立足教学实践 发展数学抽象

［摘  要］ 高中数学教学以发展学生的数学学科核心素养为目标. 数学抽象素养作为数学学科核心素养的六大要素之一，对学生的个人发展具有重要意义. 如何立足教学实践，发展学生的数学抽象素养呢？文章从概念教学、模型建构、数学思想方法的提炼与数学结构体系的建构四方面展开分析.

［关键词］ 数学抽象；教学实践；思维

数学是一门综合性学科，对学生的思维要求较高. 学生不仅要理解生涩的概念、抽象的定理和公式等，还要将概念、定理和公式等灵活地应用在实际问题的解决中. 尤其是高考试题，综合程度高，一道题往往涉及多个知识点，这对学生的思维与抽象能力提出了更高的要求. 为了让学生形成以“不变应万变”的解题能力，教师应将培养学生数学思维能力与数学抽象素养的方法渗透在教学的各个环节中，让学生在潜移默化中得以发展.

在概念教学中发展数学思维

概念是数学的核心，是发展数学思维的关键. 弄清概念的本质是数学教学的根本，对发展学生的抽象能力具有重要价值与意义. 学生学习概念的过程实则为掌握一类事物关键属性的过程，这种关键属性一般从大量的同类事物的不同例证中逐个发现，罗列到一起则抽象出相应的概念（概念形成）. 学生结合自身原有的认知结构来理解新的概念，称为概念同化. 概念同化与形成是获得概念的两种基本形式.

如何在概念教学中发展学生的抽象素养呢？从概念的意义来看，概念是在对数学对象模式识别与图形感知的基础上抽象而来的.

案例1 “弧度制”的教学.

弧度制是指建立在扇形圆心角的基础上，分别从弧长、圆心角与半径三者中抽象出圆心角大小的概念. 因此，执教弧度制概念时，可设计一个既符合学生实际认知，又包含弧长、圆心角与半径的情境，启发学生的思维，让学生顺利进入新知探索状态，为抽象弧度制的概念做准备.

情境：如图1所示，国际标准要求铅球的投掷区为圆，落地区为一个以圆心为顶点的角，根据比赛规定，要在角内确定的位置画出多条弧线.

问题1：只凭借皮尺，该如何测算出该角的大小？

教师以学生熟悉的铅球比赛场地作为情境，结合学生的认知水平提出相应的问题，让学生很快联想到之前接触的扇形与弧长问题，显然这个情境起到了良好的诱导思维的效果.

问题2：观察到每一个小组成员所测得的半径r与弧长l的值虽然不一样，但计算后所获得的n的值又是一样的，这是为什么呢？

鉴于学生有了生动、形象且有效的活动作为思维的支撑点，学生很快就自主感悟并抽象出圆心角公式所具备的结构特征.

问题3：基于上述探索，大家还有其他想法吗？

当学生抽象出弧度制的概念后，教师可带领学生化简扇形的弧长与面积公式，这彰显着数学学科的简洁美. 接下来，借助弧度制与角度制的换算，建立角度和实数一一对应的关系，这也是三角函数的知识基础.

以上概念教学片段，教师从学生的生活经验出发，创设了丰富的教学情境，成功地吸引了学生的注意力. 问题串的应用与数学文化的渗透，有效启发了学生的数学思维，让学生主动抽象出弧度制的概念并深刻理解弧度制的来龙去脉，为后续三角函数的研究奠定了基础.

在命題教学中发展数学思维

数学知识有三个模块：概念、命题与论证. 高中数学命题教学要求让学生深刻理解命题的意义，明晰推理过程以及命题的应用范围，能利用命题解决实际问题. 在命题教学中发展学生的数学抽象素养，关键在于带领学生探索命题的推理过程. 如教师提供一些探索素材，辅以适当引导，可让学生在良好的氛围下通过自主观察、分析、类比获得命题.

现代教育心理学研究表明：数学学习过程并不仅仅是带领学生理解并掌握知识的过程，还是引发学生主动发现并解决问题的过程. 这就需要教师从一些典型的知识出发，利用各种教学手段引导学生开动脑筋，探寻数学事物中所蕴含的规律，让学生经历完整的研究过程，为建构新知、形成长时记忆、发展抽象素养奠定基础.

案例2 “平面向量基本定理”的教学.

在作向量的过程中，学生的第一次抽象为：应用向量a，b能表示多个以O为起点的向量c，也就是c=λa+μb（λ，μ∈R）.

接下来，教师借助几何画板变换λ与μ的值，学生在动态演示中发现用向量a，b能表示无数个以O为起点的向量c，此为学生的第二次抽象.

此时，学生的思维切换到建模的节点：①以O为起点的向量c能不能用向量a，b表达出来？②观察自己作的5个向量，抽象出平行四边形法则，即向量c=λa+μb（λ，μ∈R）的具体作法. 此为完成上述问题的基础，亦是引发学生进行逆向思考的过程，由此学生自主获得与向量c相对应的实数λ与μ.

至于起点不位于点O处的任何向量，都可以把起点平移到点O的位置. 到这个时候，抽象平面向量基本定理的过程基本完成.

学生的思维因经历了由浅入深、循序渐进的逐层抽象过程，不仅对平面向量基本定理的来龙去脉有了充分认识，还对平面向量基本定理有了深刻理解.

命题教学的关键在于引导学生掌握逻辑推理能力，尤其要关注一些具有典型意义的数学思想、研究技巧的提炼与总结等. 同时，命题还是培养学生逆向思维与反思能力的契机，尤其是命题的变用、逆用等能有效促进学生解题能力的提升.

在数学思想方法提炼中发展数学抽象素养

数学思想是指人们对数学研究对象的规律与本质的深刻认识，是数学学习与数学问题解决的重要方式、策略与指导原则. 数学方法是指人们解决实际问题的程序、步骤，是实施数学思想的手段.

将数学思想与方法联合在一起进行表述，其实两者间有着一定的联系：数学思想是数学方法的灵魂，具有指导方法应用的功能，以及内隐性特征；数学方法是数学思想的表现形式与实现手段，具有外显性特征.

数学思想方法是数学抽象的产物，抽象过程对学生数学思维的发展有重要的促进作用.

案例3 “两角差的余弦公式”的教学.

当学生抽象出两角差的余弦公式并对其特征与本质有所了解后，进入公式的证明环节，让学生将这一公式的研究类比到其他类似公式的研究中，形成一定的研究“套路”.

在研究过程中，最重要的就是数学思想方法的提炼与应用. 立足学生数学学科核心素养的公式教学，可在数学思想方法的提炼与渗透中帮助学生形成良好的抽象能力.

通过以上几项教学活动的开展，不难看出数学思想方法的提炼与渗透不仅能有效促进学生思维能力的提升，还能有效发展学生的数学抽象素养，提高学生的逻辑推理能力，让学生感知数学学习带来的成就感.

在结构体系建构中发展数学抽象素养

在学习过程中建构良好的数学结构体系是数学抽象的重要体现. 普朗克是量子论的创始人，他提出：科学是内在的统一体，虽然将它分解到各个单位的部门中，但这并不是由事物的本质所决定的，而是源于人类认知的局限性，事实上不论是物理、化学，还是人类学、社会学等都存在一定的内在关系.

如图2所示，我们所熟悉的数系内的六则运算之间就存在着纵横交错的联系.

将教学内容结构化与体系化，可让知识变得更简约，利于学生记忆、存储与检索，促使学生形成新的想法，为创新意识的形成与抽象意识的发展奠定基础. 有些教学内容从纵向的逻辑来看，并不存在什么关系，但它们所蕴含的数学思想方法却有高度的相似性，从横向来打通这种关系，能有效突破知识的封闭性，帮助学生建构结构开放、内容丰富的知识网络.

如我们熟悉的对数函数、指数函数等，就可以通过列表的方式，类比其定义域、图象、值域与性质等.

案例4 “圆锥曲线”的教学.

椭圆与双曲线的横向类比，要求学生思考：假设两个定点间的距离是2c（2c＞0），到这两个定点的距离之和为定长2a（2a＞2c）的点所形成的轨迹是一个椭圆；到这两个定点的距离之差为定长2a（2a＜2c）的点的轨迹为双曲线. 若椭圆和双曲线分别对应加和减的运算，则是否存在相应的曲线对应乘和除的运算呢？

这个问题有点难度，主要是针对学有余力的学生而设计的，意在引导这部分学生进入探究状态，发展他们的数学抽象素养. 对应乘和除的运算的曲线确实存在，即到两个定点的距离之比为定值（不等于1）的点的轨迹是阿波罗尼斯圆，到两个定点的距离之积为定值的点的轨迹为卡西尼卵形线，双纽线为特殊的卡西尼卵形线.

两种圆锥曲线的横向类比，不仅能让学生发现它们间的异同点，还能让学生感知知识的统一性，体验数学之美. 学生在自主探索中不断完善知识结构，建构良好的知识体系，一方面促进了抽象素养的形成与发展，另一方面增强了对客观现实世界的洞察力.

总之，数学抽象素养的培养必须立足教学实践，让学生从数学的角度来分析与看待问题，形成用数学眼光观察世界、用数学思維思考世界、用数学语言表达世界的能力. 知识与技能的教学是最基础的教学活动，是发展学生直观想象、数学抽象的重要过程，是培养学生数学学科核心素养的关键.

作者简介：崔亮（1984—），本科学历，中小学一级教师，从事高中数学教学与研究工作.