优化运算过程 提高运算能力

［摘  要］ 对于同一个问题，不同运算思路导致的运算量有着天壤之别，尤其在解决解析几何问题时，运算思路的选择与优化异常重要. 研究者以一道关于圆锥曲线问题的运算教学为例，探讨不同运算思路所带来的不同运算过程，并就此从“明确运算对象”“设计运算思路”“探寻症结所在”“寻求矫正方法”“优化运算素养”五方面谈谈几点思考.

［关键词］ 运算思路；运算过程；圆锥曲线；运算对象

笔者在近些年的教学实践中发现学生“会而不对、对而不全、全而不优”的现象非常普遍，究其主要原因在于学生对运算对象、法则、思路等的掌握不足. 为此，笔者以一道关于圆锥曲线问题的运算教学为例展开分析.

教学实践

1. 直接运算

从例题的题设条件与结论来看，该题条理清晰，解决思路明朗. 既然要求的是点P的坐标，就可以先直接设点P的坐标，再通过题设条件用点P的坐标表示点Q的坐标，然后将其代入椭圆E的方程中，建立关于点P的坐标的方程，最后联立方程，解决问题.

课堂上，大部分学生应用上述思路解题. 新课标关于数学运算素养水平提出了明确的要求：（水平一）能够在熟悉的数学情境中了解运算对象，提出运算问题；能够了解运算法则及其适用范围，正确进行运算；能够根据问题的特征形成合适的运算思路. 解析几何的运算，基本上是将几何问题转化成代数问题，借助代数方法进行运算. 因此，选择直接运算法在情理之中. 但这种方法属于水平一的层面，想要进一步提升学生的运算水平，可以优化本题的运算方法.

2. 合理运算

新课标提出的数学运算素养水平二是：能够在关联情境中确定运算对象，提出与运算相关的问题；能够针对运算问题，合理选择运算方法、设计运算程序，运算求解. 事实证明，将向量作为运算对象，借助向量方法，亦可把几何问题转换成代数问题. 关于上述例题所提到的两个垂直关系，可从向量数量积为零的角度去分析. 鉴于此，笔者提出问题1，以启发学生的思维.

问题1 除了应用直线斜率之积是“-1”对上述例题中的两个垂直关系进行处理外，还可以择取哪些运算对象对这两个垂直关系进行刻画？

设计意图 设计此问的目的主要是将“向量”这一运算对象引入学生的思维，为学生提供思维导向.

从解法1来看，虽说引入点Q后，整体感觉参数变多了，但因为向量数量积为零，所以获得的代数式能借助整体思想来化简，从而探寻出坐标间存在的等量关系，新的解题思路浮出水面.

例题存在丰富的几何背景，为此笔者又特别设计了如下两个问题（问题2和问题3）供学生思考交流，以深化学生的理解.

设计意图 设计此问的目的是引导学生根据图形联想到焦半径问题，并自然而然地利用椭圆的第一定义和第二定义去思考问题.

设计意图 问题3建立在问题2的基础上，在引导学生联想到焦半径后根据两个垂直关系来构造直角三角形，以凸显两组焦半径之间存在的联系.

问题2和问题3的提出，不仅让学生明确了处理此类问题的方法，还开阔了学生的视野，拓展了学生的思维，为学生形成触类旁通的能力奠定了基础. 在问题2和问题3的引导下，学生自主提出可从以下两个角度来处理例题.

解法2 借助椭圆的第一定义解题（角度1）.

借助椭圆的第二定义解题（角度2）.

3. 优化运算

随着例题探究的深入，在课堂时间允许的情况下，还可以进行变式拓展，更深层次地训练学生应用“圆锥曲线中运算优化策略”，促进学生运算能力的提升.

几点思考

1. 明确运算对象

想要发展运算素养，首先要明确运算对象. 通常情况下，高中数学涉及的运算对象有数、代数式、数列、向量等. 一旦确定了运算对象，那么运算目标的设置就有了方向，在目标明确的情况下再实施精准教学.

2. 设计运算思路

运算能力不是单纯地指学生的数学操作能力，还与学生的思维有关. 因此，就解析几何而言，教学有两个关键点，一是思路方法的研究，二是运算能力的培养［1］. 这告诉教师：同一情境中，可设定不同的运算思路与程序，引领学生从多个角度去分析题干与运算相关的条件，逐步探寻运算方向，择取合适的运算方法和运算程序，使得运算过程更加简洁、合理.

如本节课教学，学生对解法1比较熟悉，这也是大部分学生首选的解题方法. 基于运算对象的角度来看，设定点P后，接下来就涉及数和代数式的运算过程. 若能带领学生从垂直的角度往下继续深挖，可引入新的运算对象向量来分析，由此获得解法2. 若将焦点三角形作为运算对象，又能顺利得到第三种解法.

由此也可以看出，从不同角度来理解运算对象，所获得的运算思路有着天壤之别. 这也是为什么要将运算对象的确定放在首位.

3. 探寻症结所在

不少学生学习解析几何时，常常忽视运算，也有些教师在课堂上讲解解析几何问题时，只与学生探讨一下解题思路，很多时候直接忽略运算过程. 正是师生对运算的不重视，导致学生运算少，遇到实际运算时错误百出，甚至看到冗长繁杂的运算就直接打退堂鼓.

鉴于学生的个体差异性，每一个学生在运算时呈现出来的问题各不相同，外显出来的常见问题有思维习惯与运算习惯之差，有些学生的运算缺乏科学性……因此，教师先要弄清楚学生在运算方面存在的问题，然后才能探寻出有效的应对措施.

4. 寻求矫正方法

一旦确定问题的症结，就可对症下药：①通过各种途径让学生明确运算在数学学习中具有怎样的地位、意义与价值，在日常作业、练习中适当地增加运算量；②培养学生的运算习惯，引导学生弄清楚运算的“得分点”是什么；③给予学生充足的运算时间，让学生在自主探索中掌握运算技巧；④鼓励学生养成整理错题的习惯，尤其注意区分一些容易混淆的运算类型，可以通过“慢节奏”的方式夯实基础.

5. 优化运算素养

提升学生的运算素养，并非单纯提升运算技巧、速度等，更重要的是引导学生明确运算对象的作用、意义等. 学生只有深刻体会到运算对象的内涵，才能从真正意义上提升运算素养. 例如解法2就是从向量的内涵出发去解题，这种解题思路显然比解法1更简便. 由此也能看出数学运算素养的发展，首先要拥有一双善于观察的眼睛，能择取合适的运算对象来简化运算.

波利亚提出的四步解题法为：理解问题、拟定计划、实施计划、回顾反思［2］. 这四个步骤对运算素养的培养同样具有一定的参考意义：一方面，教师应带领学生弄清楚运算对象是谁，运算法则是什么，在此基础上再探究运算方法，实施运算，获得结论；另一方面，针对学生存在的个体差異以及运算的“拐点”等，教师进行适当点拨与引导，捕捉学生在运算过程中存在的错误类型，与学生一起探寻运算失误的原因，为采取行之有效的应对措施奠定基础.

总之，优化运算能力需要经历一个漫长的过程，“速成法”固然行不通，“题海战术”更不现实. 这就要求教师在日常教学中，尽可能引导学生从运算对象、运算法则与运算目标等角度出发，解决“怎样算”“这么算的原因是什么”等问题. 同时，不论是课堂练习，还是课后作业等，学生都要养成良好的运算习惯，规范运算的每一个环节与步骤，达到会算且算对的目的，以从真正意义上提升数学学科核心素养.

参考文献：

［1］ 崔志荣. 解几运算教学  让学生吃点“亏”也好［J］.数学通报，2018，57（09）：60-62+66.

［2］ 波利亚. 怎样解题：数学思维的新方法［M］. 涂私，冯承天，译. 上海：上海科技教育出版社，2007.

作者简介：钱佶忠（1983—），中学一级教师，常熟市数学学科带头人，常熟市优秀高三青年教师，从事高中数学教学工作.