深度学习下的等比数列概念教学

［摘  要］ 文章以深度学习为理念，设计等比数列概念教学，注重学生的自主探究、交流表达、合作讨论、动手操作，促进知识的深度加工与知识网络的构建，重视学生的主体地位，提高学生的课堂参与度，从而落实数学学科核心素养的培养.

［关键词］ 深度学习；等比数列；概念教学

等比数列是“数列”一章的重要内容之一，学生之前学过等差数列，掌握了研究数列模型的内容和方法. 学生可以类比等差数列的研究过程自主探究等比数列，但等差数列对学生学习等比数列具有一定的负迁移作用. 因此，理解等比数列的概念成了探究的起始點. 数学概念的产生自有其历史性和必要性，具有重要的教育价值. 概念是性质和定理等的出发点和推导依据，学生只有明白概念形成的来龙去脉，理解概念出现的条件，使用时才能有的放矢，才会用数学的眼光去看待、发现、提出问题，从而提高思维水平和创造能力.

教学设计思想

1. 设计理念

深度学习，是信息化时代对人类学习的必然要求，是学习者能动地参与教学的总称［1］，是学习者在记忆、理解的基础上积极主动的批判性学习，能对知识进行批判理解、主动联系、整合信息、完善结构、迁移应用等. 深度学习以“学”为中心，让学生在知识和经验的最近发展区去理解、分析已有知识，对所学知识进行深度加工，通过探究、合作和评价获得新知识［2］.

深度学习是相对于浅层学习而言的. 深度学习的三个具体特征表现在：

第一，从整体视角了解知识结构，从信息整合的角度达到对数学对象的真正理解，包括学生的发散思维、研究判断、学习反思等认知活动. 相对而言，浅层学习只是无联系、碎片化地接受知识，数学概念也僵化在机械背诵或暂时记忆的层面.

第二，对知识进行多元构建，并强调迁移运用. 深度学习强调对数学知识框架的构建，促进学生探寻知识背后的思想方法，从而帮助学生触摸数学的本质. 相反，浅层学习忽视知识网络的构建，一味运用“套路”解题.

第三，重视数学与现实的联系，在真实情境中挖掘材料、深度加工，培养学生终身学习的习惯. 深度学习区别于浅层学习的一个重要特征在于深度学习是学生主动接受和思考的过程，而浅层学习是学生被动接受和思考的过程［3］.

2. 设计背景

由于教学观念、教学进度和现实因素，传统教学模式往往忽略概念教学中的引入和理解探究环节，将时间和精力更多地放在解题环节. 导致的结果是大部分学生对于定义、公式、定理的记忆效率低下，在实际解题时不知从何下手.

首先，高中数学具有高度抽象、符号化的特点，所以学生对数学概念的真正掌握存在困难. 其次，传统的教学模式直接下定义，导致学生无法准确理解概念，只能在一知半解的情况下去解题，无法真正发展数学思维.

因此，恰当合理地引入概念，帮助学生更好地发散思维、理解概念，使学生明确概念的本质，是数学概念教学的重点，对学生的数学学习有重要作用.

教学目标

教学目标是教学活动的出发点，是通过教学期望达到的结果. 为了促进学生的深度学习，教学目标的设计应以知识点为载体，将知识、技能、过程、方法等目标通过具体行为落实到学生核心素养的培养中［4］.

（1）在数量关系的视角下发现问题、提出问题，并用数列进行刻画，提高数学抽象和数学建模能力.

（2）依据等差数列的研究内容和方法，经历联想、类比等过程，探索等比数列概念的形成，并注意两者的区别.

（3）在举例中辨析等比数列的概念，建立等比数列的概念结构.

（4）运用定义判断或证明等比数列，体会符号语言的重要性，培养逻辑推理素养.

（5）经历数学抽象和自主探究的过程，提高探究能力，领悟类比、从特殊到一般的数学思想方法.

教材分析

1. 知识结构

本课内容是苏教版选择性必修第一册第4章“数列”的4.3节“等比数列”的第一课时“等比数列的概念”.

等比数列在现实生活中有广泛应用，是用来刻画一类离散现象的重要数学模型. 教材在内容设计上也是从实际情境出发，类比等差数列引出等比数列的定义，通过举例、运算、证明等活动探究等比数列的特点和证明方法，让学生体会等比数列学习的合理性和必要性，理解等比数列的概念，并能学以致用.

2. 教学重难点分析

教学重点：等比数列的定义，从中推导出等比数列的特征.

教学难点：应用等比数列的定义证明等比数列，证明过程中强调等比数列每一项不为0.

教学过程

1. 知识回顾，温故知新

教师：在开始新课前我们先来回顾一下之前所学的等差数列.

问题1：等差数列是怎样定义的？

问题2：等差数列用符号语言是如何表示的？

问题3：我们是怎样判断或证明等差数列的？

根据学生的回答，构建关于等差数列概念的思维导图，如图1所示.

设计意图 弗赖登塔尔认为，数学是充满联系的，不要教孤立的片段，应该教联系的材料. 在复习的过程中，回顾等差数列的研究内容和研究方法，促进学生用联系等差数列的观点去观察和思考问题，通过思维导图全面回顾、梳理总结，为学习和理解等比数列的概念提供知识准备.

2. 创设情境，抽象特征

活动1：让每一位学生都用一张A4纸不断对折，在对折的过程中观察并思考，哪些量发生了变化？有怎样的变化规律？以四人为一组，交流讨论其发现.

学生发现：纸的厚度在增加，每对折一次厚度变为之前的2倍；纸的面积在减少，每对折一次面积变为之前的.

笔者播放视频，让学生了解一张纸对折50次的厚度，激发学生的学习兴趣.

思考1：视频中的折纸厚度问题即折纸层数问题，你能从中得到怎样的数列？

问题4：请大家写一写折纸层数所构成的数列.

问题5：将A4纸的面积视为“1”，请大家写一写折纸面积所构成的数列.

设计意图 深度学习强调学生为主体，以学为中心，因此应更多地安排学生参与课堂教学活动. 利用折纸活动，让学生通过动手操作，发现与提出问题、分析与解决问题，充分给予学生自主探究、合作讨论，完成学习任务的机会.

学生通过自主探究、合作讨论，得到了两个数列：1，2，4，8，16，32，…；1，….

思考2：与等差数列相比，你们所得的这两个数列有什么共同的特征？

学生：从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，第一个数列的比值是2，第二个数列的比值是.

教师：具备这样特征的数列，称它为等比数列.

设计意图 类比可以帮助学生充分发散思维，利用已有的等差数列的学习经验，自然地引出新概念——等比数列，让学生亲历探究发现的过程，体会类比的作用，从而潜移默化地渗透学法指导，为等比数列的研究学习提供导向作用.

3. 形成概念，探究新知

探究1：类比等差数列的定义，给出等比数列的定义.

笔者根据学生回答，对等比数列的定义进行规范表述：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示.

问题6：对于等比数列，要使后一项与前一项的比值有意义，对等比数列中的项有何限制？公比q要满足怎样的条件？

学生：等比数列的每一项都不为0，公比q也不为0.

探究2：等比数列的定义用符号语言表示.

设计意图 通过讨论探究，充分调动学生的学习积极性. 学生类比等差数列的定义，尝试得出等比数列的定义，在思考的过程中使新概念成为学生逻辑推理后自然生成的结果，从而突破了本节课的难点. 因此，在概念的引入和辨析过程中，要重视学生的主体地位，给予学生足够的思考时间和表达机会.

练习1：判断下列数列是否为等比数列.

（2）0，1，2，4，8；

（3）1，1，1，1，1；

（4）1，2，1，2，1.

师生交流判断结果：（1）学生判断其是首项为1，公比为－的等比数列，但只根据定义验证了前三项，在此笔者向学生强调定义中的“每一项”，并总结判断“是”等比数列的方法：从第二项起，每一项与前一项的比是同一个常数.

（2）学生根据等比数列的每一项都不为0，判断其不是等比数列. 总结：等比数列的特征为每一项都不为0；在判断或证明等比数列前，应判断是否有项为0.

（3）学生判断其是首项为1，公比为1的等比数列. 笔者向学生提问：“常数列是等比数列”这个说法是否正确？学生举出反例数列：0，0，0，0，0. 笔者引导学生思考得出结论：非零常数列是等比数列.

活动2：根据不同的公比（公比为正整数、分数、负数），你能再举出一些等比数列的例子吗？

学生通过举例发现，写等比数列时需要确定其首项、公比和项数，这加深了他们对等比数列的基本量的理解.

小结1 （1）等比数列的特点：①从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数；②等比数列的每一项都不为0，公比也不为0；③非零常数列既是等差数列，又是等比数列.

（2）判断数列｛an｝是否为等比数列的常规方法：判断（n∈N*）是否为一个不是0的常数.

设计意图 通过对四个具体数列的判断，让学生理解等比数列的特征和判断方法，深化理解等比数列的概念；让学生体会概念的重要作用，并通过举例理解等比数列的基本量. 通过学生回答展现学生的思维过程，笔者在了解学生学情的基础上有针对性地进行点拨和分析，并在学生得出相关结论和方法后，利用追问的方式启发学生思考，找到旧知与新知的联系，加深学生对概念内涵的理解. 最后归纳总结，做好笔记，促进学生构建知识网络，养成良好的数学学习习惯.

练习2：求下列等比数列中的未知项.

（1）a，2，8，其中a=______；

（2）2，m，8，其中m=______；

设计意图 挑战性问题是指对学生认知具有挑战性的问题，这类问题往往是自然生成的一般化问题或是由逆向思维引发的问题. 设计练习2是为了评估学生是否掌握了等比数列的定义和基本量，由此提高学生对等比数列定义的应用水平.

设计意图 根据定义法证明等比数列的两种形式设计练习题，让学生回顾探究过程，内化思想方法；促进学生深度思维，提高学生发现问题、提出问题和解决问题的能力；评估学生运用定义解决问题的能力以及逻辑推理的严密性. 最后由笔者点评学生的答案并展示规范的解题过程，强调数学推理证明的严谨与科学.

4. 知识梳理，方法总结

教师：通过本节课的学习，你收获了哪些知识和方法？

根据学生的回答，构建关于等比数列概念的思维导图，如图2所示.

设计意图 课堂总结利用思维导图的形式，促进学生及时梳理归纳本节课学习的知识内容，并与等差数列的思维导图形成对比，发现相似的研究结构和区别的内容，从而深化类比思想方法. 利用课堂总结引导学生主动联系、整合信息、完善结构、迁移应用，从而促进学生高阶思维的发展.

教后反思

首先，本节课充分体现了学生的主体地位，通过动手操作、表达展示、合作讨论等方式提高了学生的课堂参与度，让学生的大脑动了起来，让课堂活跃了起来. 其次，本节课与传统课相比虽然知识内容少了一些，但是通过自主探究、类比迁移、应用巩固、总结归纳等环节加深了学生对等比数列概念的理解和对类比思想方法的体会，为接下来等比数列的通项公式、性质、前n项和公式等的学习打下了基础，真正达到了深度学习的目的.

通过教学实践发现，学生在深度理解等比数列的概念后，可以自主推导等比数列的通项公式及其性质. 概念教学慢一点，让学生真正理解概念，之后的学习才会又快又好. 对于概念教学，相比于教学进度，我们更应该关注教学深度，倡导深度学习，这样才能真正提高教学效率.

结论

深度学习不仅是一种学习方式，也是一种教学理念. 学习是学生在已有知识和经验的基础上，通过记忆、联想、应用，与新知识建立起关系，从而扩大知识网络，构建知识和思维模型的过程. 好的教师除了教给学生知识和技能外，更重要的是教给学生研究问题的方法和解决问题的能力. 概念蕴含核心知识和思想，因此概念具有深层探究的价值. 总之，深度学习下的概念教学应重视学生的主体地位，重视思维过程，注重学生的自主探究、交流表达、合作讨论、动手操作，提高学生的课堂参与度，促进知识的深度加工与知识网络的构建，从而落实数学学科核心素养的培养.

参考文献：

［1］ 钟启泉. 深度学习：课堂转型的标识［J］. 全球教育展望，2021，50（01）：14-33.

［2］ 刘红晶. SPOC助学群组促进学员深度学习的研究［D］. 四川师范大学，2017.

［3］ 任偉芳.深度学习理念下的教学设计模型创新构建——以人教A版“等比数列”的教学为例［J］. 中学数学教学参考，2022（01）：21-25.

［4］ 柴有茂. 核心素养引领下的“等比数列”教学设计［J］. 当代教育与文化，2018，10（03）：85-88.

作者简介：薛蕾（1996—），硕士研究生，从事高中数学教学工作.