关于函数周期性与对称性的探究

王军 武婵

［摘  要］ 函数的周期性和对称性是考查重点，常出现于函数综合题中. 开展函数“双性”探究，对总结函数综合题的求解模板，探索函数性质规律十分必要.

［关键词］ 函数；周期性；对称性；数形结合；图象

周期性和对称性是函数两个重要的性质，也是函数重要的研究内容，高考中常综合考查这两个性质以及其联系. 在探究学习中，需要学生掌握常见函数的周期性和对称性，并总结函数综合性问题的求解方法，形成相应的求解策略，下面分别探析.

函数周期性的探究

1. 总结策略

函数的周期性是其基础性质之一. 函数解析式的取值有一定的周期性，对应的函数图象呈现周期性变化. 探究函数的周期性需要关注其变化周期，结合函数的基础知识求解. 求解思路分三步构建.

第一步，合理利用已知函数关系，并进行灵活变形.

第二步，熟记常见结论，准确求出函数的周期.

（1）若函数f（x）满足f（x+a）=f（x－a），则函数f（x）的周期为2a；

第三步，用函数f（x）的周期性求解实际问题.

2. 解题示范

例1 函数f（x）的定义域为R，且对于任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），若区间［-1，1］上f（x）=ax+2，－1≤x≤0，（a－2x）ex，0

解析 本题中的函数f（x）具有周期性，可以先推导其周期再求解，在此采用三步解析策略.

第一步，准确求出函数f（x）的周期. 已知f（x+2）=f（x），可得f（x）是周期为2的函数.

第二步，用函数f（x）的周期确定其解析式. 令x=－1，结合函数的周期可得f（－1）=f（1），即－a+2=（a－2）e，解得a=2. 所以，f（x）=2x+2，－1≤x≤0，（2－2x）ex，0

第三步，用函数f（x）的周期性求解问题. f（2017）+f（2018）=f（1）+f（0）=0+2=2.

评析 本题求解采用的是三步解析策略：确定函数的周期，推导函数的解析式，结合函数的周期完成求解. 函数的周期性是函数在整个定义域上的性质，对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，以及利用函数的周期性求值. 具体解析时可结合数值来检验推导出来的函数周期，确定函数周期准确无误.

3. 强化应用

A. －3 B. －2 C. 0 D. 1

解析 本题是周期函数求值题，可根据题意赋值，先确定函数f（x）的周期，再求出函数f（x）在一个周期中的f（1），f（2），…，f（6）的值，最后完成求解.

因为f（x+y）+f（x－y）=f（x）f（y），令x=1，y=0，可得2f（1）=f（1）f（0），所以f（0）=2. 令x=0，可得f（y）+f（－y）=2f（y），即f（y）=f（－y），所以函数f（x）为偶函数.

令y=1，得f（x+1）+f（x－1）=f（x）·f（1）=f（x），即f（x+2）+f（x）=f（x+1），可知f（x+2）=－f（x－1），f（x－1）=－f（x－4），故f（x+2）=f（x－4），即f（x）=f（x+6），所以函数f（x）的一个周期为6.

因为f（2）=f（1）－f（0）=1－2=－1，f（3）=f（2）－f（1）=－1－1=－2，f（－2）=f（4）=f（2）=－1，f（5）=f（－1）=f（1）=1，f（6）=f（0）=2，所以一个周期内的f（1）+f（2）+…+f（6）=0. 由于22除以6余4，因此f（k）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1－1－2－1=－3. 故答案为A.

评析 上述解题过程为：先赋值变形，再推导函数的周期，得到一个周期内相应的函数值，最后完成求解. 对于周期函数的求和问题，整体上可以采用这个三步解析策略.

4. 变式拓展

例3 已知函数f（x），对于任意x，y∈R，满足f（x+y）f（x－y）=f 2（x）－f 2（y），且f（1）=2，f（2）=0，则f（1）+f（2）+…+f（90）的值为_____.

解析 本题为函数取值探究题，需要解析函数关系推导函数的周期或变化规律，再利用函数性质来求值. 其中关系式f（x+y）f（x－y）=f 2（x）－f 2（y）较为复杂，可取特殊值来分析周期或变化规律，过程如下：

令x=2，y=1，则f（3）f（1）=f 2（2）－f 2（1），所以f（3）=－2；

令x=3，y=2，则f（5）f（1）=f 2（3）－f 2（2）=4，所以f（5）=2；

令y=2，则f（x+2）f（x－2）=f 2（x），所以f（7）=－2，f（9）=2.

所以，f（2k+1）=（－1）k·2（k∈Z）.

令x=3，y=1，則f（4）f（2）=0①；令x=4，y=2，则f（6）f（2）=f 2（4）②；令x=5，y=1，则f（6）f（4）=0③.

假设f（4）≠0，那么由③可知f（6）=0. 将f（2）=0，f（6）=0代入②式中，发现与f（4）≠0矛盾，所以f（4）≠0不成立，故f（4）=0. 同理可得当x为偶数时，f（x）=0. 所以，原式=f（1）+f（3）+f（5）+…+f（89）=2.

评析 上述解析抽象函数取值时，采用的是取特殊值的思路，推知函数f（x）的自变量取奇数和偶数时的规律，得到函数值的和. 函数周期性探究问题有两类，一类是函数具有固定的周期，另一类是函数具有特殊的变化规律. 上述问题可以归为后者，具有特殊的变化规律.

函数对称性的探究

函数的对称性也是探究重点，包括轴对称和中心对称两种类型. 探究解析需要理解两类对称的含义及特性，概括常见的函数对称性结论，并结合实例，生成相应的思路. 对于一般的函数对称性问题，同样可以分三步进行解析：第一步，解析变形与函数相关的条件，如函数关系式；第二步，确定并验证函数的对称性；第三步，基于对称性及相关结论完成问题求解.

1. 概括结论

对于函数对称性问题，可以直接套用常见的函数对称性结论，简化解析过程.

2. 解题示范

解析 本题为多函數求值问题，涉及三类函数. 可以先确定函数的相关性质，再结合对应结论来推导. 本题分三步进行求解：第一步，根据函数的解析式分析函数的性质，确定函数的对称性；第二步，联立函数方程，求解关键点的坐标；第三步，结合点的坐标来求值.

评析 上述解析多函数求值问题时，主要利用的是函数的特殊性质. 同时把握问题的几何意义，将求值问题转化为求中点坐标问题，再通过方程联立的方式来求解. 对于函数对称性问题，可以先灵活转化函数关系条件，再利用对称性结论求解.

3. 强化应用

解析 本题为分段函数求值问题，解析时先画出函数的图象，根据对数函数的性质，以及其对称性，转化条件，构建新函数，再利用函数的单调性来求取值范围.

由于2

4. 变式拓展

评析 上述求解过程借用函数的周期性、对称性作函数图象，确定两函数的交点以及特点，从而直接推出零点之和. 整体上采用了化归转化和数形结合思想方法，即先将零点问题转化为函数相交问题，然后通过数形结合分析函数性质，挖掘隐含信息，简化解析过程.

函数“双性”探究的建议

周期性和对称性是函数的核心性质，也是高中函数探究的重点，上述总结了周期性问题的解题模板，以及对称性问题常用的结论. 在实际探究中笔者建议：

（1）性质探究注意结合图象. 无论是函数的周期性，还是函数的对称性，均可以直观体现在图象上，探究时可以结合对应的图象，直观分析，深刻理解.

（2）性质探究注意结论梳理. 函数“双性”中存在一些常用的结论，总结归纳，灵活运用可以降低思维难度，简化运算过程.

（3）解题探究逐步深入. 解题探究有助于深刻理解函数“双性”，灵活运用解题模板，拓展学生思维. 教学中建议按照由易到难、逐步深入的方式来开展解题策略构建，如上述设计的“解题示范”“强化应用”“变式拓展”等环节.

（4）解题探究注意思考总结. 解题探究时需要注意思维引导，让学生按照总结的思路和方法分析问题，帮助学生强化类型问题的求解策略.

作者简介：王军（1990—），硕士研究生，中学一级教师，从事高中数学教育教学工作.