一道与线段比有关的向量问题解法探索

摘 要：文章对一道与线段比有关的向量问题，从代数、几何、物理意义的角度进行了解法探索，给出了基底法、面积法、杠杆法等八种方法，并对方法之间的关联进行了探究.

关键词：线段比；向量；面积法；杠杆法；关联

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）34-0010-06

向量兼具代数和几何的双重特性，同时有着现实的物理意义.因此，在遇到有关问题时，我们可以从代数、几何和物理模型三个方面进行解答.而不同的解答方式，会从不同角度去阐释问题，并分析其之间的内在联系性［1］.

4 几点感悟

4.1 注重一题多解、多解归一和优解选择

一题多解和多解归一缘于数学的多元表征性.所谓表征，是指可反复指代某一事物的任何符号或符号集.通常把事物的不同表征形式叫做该事物的多元表征.如果问题信息可以转化为多种表征方式，且不同表征之间存在着实质性的联系，那么我们就可以多角度地分析理解问题，从而达到一题多解和多解归一.在本文中，向量可以从代数、平面几何、解析几何、物理意义等多个角度进行切入，切入后通过转化，发现其本质的同一性，进而可以实现思维角度的多解归一.当然，不同的解法书写表达、思维难度、运算复杂度各不相同，在具体做题过程中，要做到合理选择.如本文所述问题出现在选择填空题中，杠杆法无疑是最快捷的方法［3］.

4.2 在解题中逐渐提升知识关联的认知

郑毓信先生提倡教学时，不是求全，重要的是求“联”，这里的“联”就是联系、关联.认知关联包括知识关联、研究路径关联、研究方法关联.在解题过程中，教师需着眼认知关联教学，将研究内容与已有认知经验关联，引导学生在发现与建立关联中规划研究路径“延伸线”，在揭示与确认关联中激活研究方法“衔接点”，在内化与完善关联中形成数学知识“生长链”，从而提升学生的思维品质，发展学生的思维能力.在本文中，从基底法出发，到向量的参数方程法，实现了解题路径的延伸.而面积法、定理法、杠杆法、奔驰定理法既实现了向量代数和几何性质的衔接，又完成了知识的生长［4］.

4.3 适当积累高位知识

所谓高位知识，是指在学生知识体系之外，高于学生认知的知识，其包括高等数学的弱化、初等数学的升华、跨学科的融合等.高位知识并非深不可测，它只需学生在现有知识体系内，往前迈出一小步.如本文中的梅涅劳斯定理和塞瓦定理，只需要初中平面几何知识就可理解.适当地积累高位知识，就能站在更高角度寻找路径，贯穿各种“形似”“神似”的想法，发现某些数学必然的本质.如站在“面积法”的角度，就可以展望到本文中杠杆法和奔驰定理法，也可延伸到（梅涅劳斯、塞瓦）定理法，而定理法又可解释平行线法和面积法.

参考文献：

［1］ 吴梓帆，崔荣军.高中数学培优笔记［M］.杭州：浙江大学出版社，2022.

［2］ 李逸珈，虞关寿.杠杆原理与平面向量问题［J］.中学生数学，2017（21）：7-8.

［3］ 赵珊珊，陈建华.多元表征 一题多解 深度学习［J］.高中数学教与学，2022（15）：5-8.

［4］ 刘春阳，钱德春.基于认知关联教学 提升数学思维品质：以“角”的教学为例［J］.中国数学教育，2022（19）：50-56，64.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-09-05

作者简介：唐宜钟（1988.2-），男，陕西省汉中人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：陕西省教育科学“十四五”规划2021年度课题“教材‘閱读材料在数学学习中的渗透与引领策略研究”（项目编号：SGH21Y1194）