系 ，要求的是两个“总数 ”或两个 “份数 ”（“每份数 ”）的大小 ，则可设一个 “总数 ”或 “份数 ”（“每份数 ”），表示出另一个 “总数 ”或 “份数 ”（“每份数 ”），再抓住两个 “份数 ”（“每份数 ”）或两个 “总数 ”的和差或倍比关系 ，列出形如 ax±bf（x）=c或 x =c·bf（x）[其中 a、b、c为已知数 ，f（x）为ax的一次式 ]的整式 （一元一次 ）方程。由此，便可以回归学生利用方程解决实际问题的起点 ，对比 （铺垫 ）设计需要利用一元一次方程解决的实际问题 ，更好地帮助学生学会分析实际问题中的等量关系 ，把握等量关系的本质 ，列出相应的方程。

除此之外 ，也可以增设让学生根据分式方程编制实际问题的逆向、开放问题 ，更好地帮助学生把握实际问题中等量关系的本质 ，同时培养发现问题、提出问题的能力以及 “数学的眼光 ”;还可以增设数量关系更为隐蔽、复杂 （条件更多、条件关系更不清晰 ）的实际问题 ，引导学生借助直观工具分析题意 ，并且灵活寻找多种数量关系 ，从而进一步学会分析实际问题中的等量关系。

通过上述分析 ，本课教学 ，笔者基于教材给出的三道例题的本质 ———上述数量关系 （式子结构 ），由旧到新、由正到逆、由浅入深地设计出三道题目 ，以期通过结构化设计 ，充分助力学生分析实际问题中的等量關系 ，同时，帮助学生形成良好的认知结构 （联系 ），感悟有效的思维方法 （过程）。

二、教学过程

（一）第一题的教学 ：在新旧对比中把握数量关系的本质

师 在一元一次方程和二元一次方程组的学习中 ，我们知道方程是刻画现实世界数量关系 ，进而解决实际问题的有效模型。最近 ，我们学习了分式方程及其解法。今天 ，我们就尝试利用分式方程解决实际问题 ，重点关注如何根据题意列出方程。先来看第一题。 （教师出示第一题 ：“①已知苹果每千克 5元，橘子每千克 3元，小丽共买了苹果和橘子 6千克 ，共花了 24元，则小丽买的苹果和橘子各多少千克 ？ ②已知苹果的单价是橘子的 1.5倍，小丽共买了苹果和橘子 6千克 ，买苹果花了 18元，买橘子花了 6元，则小丽买的苹果和橘子各多少千克 ？”学生独立完成 ，教师巡视。）

师 同学们都完成得差不多了。下面 ，请两位同学分别解释一下这两问你列出了怎样的方程 ，是如何列出的 ？

生 第一问 ，已知小丽共买了苹果和橘子 6千克 ，因此 ，可设小丽买了苹果 x千克、橘子 （6-x）千克 ，根据等量关系 “共花了 24元”，列出方程 ：4.5x+3（6-x）=24。

师 很好 ！找到等量关系以及设好未知量是列出方程的关键。（稍停 ）对比列出的两个方程 ，你有什么发现 ？

生 第一问列出的是一元一次方程 ，第二问列出的是分式方程。

师 为什么第一问列出的是整式方程 ，第二问列出的是分式方程 ？（稍停 ）这两问中都存在怎样的数量关系 ？

生   （若有所悟 ）这两问中都存在单价、数量和总价之间的数量关系 ，即“单价 ×数量 =总价 ”。

师 都有几个这样的数量关系 ？分别是什么事物的 ？

生 两个 ，分别是苹果的和橘子的。

师 那么 ，已知和要求有什么不同 ，才导致列出的方程类型不同 ？

生 第一问已知两个单价、两个数量的和、两个总价的和 ，要求两个数量。

师 这样一分析 ，就可以发现 ，其实已知了两个等量关系 ，要求的也是两个量。那么 ，为什么列出的是一个一元一次方程 ？

生 我们利用两个数量的和设一个数量 ，表示出另一个数量 ;再利用两个总价的和列出一个方程。

师 那么 ，根据已知的两个等量关系的 “对等性”，我们还可以设什么未知量 ，列出什么方程 ？

师 这是一个什么方程 ？

生 一元一次方程。

师 那么 ，是什么导致这一问列出的还是一元一次方程 ？

生 我知道了。因为知道的是单价 ，所以 ，求 （设）数量 ，利用总价的关系时 ，列出的是 “单价 ×数量 ”的式子 ;求（设）总价 ，利用数量的关系时 ，列出的是 “总价 ÷单价 ”的式子。它们都是一次整式 （未知数不在分母上）。

师 非常好 ！你看透了问题中数量关系的本质。再来分析第二问。

生   （接话 ）因为知道的是总价 ，所以 ，求（设）数量时 ，利用单价的关系列出的是 “总价 ÷数量 ”的式子 ;而求 （设）单价时 ，利用数量的关系列出的是 “总价 ÷单价 ”的式子。它们都是分式 （未知数在分母上）。

第一题是购物问题 ，增设的第一问改编自苏科版初中数学七年级上册 “4.3用一元一次方程解决问题 ”的例 2。由此 ，可以引导学生通过两问的内在联系由旧知过渡到新知，并在新旧对比中把握数量关系的本质 ，从而理解所列方程的类型 ，并学会分析条件和结论 ，理顺其相互关系 ，进而抓住关键条件 ，获得等量关系。

（二）第二题的教学 ：在正逆转换中巩固数量关系的本质

师请大家一起来看第二题。

（教师出示第二题 ：“①从甲地到乙地 ，小明步行比乘公交车多用 2.1h。已知小明步行的速度为 5km/h，乘公交车的速度为 40km/h，那么两地相距多远 ？ ②请根据第一问中的数量关系 ，设计已知量和未知量 ，编制出利用分式方程解决的实际问题。”）

师 先看第一问 ，与第一题有相同的地方吗 ？也有類似于 “单价 ×数量 =总价 ”的数量关系吗 ？

生 有，是“速度 ×时间 =路程 ”。

师 那么 ，有几个这样的数量关系 ？

生 两个 ，分别是步行的和乘公交车的。

师 那么 ，已知和要求分别是什么 ？

生 已知两个速度、两个时间的差、两个路程———是同一个路程。

师 这一点看上去和第一题有一些不同 ，但是本质上还是已知两个路程的关系 ，即两个路程相等 ，或者说两个路程差为 0 （比值为 1）。那么 ，要求什么 ？

生 要求路程。

师 虽然是同一个路程 ，但是 ，也可以看成两个相等的路程。这样一看 ，第二题第一问是不是和第一题第一问在本质上是一样的 ？那么 ，可以根据什么等量关系设未知量 ，列出方程呢 ？

生 还可以反过来。根据 “步行的时间 -乘公交车的时间 =2.1h”，设乘公交车的时间是 xh、步行的时间是 （x+2.1）h;再根据 “步行的路程 =乘公交车的路程”，列出方程 ：40x=5（x+2.1）。

师 很好 ！这个问题和之前的问题看似不同，实则相通。理清已知的和要求的之间的关系 ，把握其本质 ，就很容易用类似的方法列出这两个方程了。这两个方程也是什么方程 ？生一元一次方程。师现在来看第二问 ，你能编制出怎样的实际问题 ？

（学生独立完成 ，教师巡视。）

师 很多同学都有了想法 ，谁来说说 ？

师 你是怎么想到的 ？

生 类似于第一题的第二问 ，只要已知 “路程 ”这个 “总数 ”就好了 ，然后给出两个 “速度 ” （相当于 “每份数 ”）之间的关系以及两个 “时间 ”（相当于 “份数 ”）之间的关系。

师 很好 ！那么 ，设未知量 ，列出方程有几种方法呢 ？

（三）第三题的教学 ：在复杂关系中体会直观工具的价值

师 最后 ，来看第三题。 （教师出示第三题 ：“某项工程 ，需要在规定的时间内完成。若由甲队去做 ，恰能如期完成 ;若由乙队完成 ，需要超过规定日期 3天。现在由甲、乙两队合做 2天后，余下的工程由乙队独自去做 ，恰好在规定的时间内完成。规定的时间是多少天？”学生独立完成 ，教师巡视。）

师 一些同学有了想法 ，一些同学还在思考。现在 ，请大家停下来。别急着回答 ，还是先思考 ：这道题题和第一题有相同的地方吗 ？也有类似于 “单价 ×数量 =总价 ”的数量关系吗 ？

生 有，应该是 “工作效率 ×工作时间 =工作总量 ”。

师 同样地 ，有几个这样的数量关系 ？

生 两个 ，分别是甲队的和乙队的。

师 仔细分析题目条件 ，两队各只有一个这样的数量关系吗 ？

生 （若有所悟 ）两队都有两次这样的数量关系。甲队第一次以它的工作效率 （不知道）工作了规定天数 （不知道 ，要求的 ），完成了相应的工作总量 （工程总量 ，具体不知道 ）;第二次以它的工作效率 （不知道）工作了 2天，完成了相应的工作总量 （不知道）。乙队第一次以它的工作效率 （不知道 ）工作了规定天数 （不知道 ，要求的）多3天，完成了相应的工作总量 （工程总量 ，具体不知道 ）;第二次以它的工作效率 （不知道 ）工作了规定天数 （不知道，要求的 ），完成了相应的工作总量 （不知道）。

师不错 ，你用语言文字表述了题目中蕴含的四组 “工作效率 ×工作时间 =工作总量”。但是 ，这样表述显然不够清晰 ，或者说不够简洁、直观。你能借助其他表达工具或方式 ，更加清晰地表示这四组数量关系吗 ？ （教师引导学生得到表 1。）

师 很好 ！借助表格显示 ，条件之间的关系就清楚多了。因为题目条件比较复杂 ，所以最好再检查一下 ：还有遗漏条件吗 ？

生 甲、乙两队第二次的工作总量之和为工程总量。

师 也就是 ，表中最后一列的两个未知量之和为工程总量。题目条件比较清楚了 ，你能列出方程了吗 ？你准备依据哪些等量关系设哪些量 ，表示出哪些量 ？再依据哪个等量关系列出方程 ？

师 他依据 “甲队第二次的工作总量 +乙队第二次的工作总量 =工程总量 ”列出了方程 ，不过 ，这个方程解起来有点麻烦。可以简化这里的数量关系和方程吗 ？想想工程总量还可以怎么表示 ？不同的表示之间有关系吗 ？或者看看上述方程的求解过程给我们什么启发 ？

师 非常好 ！这个等量关系以及相应的方程不仅非常简洁 ，而且经过转化 ，让我们容易发现其和第一题第二问一样的数量关系本质 ：知道两个 “工作总量 ”的大小 （都是单位 “1”）、两个 “工作时间 ”的差 （3）以及两个 “工作效率 ”的比 （3∶

2），要求两个 “工作时间 ”的大小。（稍停）确实 ，表格、线段图等常见的直观工具可以帮助我们理清题意 ，找到等量关系，尤其是题目条件比较复杂时。而且这时 ，题目中的等量关系通常比较多 ，借助直观工具可以得到它们之间的联系，从而优化等量关系 ，列出更为简洁、好解的方程。 （学生反思、体会。）

师 当然 ，同学们也要一分为二地看待这个事情。方程思想的根本追求是正向思维，即更容易想。而最容易想的处理方式其实就是遇到等量关系就列 ，遇到未知量就设 ，把所有等量关系都列出来、所有未知量都设出来后 ，要处理的也就是解一个可能有点复杂的方程组。虽然同学们只学过二元一次方程组 （可能选学过三元一次方程组 ），但是解多元的方程组的基本思想是相同的 ，即消元 ，具体包括代入消元、加减消元等。这样就把 “想”的困难转化到了 “算”上，而 “算”的难更多地表现为繁 ———“算 ”是相对机械、程序化的事情。第三題实际上是工作任务问题。相比

于前两题 ，不再铺垫设问 ，而直接让学生利用分式方程解决实际问题 ;同时 ，其数量关系更为复杂 ，不容易看清本质 ，不容易 “题型化”“套路化 ”。由此 ，一方面 ，可以引导学生学会借助图表分析题意 ，简洁扼要、条理清晰地表达数量关系 ，凸显直观工具的运用价值;另一方面 ，则可以引导学生学会借助条件关系优化数量关系 ，培养思维的灵活性。特别值得一提的是 ，教师最后的总结上升到了方程思想的层面 ，基于坚实的知识、经验基础 ，促进学生的认识提升到素养、大概念的层面。