巧用K字型，品基本图形在相似中的妙用

施长燕

【内容摘要】文章通过对几何解题中一些“似曾相识”的图形进行适当地提炼，就会发现一些经验型的“基本图形”，再运用这样的“基本图形”去解题。这样学生不仅可以迅速地抓住问题的本质，思考问题的时间也大大缩短，解题效率得到提高。文章以K字型为例，来说明它在相似解题中的运用，为我们学生的解题拓展了思路，更容易看清事物的本质，从而有效的进行解题，同时让学生体会基本图形在相似中的妙用。

【关键词】K字型相似 基本图形 构造 妙用

从教至今，我们的学生学习几何时遇到相似有关的内容往往愁眉不展，而近年的中考综合题中总会穿插着相似的应用，所以相似这块的内容要求学生熟练掌握。

在几何解题中对一些“似曾相识”的图形进行适当地提炼，就会发现一些经验型的“基本图形”，再运用这样的“基本图形”去解题。这样学生可以迅速地抓住问题的本质，思考问题的时间也大大缩短，解题效率得到提高。而相似中的基本图形有A字型，X字型，K字型等。一旦学生学会关注这些基本图形，并让学生学会运用基本图形解题，那对于复杂的几何图形可以分解出基本图形个个击破，解题往往变得得心应手！在这些基本图形的应用中“K字型”的应用比较广泛，下面我将结合自己多年的教学经验追溯“K字型”的起源，谈谈其在相似中的应用。

一、追溯K字型的根源

1.初见K字型

回顾勾股定理中的“总统证法”，将两个全等的直角三角形拼成如图所示的直角梯形，以下是“总统”证法的用图：

在勾股定理的“总统证法”中我们发现一直线上出现三个直角，这就是我们第一次接触“K字型”这个基本图形。数学中的基本图形分为两种：课本中的概念、公式和定理所对应的图形叫做理论型基本图形；重要的例题和习题所对应的图形叫做经验型基本图形，K字型属于经验型基本图形。初见“K字型”我们可以感受到几何学习中内藏奥秘，需要我们去探寻、解答，那么这个基本图形究竟如何应用呢？

2.K字型常见形式的探讨

（1）K字型的特殊形式（一线三直角）

我们从勾股定理的证明开始，我们发现如果一条直线上出现三个直角就会出现基本图形——K字型，在这个基本图形中我们发现存在着相似，因此在教学中我们要引导学生来进行证明。

条件：B，C，E三点共线，∠B= ∠ACD=∠E=90°

结论：△ABC∽△CED

证明：∵∠B=∠ACD=∠CED=90°

∵∠ACE=∠B+∠A=∠ACD+∠DCE

∴∠A=∠DCE

∴△ABC∽△CED

通过证明归纳得到：如果出现一条直线上出现三个直角简称“一线三直角”这个特殊的K字型，得到一组相似，这个结论在解题中可以拿来灵活应用。

（2）K字型的一般形式（一线三等角）

如果把一直线上的三个直角换成三个相等的角，同样K字型还是存在，那么换成三个相等的角之后K字型的相似是否依然存在呢？我们继续探讨。

条件：B，D，C三点共线，∠B= ∠EDF=∠C=α

结论：△BDE∽△CFD

证明：∵∠B=∠EDF=∠C=α

∵∠EDC=∠B+∠E=∠EDF+∠FDC

∴∠E=∠FDC

∴△BDE∽△CFD

通过上面的证明我们同样发现一直线上三个角相等简称（一线三等角）会出现K字型这个基本图形，同样存在K字型的相似。

从K字型的出现到常见形式的探讨，我们发现“一线三等角”的K字型中存在着相似，这帮助我们学生拓展解题思路，看清事物本质，从而有效地进行解题。下面继续结合典型的例子，体会K字型在相似中的妙用。

二、品味K字型在相似中的妙用

在讨论完K字型的基本应用后，在学习相似中我们要帮助学生深入挖掘K字型这个基本图形，抓住问题的本质，使学生肯质疑、善思考，从而帮助学生提高发现问题、分析问题、解决问题的能力。接下来为了把K字型融会贯通地使用，我打算从找出K字型、构造K字型两方面来品味相似中基本图形应用的精彩。

1.善于观察，巧用K字型

K字型这一基本图形往往隐藏于复杂的几何图形中，对于复杂的几何图形首先我们要学会分解，把它从图形中找出，根据它的特征进行相似中应用，从而提高学生的几何解题能力。在寻找是否存在K字型的过程中，可以根据K字型的特征尝试着寻找一直线上是否存在三等角（或三直角）。K字型相似三角形往往是以等腰三角形、矩形为背景，下面我将结合具体的例子来体会如何顺利找出K字型，并巧妙的运用K字型进行精彩的解题。

【例1】三角形中的K字型

如图1，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°。求证：△BDE∽△CFD

【思路分析】由题意得∠B=∠C= ∠EDF=60°并且顶点B、D、C在直线BC上，这属于典型的K字型相似，得出△BDE与△CFD相似。

图1

点评：该题中学生可以轻松找出K字型，让学生觉得找出K字型不是一件难事，有助于学生树立学习的信心。在轻松找出三角形中K字型，我们来观察如何找出矩形和等腰梯形中的K字型。

【例2】矩形中的K字型

已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP。设BP=t。

（Ⅰ）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）。

图2

【思路分析】

（1）对于题中（Ⅰ）发现通过两次翻折得出∠OPQ=90°，继而发现K 字型相似的存在，由∠OBP=∠OPQ= ∠PCQ=90°易证得△OBP∽△PCQ。

（2）问题（Ⅱ）由K字型的启示首先过点P作PE⊥OA于E，构造新的K字型易证得△PC′E∽△C′QA：

点评：该题由于矩形的特殊性，可以利用一线三直角的K字型进行解决，在（Ⅰ）中我们成功的找到了K字型，但（Ⅱ）的解题中我们是构造了K字型，那如何构造K字型下面将继续探讨。

通过上面的探讨发现任何一个复杂的几何图形都是由若干个基本图形组合而成的，将一个复杂图形中的基本图形“离析”出来，是解决问题必须具备的重要能力之一，而这种“离析”是在真正理解基本图形上才能进行的。在挖掘题中多个隐含的基本图形时，学生的数学素养和图形感知也将得到发展。

2.勇于构造，活用K字型

当通过观察找不出K字型如上面例2中的（Ⅱ）需要添加适当的辅助线，构造出K字型使问题得以解决。在下面结合具体例子讨论几种常见的构造方法。

【例3】如图3，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F。若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长。

【思路分析】在本题中出现了一直线上两直角的K字型的不完整图形，因此我们可以用作高的方法构造K字型，过点D作DH⊥BC于H，再通过证明△BEF∽ △HDE加以解决；

图3

点评：以上例题是我们熟知K字型的基础上，利用作高来构造K字型，运用相似的有关性质进行顺利的解题。

通过上面探讨可以帮助学生归纳在运用K字型这个基本图形时分以下两种情况：

（1）题目具备K字型的所有特征，可以直接通过这个基本图形的性质进行简单应用；

（2）题目具备K字型的部分特征，可以添加适当的辅助线或稍作变形构造出基本图形。

总之，复杂的图形都是由基本图形组合而成的，如果解题中通过观察、分析，快速地从复杂图形中分离出基本图形，，定能将问题化繁为简，事半功倍。通过对K字型基本图形的多种应用，可以获得常用的解题思路，从而进行有效的解题。

三、体验无处不在的K字型，感受一法解多题

《数学课程标准》要求，随着学生学习经验的积累和研究能力的发展，教师应逐步提高学生探究性水平的层次，为学生完善学习方式提供有利的条件。在品味完K字型在相似中的妙用，我们要会进行知识的迁移，结合下面精选的2题来体验无处不在的K字型从而提高学生的几何解题能力。

题1：如图正五边形ABCDE，B'是边BC上任意一点，以AB'为边（在BC的上方）向外作正五边形AB'C'D'E'，连接CC'，则∠B'CC'=_____°。

题2：如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是2，线段AB的两端点分别在直线l1、l3上并与l2相交于点E，若以线段AB为一边作正方形ABCD，C、D两点恰好分别在直线l2、l4上，则sinα=_____。

以上2题表面不同，但本质相同，都可以通过发现或构造出K字型的基本图形，达到运用基本图形解决问题的目的。

《数学课程标准》在几何方面的学习要求学生“能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系，利用直观来进行思考”。当学生成功掌握了K字型这个基本图形所隐含的基本性质和基本结论，在解题时只要根据试题特征，巧妙构造基本图形，运用其知识和方法，为解题思路的探求提供思维方向。在平时教学中要注重渗透基本图形的教学，引导学生成功地从复杂图形中分解出基本图形，并灵活地运用基本图形解决有关问题。

【参考文献】

[1] 林遂香. 在初中数学教学中渗透基本图形法的案例分析[J]. 数理化学习（教育理论），2011（08）.

[2] 黄格群. 相似中一个基本图形的妙用[J]. 中学数学（初中版），2011（08）.

[3] 王林辉. 巧提炼，妙解题——对基本图形在平面几何解题中应用的教学研究[J]. 中学数学教学参考，2009（8）.

[4] 中华人民共和国教育部 制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2011.

（作者单位：江苏常熟市滨江实验中学）