函数与不等式思维，恒成立问题妙解决

谢朝平

摘 要：含参不等式恒成立问题是新高考与竞赛等方面数学试卷中的一个重点与热点.此类问题场景新颖，知识交汇，内涵丰富，解法灵活.本文结合一道竞赛题，就含参不等式恒成立场景下确定参数的取值范围问题加以剖析，总结解题技巧，归纳方法策略，指导师生的数学教学与学习以及解题研究.

关键词：不等式；恒成立；函数；单调性；性质

含参不等式恒成立问题一直是高考、竞赛以及模拟考试中数学试卷命题的热点题型，有时以小题（选择题或填空题）形式出现，有时以解答题形式出现，多是压轴题.此类问题形式多样，变化多端，创新新颖，难度较大，解题思维灵活多变，对于考查“四基”、数学能力与素养等方面都是一个很好的落脚点，具有较好的区分度，倍受各方关注.

1 问题呈现

问题：（2023年清华大学优秀中学生暑期学堂）已知x≥y≥0，且x+y+x-y≤a（x+y），则实数a的取值范围是    .

此题以含参不等式恒成立为场景加以巧妙创设，通过确定参数的取值范围来达到全面考查“四基”的目的.题目简单明了，在同一不等式中含有两个变量和一个参数，会给问题的分析与求解造成较大的困惑与难度.

在实际解决问题时，可以从函数思维切入，利用函数的构建以及函数单调性的判断来确定最值；也可以从不等式思维切入，利用不等式的基本性质与重要不等式的应用来放缩处理等.

函数思维与不等式思维是解决该问题的两个主要思维方式，而具体处理问题时，又可以从不同视角来切入，结合不同的技巧方法来分析与处理.

2 问题破解

2.1 函数思维

3 教学启示

3.1 总结方法，归纳策略

解决含参不等式恒成立问题，最为常见的技巧方法是函数思维与不等式思维.在函数思维应用中，合理地对相应的不等式进行恒等变换，分离参数并构建函数，借助函数的图象与性质、函数与导数的应用等，正确判断函数的单调性，从函数角度来化归与应用；在不等式思维应用中，基于分离参数的基础，借助不等式的基本性质、重要不等式（基本不等式、柯西不等式等）的合理放缩，从不等式角度来分化与应用.

当然，结合含参不等式恒成立问题的实际情况，有时也可以通过代数式的结构特征与几何意义等，借助数形直观思维、三角函数思维等来分析与处理，合理构建数学模型或三角换元处理等，巧妙转化.

3.2 交汇思想，提升能力

含参不等式恒成立问题，往往可以很好交汇并融合函数与方程、不等式、三角函数、函数与导数等相关的基础知识，契合高考“在知识交汇点处命题”的指导精神，成为考查知识、思想、能力等方面一个比较突出的知识点.

同时，在分析与解题过程中，又很好渗入函数与方程、化归与转化、分类讨论以及数形结合等基本数学思想方法，技巧方法多變，这就需要教师在教学与学习过程中，不断去领悟、体会与总结，对于锻炼学生的综合解题能力与逻辑推理能力，培养学生思维的灵活性、创造性等都有着非常独特的作用.