浅析数形结合思想在中考试题中的应用

丁秀珍

［摘  要］ 数学原本是研究数与形的学科，而且数与形是密不可分的，可以用数去高度概括规律，用形使抽象的数学研究对象或规律变得直观形象. 数与形的结合可以激发数学学习者与研究者的形象思维与抽象思维，可以体现数学学科的抽象性与简洁性等特点，因此数形结合思想必然会成为最基本的数学思想. 教师应当认识到数形结合在中考試题中的应用价值，还应体现在学生的数学思维、数学思想，乃至当下强调的数学学科核心素养上. 数学教师要扎实研究好数形结合，思考其在中考试题中的应用，思考其对数学学科核心素养评价的应用.

［关键词］ 初中数学；数形结合思想；中考试题

随着课程改革越来越深入，数学思想在日常的初中数学教学中也越来越受到重视. 所谓数学思想，就是人们对数学活动经验的概括和总结，并在此基础上概括出来的思想与方法. 数学思想是解决数学问题的灵魂，对它的提炼、概括和应用，有利于提高学生的思维水平. 一般来说，初中数学中常用的数学思想有数形结合思想、整体思想、转化思想、建模思想、分类讨论思想、类比思想等［1］. 在这么多的数学思想当中，数形结合思想是最为常见的数学思想之一，可以说它伴随着学生数学学习的始终. 一个直接的原因，就是数学原本是研究数与形的学科，而且数与形是密不可分的，可以用数去高度概括规律，用形使抽象的数学研究对象或规律变得直观形象，数与形的结合可以激发数学学习者与研究者的形象思维与抽象思维，可以体现数学学科的抽象性与简洁性等特点，因此数形结合思想必然会成为最基本的数学思想.

日常的教学总是受考试评价影响的，考试的指挥棒对于数学思想的学习与应用来说也有着决定性作用. 日常的数形结合思想研究都是基于数学知识或者规律的教学进行的，目前，对于中考视域下的数形结合思想研究相对偏少，笔者认为应引起大家的重视. 思考并分析数形结合思想在中考试题中的应用，应当成为每一个初中数学教师的基本功，应当是日常的数形结合思想教学的出发点与落脚点. 基于这样的认识，笔者以苏科版中学数学试题的分析为例，略谈数形结合思想在中考试题中的应用.

数形结合思想在中考试题中的应用价值

中考最基本的功能就是对学生的评价，中考试题直接评价的是学生的解题能力，这一点容易为教师所感知，因此在教学中教师的直接努力方向就是学生的应试能力. 然而，中题实际上还有一个更为基本的功能与价值，就是对数学思想的评价价值. 数形结合作为最基本的数学思想，在中考试题中有着普遍的体现与应用，其最直观的表现就是一道题目当中往往会出现图形，学生在理解题目信息的时候会同时借助题目文字与图形来进行，当学生看到相关的中考题时，就会借助日常学习过程中形成的数形结合思路，来解析题目，建构意义. 值得一提的是，有一些中考试题只有文字信息，而没有图形，学生在面对此类题目的时候，往往会有两种分析思路：一种是直接基于文字进行分析，另一种是借助图形进行分析（当然需要学生根据题目的文字信息进行图形的构造），这两种分析思路对应的思维方式是不一样的，其反映着同样的一道中考试题对不同的学生，能够考查出来的能力也是不一样的. 这也就提醒初中数学教师，必须认真研究数形结合在中考试题中的应用价值.

那么，数形结合在中考试题中的应用价值是怎样的呢？

分析表明，数形结合思想在数学考试评价（也就是中考试题）中的应用，实际上就是引导学生借助图形和数量的关系以及二者之间的数学思想的转化，去找到符合逻辑关系的解题方法. 数形结合思想涉及的知识面很广，它可以把抽象、复杂的文字数学题转化为生动容易理解的图形数学题，便于学生掌握，帮助学生培养数学思维能力和训练数学解题能力，提高学习效果［2］. 这样的分析代表着当前初中数学教学中，对数形结合思想的共性认识.

在此基础上，教师还应当认识到数形结合在中考试题中的应用价值，还应体现在对学生的数学思维、数学思想，乃至当下强调的数学学科核心素养的评价上. 分析可以发现绝大多数数形结合的中考试题的求解，其实就是通过数与形来提供信息，要求学生基于一定的数学关系，利用逻辑推理去实现问题解决的过程. 这个过程当中数形结合的运用是数学思想的直接体现，逻辑推理作为数学学科核心素养的要素之一是数学思维的体现. 在日常的教学中教师借助中考试题（也就是所谓的中考真题）去实施教学，一个很重要的目的就是超越应试能力的培养，去实现对学生数学思维、数学思想、数学核心素养的综合判断，并在此基础上寻找到新的培育思路.

基于数学中考试题的数形结合分析

初中数学教师最擅长的工作是实践研究和案例研究，在研究数学中考试题中的数形结合时，通常也需要借助具体的中考试题解析过程来进行. 值得注意的是，受应试习惯的影响，教师对中考试题的分析都是在知识点分类的基础上进行的，往往会从考点把握、解题技巧的角度去解析试题，而数形结合实际上强调的是学生的数学思想的运用，因此要切实有效培养学生的数形结合能力，就必须从这一角度切入，让学生有一个清晰的感知数形结合的过程. 其中，最需要强调的就是在学生已有的认知基础上，让学生发现采用数形结合思路后，解题都会有一个新的突破.

从初中数学知识体系的角度来看，函数是中考命题的重要考点，其既关注函数基础知识和基本技能，又兼顾基本思想和基本活动经验. 具体的中考试题形式多样，既考查学生对函数变化与对应思想、数形结合思想、模型思想的感悟和理解，又考查学生运用函数知识解决问题的能力，对学生的探究能力、分析能力、问题解决能力等数学素养提出了更高的要求. 由于函数知识具有高度的综合性与概括性，故对中考函数试题的分析具有一定的代表性.

例如，有这样一道中考试题：若二次函数y＝ax²+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x₁，0），N（x₂，0）（0＜x₁＜x₂），且经过点A（0，2）． 过点A的直线l与x轴相交于点C，与该函数的图象相交于点B（异于点A）． 满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S₁，△BMN的面积为S₂，且S₂=5/2S₂．

（1）抛物线的开口方向_____（填“上”或“下”）；

（2）求直线l相应的函数表达式；

（3）求该二次函数的表达式.

分析 这是一道考查二次函数知识点的中考试题. 从命题的角度来看，是一道典型的數形结合的试题，其通过对二次函数图象信息的提供，给出了图象与x轴的两个交点的坐标，但坐标值未知；同时明确函数图象经过一个已知坐标的点. 就这部分信息而言，对于大多数初中生来说并不陌生，但是题目考查的角度比较巧妙：一方面给出的图形上面虽然有三个点的坐标，但没有抛物线的图象；另一方面明确了有一条过已知点的直线，这条直线与函数的图象相交于异于A点的B点. 尤其巧妙的是，在这些条件的基础上构建了一个等腰直角三角形，以及与之相关的另外两个三角形.

有了这些条件叠加的限制，这道中考试题的难度就直线上升了. 学生在解题的过程中，必然要同时对数与形的信息进行思考，而这样一个同时思考的过程，实际上就是数形结合思想得以体现的过程. 尽管学生自己未必意识到这就是数形结合思想的体现与运用，但是在实实在在的解题过程中，数形结合已真正发生了. 尽管从宏观层面来看，数形结合是一个高度概括的描述，但是从学生思维的角度来看，他们必然要借助图形，结合题目给出的数字信息，去运用逻辑推理的方法，建构出二次函数在平面直角坐标系上的基本图形. 首先就是对第一个问题的回答，也就是抛物线的开口向上还是向下；其后对形成的三角形的判断，尤其是根据题目告知的“△ACN是等腰直角三角形”，去建构对△AMN与△BMN的认识，因为只有形成了这样的认识，才能借助题目给出的面积关系，去求解另外两个问题. 其中涉及表象的想象与建构——与学生的形象思维能力、表象建构能力、直观想象能力密切相关，也涉及数学关系的建立——与数学模型（二次函数）、逻辑推理密切相关.

核心素养视角下审视数形结合应用

很显然这么一道中考试题，是通过数形结合的方式来评价学生的多项能力. 这对于初中数学教师日常教学的启发来说，就应以数形结合为教学的线索，将学生的能力考查统一到试题的分析与解答中来. 事实证明，通过这样的思路可以明确教学的方向，并且对未来的中考形成一定的判断.

如同上面提及的，数形结合一方面是数学教学的优秀传统，表征数学学科的基本特征，另一方面对当下所强调的数学学科核心素养的培育，具有一定的指导与启发作用. 在核心素养的视角下审视数形结合，意味着教师要在继承初中数学教学传统的同时，应更多地从数学学科核心素养落地的角度，去寻找有效的教学途径. 今后的中考数学试题必然也会更加明确地指向核心素养，教师就要从现在开始真正扎实研究好数形结合，思考其在中考试题中的应用，思考其对数学学科核心素养评价的应用.

数形结合既是一种数学思想，又是一个重要的解题工具，其能够帮助学生更好地理解数学课程的价值，同时能够帮助学生打开问题解决的空间. 学生接纳数形结合思想后，很重要的一点就是能够将数与形有机地结合在一起，能够在看到数的时候自然想到形，在看到形的时候自然想到数——这里所说的“自然想到”，其实就是一种良好的数学直觉，是一种下意识. 对于绝大多数初中生而言，通过必要的训练与反思，是能够达到这一水平的. 因此，数学教师要坚定数形结合的教学思路，真正让其成为教师教学和学生学习的主要线索之一.

总而言之，数形结合在初中数学教学中的地位是基础性的，同时也是极其重要的. 人们常说，数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离. 数学教师要认识到通过数与形的有机结合，可以使学生的思维完成从“形象”到“抽象”的概括，从“抽象”到“形象”的再现. 通过数形结合去理解数学思想方法，可以发现其既是数学的基础知识，是知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁，用好了就是能力（自然也就是素养以及核心素养）. 因此数学教师在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结，要重视包括数形结合在内的数学思想方法在解题尤其是中考试题的解答应用. 只有做到这一点，学生才能在面对中考的时候做到知己知彼而百战不殆.

参考文献：

［1］ 徐杰忠，竹继安. 数学思想在中考解题中的运用［J］. 中学数学，2010（12）：44-47.

［2］ 孙维. 数形结合思想在初中数学中的应用［J］. 数学学习与研究（教研版），2009（01）：74-75.

［3］ 胡玲君. 2019年中考“函数”专题解题分析［J］. 中国数学教育，2020（Z1）：63-71.