一道开放性椭圆试题的探究与推广

栾功

摘 要：文章通过对一道开放性椭圆模考题的解法探究，得到了试题揭示的内在规律，并通过变式探究进一步解释了试题中其他两个性质成立的条件，为圆锥曲线中定点定值问题教师的教和学生的学提供了参考.

关键词：开放性试题；圆锥曲线；定点定值

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）34-0041-05

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》在高考命题建议中明确提出：命题时，应包括开放性问题和探究性问题，重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识［1］.这一指导思想在近两年的各类考试命题中也得以体现，且较多集中在以数列和解三角形等知识为背景的结构不良问题上.而2022年一次西南大联考中圆锥曲线大题一改往日常态，以开放的探究型问题呈现，不论是试题的知识背景还是问题的呈现形式，都给考生耳目一新的感觉.

1 试题呈现

题目 （2022届“3+3+3”高考备考诊断性联考）点M是圆A：x2+y+12=16上任意一点，点B0，1，线段MB的垂直平分线交半径AM于点P，当点M在圆A上运动时.

（1）求点P的轨迹E的方程；

（2）BQ∥x轴，交轨迹E于点Q（点Q在y轴的右侧），直线l：x=my+n与E交于C，D两点（l不过点Q），且CQ与DQ关于BQ对称，则直线l具备以下哪个性质？证明你的结论.①直线l恒过定点；②m为定值；③n为定值.

分析 试题第（1）问考查了圆的简单几何性质与椭圆的定义，体现了试题的基础性；第（2）问以圆锥曲线共轭弦性质为背景设计了與动直线l有关的开放型问题，给考生创设了自主思考的情境，便于考生多角度、开放地思考问题，试题考查考生独立地对问题提出见解并进行论证的能力，综合性强，对学生直观想象、逻辑推理、数学运算等素养都有较高的要求.

通过变式探究发现，当直线QC，QD的斜率之和、之积为非零常数时，直线CD恒过定点，同样也有一般性结论，在此不再一一罗列，感兴趣的读者可以进一步地发散思考与探究，在尝试提出更高探究性问题的过程中历练更高层次的思维，形成更深刻的理解和感悟.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［责任编辑：李 璟］