算法总在算理后

杜永宁

【问题】怎样求两个数的最小公倍数？为什么这样做？

【困惑】通常这样处理上述问题的教学，以西南师大版五下教材为例进行说明。

1.分别列举4的倍数和6的倍数，如下表

2.你发现了什么？

预设：4和6的倍数都有无数个；

4和6的倍数中有相同的数；

12，24，36，……既是4的倍数又是6的倍数……

3.讲解：什么是公倍数，什么是最小公倍数？

4.提出问题：除了这样的列举法，你还能怎样找出两个数的最小公倍数？

学生自主探究

5.汇报（教师一般借助已经通过其他途径学会的学生讲解，学习怎样用短除法求两个的最小公倍数）

6.练习并发现求两个数最小公倍数的规律

……

上面的教学过程看起来以学生为主体，顺利完成了求最小公倍数的教学。但实际教学中，发现采用这种灌输式的教学方法，学生对于为什么可以用短除法这样来求两个数的最小公倍数没有真正理解。这也是教师的困惑所在，怎样才能让学生真正理解求两个数最小公倍数的算理呢？

【思考】

1.找准新知识的生长点。求最小公倍数应该在什么知识上生长起来？倍数、公倍数和合数的改写（分解质因数）。所以，讲解完公倍数和最小公倍数后，可以提问：4和6的公倍数24与4和6有什么关系？为什么24却不是4和6的最小公倍数呢？

（1）4×6=24，24既是4的倍数，又是6的倍数，所以24是4和6的公倍数。

（2）为什么24却不是4和6的最小公倍数呢？学生要发现原因，不会那么容易，所以课前可以铺垫把4和6用短除法改写成质数相乘的形式4=2×2，6=2×3，学生观察分解式推测、发现：4×6时，它们公有的质因数2乘了2次，如果只乘1次，刚好是最小公倍数12。也就是说，两个数的乘积一定是这两个数的公倍数，但不一定是它们的最小公倍数，要求最小公倍数还需要……

2.自主构建方法。通过上面的发现，求两个数最小公倍数的方法呼之欲出，追问：你认为可以怎样求出两个数（4和6）的最小公倍数？

（1）分解筛选相乘法。虽然4×6，即2×2×2×3是它们的公倍数，但因为4和6有公有的质因数2，所以这个2只取一个，4和6的最小公倍数就是2×2×3=12。

（2）短除法。能不能把上面的分解写成短除法呢？两个短除法能合并在一起吗？我们发现，4和6公有的质因数2在短除法里只写了一次，所以直接把所有的除数和商乘起来就是4和6的最小公倍数，即2×2×3=12。

对比两种方法，它们本质上是相同的，只是写法不同而已，短除法直接把公有的质因数筛选出来了，更简洁。

我们注意到，在理解求两个数的最小公倍数算理的教学中，“4×6=24”这个算式发挥了重要作用，而它正是原始概念“倍数”定义的基础。

3.借助算理，掌握规律，拓展方法。理解了求两个数最小公倍数的算理，就可以进一步掌握求最小公倍数的规律，实现方法的优化和拓展。

（1）利用规律直接得到最小公倍数。 [15，30]=3×5×2=30，即有倍数关系两数的最小公倍数是较大数。

4和7没有公有质因数，不存在筛选，所以[4，7]=4×7=28。

（2）大数扩倍法。[18，30]= 2×3×5×3=30×3=90，显然两个数的公倍数一定是较大数的倍数，所以可以直接把大数拿来扩倍，从扩大到原来的2倍开始，只要得数也是较小数的倍数时，即可求得两数的最小公倍数。

（3）缩小乘积法。例如，18×30=540，540一定是18和30的公倍数，如果把540除以18和30公有的质因数2和3同样可以求到它们的最小公倍数，这种方法没有现实意义，只是算理上的存在而已。

这样的教学，学生在深刻理解算理的基础上，也就自然能掌握求两个数最小公倍数的算法，并体会各种算法之间的联系，真正内化这一重要的基本技能。因此，我们有理由说，精彩的算法总在深刻的算理之后。