优化高中数学知识结构的措施研究

施仁青

［摘  要］ 知识结构化能有效提升学生的认知品质，让学生在简约性中识记、存储、检索知识，提高对知识、方法与思想的认识，促进正迁移能力的形成. 文章从知识结构的理论基础出发，分别从以下几方面谈一谈优化高中数学知识结构的措施：情境类比，建构概念；着眼全局，优化设计；纵横联系，促进融合；变式训练，融会贯通.

［关键词］ 知识结构；教学措施；变式训练

知识结构是指学习者为了达到认知需求，按照一定的比例关系或组合方式将所学内容建构成动态、开放的知识架构. 数学知识结构一般有宝塔型、复合型、幕帘型等. 每一个学生因个体差异，在学习过程中会按照自身对知识理解的广度与深度组建成符合自身思维特点且具有一定规律的知识结构.

理论基础

从高中数学内容出发，其结构主要包含概念、命题、思想与方法等，学生在知识结构的建构上一般遵循以下过程（如图1所示）.

从知识体系的整体功能出发，将知识部分与结构部分的功能联合在一起，挖掘出各个结构潜在的因素，通过协调能产生整体功能大于组成要素之和的效果. 充分挖掘概念内涵、数学思想方法与命题等，是增强整体功能的重要手段.

优化知识结构的措施

1. 情境类比，建构概念

新知的建构需经历从个体到整体、从特殊到一般的类比过程. 尤其是概念教学，应注重其来龙去脉的整理，让学生感知知识的产生和发展顺理成章. 只有弄清楚概念的内涵与外延，才能从根本上理解概念的本质，为建构良好的知识结构夯实基础.

案例1 “平均变化率”的概念教学.

平均变化率的概念教学在高中数学中占有重要地位，目标设定时可用问题情境引导学生进行自主类比归纳.

情境1 在意大利格罗塞托空军基地的飞机场跑道上，战斗机“飓风2000”与跑车“法拉利2003”上演了一场“巅峰对决”——谁更快. 已知战斗机“飓风2000”与跑车“法拉利2003”的最高时速分别为2450 km和369 km，若两者同时奔跑，谁能获胜？（借助视频或动画演示，让学生产生直观感知）

问题1：如图2所示，此为两者的位移图象，当s∈［0，600］时，哪一段图象更陡峭？

问题2：量化图象陡峭程度的方法是什么？（割线斜率）

问题3：若同时奔跑600 m的路程，跑车“法拉利2003”用时更少一些，由此可判断在这场“巅峰对决”中，战斗机“飓风2000”与跑车“法拉利2003”谁更快？该如何量化这场“巅峰对决”中的快慢？（位移与时间之比）

情境2 在2022年，某市三天的最高气温如下（见表1）：

问题1：将2022年3月18日开始的最高气温整理成图3，其中哪一段图象更陡峭？

问题2：该怎么量化图中陡峭的程度？

问题3：哪个时间段内温度变化最大？

在上述两个情境问题中，位移s为时间t的函数，也就是s=s（t）；温度T为时间t的函数，也就是T=T（t）. 类比这两个情境问题，一般函数y=f（x）的函数值在某个区间内的陡峭程度该如何刻画呢？

如图5所示，此为平均变化率的探究过程.

此处，教师若照本宣科地将平均变化率的概念直接传给学生，学生只能进行机械式记忆，因缺乏对情境的类比、归纳与概括过程，学生没有亲历从特殊到一般的思维变化，就无法从根本上理解速度与温度变化的快慢与大小，更谈不上揭示平均变化率的本质.

遵循学生认知发展的基本规律，结合教学内容科学设计教学程序，不仅能让学生亲历知识发生和发展的过程，体验克服困难的成就感，还能将所获得的概念组装到原有的认知结构中去，形成完整的知识体系.

2. 着眼全局，优化设计

优化知识结构的目的在于最大化地培养学生的能力，因此以“能力立意”为宗旨的教学模式是促进知识结构化的基础. 然而，能力的发展并不像知识点的处理那样容易落实，这就需要教师着眼全局，从宏观、本质的角度来优化教学设计，帮助学生更好地建构知识结构.

宏观是指从学科的整体视角出发，站到一定的高度对知识进行宏观梳理，一般以核心知识为主线，从方法与思想等维度对教学内容进行整理，让学生明确知识间的逻辑关系，加强思想方法的融合，达成知识结构化的策略［2］.

从某种意义上来说，知识结构化是促进学生发展数学能力的基础. 从全局来看，高中前两年的教学以新知教学为主，教学重点在于对知识点的理解与应用，在此过程中，学生的知识储备量迅速增加，但所获得的知识如同杂乱的仓库一样，毫无章序可言. 在这种背景下，当要提取某个知識点或遇到综合性的问题时，则会处于慌乱状态.

若在新知建构时就从全局出发，将知识进行结构化的整理，则能让“知识库”变得井井有条，应用起来得心应手. 如何建立知识间的联系，让各个知识点有秩序、有层次地排列起来呢？这就需要教师在教学设计时多加琢磨.

一般从“一条线索与三个维度”出发进行思考，“一条线索”指核心知识，包括概念、法则、公式、定理等；“三个维度”分别指知识、知识所承载的数学思想、由知识形成的方法. 一旦方向明确，那么教学设计则有章可循.

案例2 “椭圆的第二定义”的教学.

椭圆的两个定义是解析几何的基础，单从定义本身来看，椭圆的第一定义与第二定义并没有明显的联系，这是不少教师在讲授椭圆第二定义时直接呈现它的主要原因. 开门见山地呈现定义的教学方法对于高中阶段的学生而言也无可厚非，但从天而降的定义到底表达了什么？它从何而来？这是学生的困惑之处.

为了让学生从根本上掌握这个知识点，教师可从全局出发，站在宏观的角度进行教学设计，让学生感知椭圆的第二定义其实与第一定义有着重要联系，是第一定义演化的结果.

（1）定义演化.

（2）导出距离之比.

（3）获取几何意义.

（4）逆命题的探索.

此教学设计以椭圆的第一定义为出发点，带领学生通过化简与变形导出第二定义. 整个教学流程和谐、自然，不仅让学生明确感到了椭圆两个定义间的关系，还从全局的角度优化了教学设计，让学生更加容易理解椭圆第二定义的本质，为学生建构良好的知识结构奠定了基础.

从一个线索、三个维度来剖析该教学设计，显然椭圓的第二定义是主线，而相关知识、方法与思想则为探究的各个维度. 学生亲历定义形成与发展的过程，不仅建构了长时记忆，还触类旁通地理解了相关问题的本质，为接下来的知识应用夯实了基础.

3. 纵横联系，促进融合

数学本身就是一门系统学科，每一个知识点都不是孤立存在的个体，加强子知识间的联系是有序建构知识结构的关键，也是数学学习不可或缺的一部分. 基于数学学科存在数量关系与空间形式两大模块，它们从不同角度来刻画数学事物的性质. 由此，中学数学分成了代数、三角、几何（平面、立体、解析几何）等主干，每个主干都由丰富的子知识组成，但这些子知识并非只依附于主干而存在，知识点间存在着互相印证的关系，在特定的条件下还可以互相转化.

为了帮助学生更好地建构数学知识结构，教师应在日常教学中关注知识的纵横联系，让学生充分感知知识间的互通功能，为灵活应用奠定基础.

案例3 “三角最值”问题的例题教学.

本题若执拗于三角这一部分知识去求解，虽然也能获得结论，但过程冗长烦琐，失误率较高. 若从解析法着手去分析，则能化繁为简，让解题变得更加便捷.

由此可见，知识点间并非离散且隔绝的关系，而是存在着纵横交错的联系. 学生在建构知识结构时，不仅要把握知识的深度，还要掌握其广度. 只有将纵向结构的系统性与横向结构的连贯性融合在一起，才能形成立体、完善的知识网络，彰显出数学体系的生命力与灵活性.

4. 变式训练，融会贯通

当学生从多维度掌握了相应的知识后，则进入应用阶段. 变式训练是揭示知识本质的主要途径，学生可从变式的“变”中发现知识“不变”的本质，而“不变”的本质又是探寻事物变化规律的关键条件. 因此，完善知识结构离不开变式训练，这是促进知识达成融会贯通的必经之路.

变式题1：求证（tanα+1）（tanβ+1）=2.

变式题3：如图8所示，将三个不同的矩形拼接在一起，已知a+c=1，d+e=1，b+f=1，求证拼接而成的图形的面积必然小于1.

逐层递进的变式题涉及三角、几何、不等式等知识，学生在解题过程中能不断完善知识结构，深化对知识纵横发展的理解，达到融会贯通的解题能力，为形成良好的应变能力与创新意识奠定了基础.

布鲁纳认为，理解学科知识结构是知识应用的基本要求. 教师的职责不仅仅是引导学生弄清楚知识的来龙去脉，更重要的是带领学生从知识的宽度与广度着手，在对其思想方法产生深刻理解的基础上建构严谨的知识结构.

参考文献：

［1］ 皮亚杰. 结构主义［M］. 倪连生，王琳，译. 北京：商务印书馆，2006.

［2］ 任长松． 探究式学习——学生知识的自主建构［M］． 北京：教育科学出版社，2005.