基于“高认知发展”的教学实践与思考

高楠

［摘  要］ 设计高认知的学习任务能促进学生的高认知发展，从真正意义上调动学生学习的内驱力. 文章以“反比例函数图象的不变性”教学为例，从“回顾旧知，导入新课”“适当留白，激发猜想”“铺设台阶，激发探索欲”“循循善诱，慢中求稳”“自主探究，巩固提升”五个方面展开教学设计和研究，并针对教学活动提出了一些教学思考.

［关键词］ 高认知发展；反比例函数；本质

教学活动的开展应基于学生的生活经验与认知水平. 这就需要教师充分了解学情，设置高认知的学习任务，以培养学生的洞察力，激发学生的探究欲，树立学生的创新意识等，从真正意义上实现“淡化形式，注重知识本质”的教学目标，促进学生核心素养的发展.

本文以“反比例函数图象的不变性”教学为例，具体从以下几个方面谈谈基于高认知发展的教学实践与思考.

教学分析

反比例函数是在研究函数概念与一次函数的基础上，学生所接触到的新的函数. 从设计思路的角度来看，反比例函数的图象是分布在不同象限内的双曲线，x，y的取值范围都有一定的局限性，且反比例函数图象的增减性、连续性、对称性以及渐进特征都比一次函数复杂许多. 因此，基于一次函数研究反比例函数，学生很难从高认知发展的角度掌握知识本质.

鉴于此，教师常会紧扣“y=k/x（k为常数，且k≠0），其中x，y的乘积为一个定值”这个特点进行教学设计，但双曲线除了这一个特点，是否存在其他不变的关系呢？带着这个疑问，笔者基于学生的实际认知水平，有针对性地设计了“探究反比例函数图象的不变性”的一节课，以期揭示知识本质.

教学简录

1. 回顾旧知，导入新课

师：大家还记得什么样的函数为反比例函数吗？

生1：y=k/x（k為常数，且k≠0）的函数为反比例函数.

师：很好！解析式y=k/x表达了x与y之间的反比例关系，我们还可以用什么式子表示这个关系？

生2：x·y=k（k为常数，且k≠0）.

师：也就是说不论x，y发生怎样的变化，它们的乘积始终是一个常数. 大家想一想，之前我们接触到的几何问题中，是否有用两个量的乘积来描述的几何模型？

生3：有，如矩形的面积、三角形的面积等都是用两个量的乘积来描述的.

师（借助几何画板，操作演示）：大家一起来看，图中点P（x，y）为反比例函数y=100/x上的一个动点，若过点P分别作PN⊥x轴，PM⊥y轴，求四边形MONP的图形特征与面积.

生4：四边形MONP为一个面积为100的矩形.

师：你是如何确定它的面积是100的？

生4：我是根据矩形的面积公式得S=PM·PN=|x||y|=|k|=100.

简简单单的旧知回顾，轻轻松松的交流，教师顺利地引入了教学主题. 以上对话反映出反比例函数的代数特征，运用几何图形进行解释，可以给学生带来更多的信息与价值.

2. 适当留白，激发猜想

师：我们所知道的双曲线中，从双曲线上一点，分别向x，y轴作垂线段，垂线段与坐标轴所围成的矩形的面积不会发生变化，那么，是否还有其他不变的关系呢？

问题 如图1所示，已知点P（x，y）为反比例函数y=100/x图象外侧的一点，若过点P分别作PN⊥x轴，PM⊥y轴，并分别与双曲线图象在第一象限的一支交于点H，G，尝试猜想直线GH和MN可能存在怎样的特殊位置关系，并证明.

师生共同操作几何画板，如图1所示，拖动点P，当点P的位置发生变化时，直线GH的位置也随之改变. （给学生充足的时间观察与思考）

看着几何画板的变化，不少学生自主利用双手在空中比画，联想直线GH和MN的位置关系. 大部分学生通过分析猜想出这两条直线为互相平行的关系. 此时，教师作出直线MN.

设计意图 “留白”是绘画重要的手法之一，数学课堂中适当留白，能为学生提供学习的空间，对培养学生的猜想能力、推理能力、空间观念等有重要的促进作用.

3. 铺设台阶，激发探索欲

当学生对GH∥MN的证明无从下手时，教师通过以下方式进行适当的点拨.

师：通过第一个探究活动，我们发现由抛物线上的一点向x（或y轴）作垂线段，抛物线上的这个点、坐标原点及所作垂线段的垂足三点所围成的直角三角形的面积恒定为|k|/2，现在我们一起来观察图2，看看△NGM和△NHM的面积是否相等.

生5：这两个三角形的面积是相等的关系，因为△NGM和△OGM是同底等高的，根据面积公式，它们的面积都是|k|/2. 同时可证，△NHM的面积也是|k|/2，因此△NGM和△NHM的面积是相等的.

师：非常好！这两个三角形之间除了面积是相等的，还存在其他特殊关系吗？

生6：这两个三角形同底.

师：这个条件有什么作用呢？

（学生跃跃欲试，课堂达到了一个小高潮）

生7：这两个三角形同底，面积也一样，那么它们的高也是一样的. 根据一组对边平行且相等的条件，可确定四边形BHGA为一个平行四边形，由此可知MN∥GH.

评注 教师通过铺设台阶，设计逐层递进的问题吊足了学生的胃口，启发了学生的思维，激发了学生的探索欲.

4. 循循善诱，慢中求稳

学生此时的探究热情高涨，想要发表言论的学生很多，教师可在此时趁热打铁，提出高质量的问题，引发学生思考，促进学生高认知发展.

师：若想判定两条直线是否为平行的关系，还有其他方法吗？

生（众）：可以从内错角相等、同位角相等、同旁内角互补等来证明两条直线为平行的关系.

师：观察图2，你们认为此题用什么来证明的可能性更大些？

生8：用同位角相等证明.

师：那么从什么角度来证明同位角相等呢？

生8：用全等三角形或相似三角形可证明同位角相等.

师：怎样寻找全等三角形或相似三角形呢？

生8：图2中找不到全等的关系，只能从相似的角度来探索，目前已经知道一组直角对应相等了……（该生边说边思考，此处停顿，教师没有打断他，其他学生也沉浸在思考中，两分钟后，该生肯定地提出意见）

生8：想要证明两个三角形相似，这里找不到另一组角相等的关系，我们只能去寻找两组边分别成比例的条件了.

（教师给予肯定，点头示意让他继续往下说，但该生欲言又止、犹犹豫豫）

师：现在我们都回到问题的原始条件来观察、思考所有线段是如何构造出来的.

生8：其实最初就是存在双曲线图象外侧任意点P（x，y），大部分线段的形成都源自点P.

师：从题目出发，根据点P（x，y），我们要探索三角形与矩形的面积不变，其中PM与PN的长度该怎么表达？

生8：根据点P的坐标，不难发现点M，N的坐标，那么点H，G的坐标也很容易得到，如此就能用x，y来表示四条线段的长度了，只要知道线段的长度，自然能断定它们是否成比例.

师：非常棒！现在我们一起来把这道题的解题过程梳理一下，哪位同学愿意来表述？我来板书.

设计意图 想要证明MN∥GH，有两种证明方法，即分别从几何关系着手或代数运算的角度分析. 本节课，关键在于紧扣图形特征，从图形关系与变化的角度进行分析. 当学生的思维卡壳时，教师并没有着急点拨或换另一位学生表述，而是给予学生充足的时间去思考，通过循循善诱的方式启发学生的思维，让学生在“慢教育”中实现思维的成长.

此过程中直线平行的实质生成于坐标系中的反比例函数的图象，因为问题的源头为坐标系，所以从解析式的角度解决问题也是自然而然的事情. 虽说初中几何更偏重证明过程，对于计算的要求较少，但绝非不计算. 在学生的探索过程中增加一些代数手法，不仅能拓宽学生的知识视野，还能为后续高中阶段的解析几何的学习夯实基础.

5. 自主探究，巩固提升

教师在几何画板上拖动点P（如图3所示），要求学生观察并思考图中还有什么没有发生变化.

生9：拖动点P后，△MGA≌△NBH.

师：哦？说说你的证明过程.

生9：借助生7所证明的MN∥GH，再加上AM∥HN，可确定四边形MNHA是一个平行四边形，因此MA=NH，同理可证GM=BN，根据“SAS”可确定△MGA≌△NBH.

师：很好！现在大家继续观察几何画板. （教师继续拖动点P）线段AG与哪条线段始终相等？

生（众）：AG与HB始终相等.

师：现在回过头来想一想，本节课我们一共获得了几个不变的特性？

生10：3个，分别为面积不变、平行的关系没有发生变化以及线段始终相等.

师：不错！大家观察图4，作一条直线与双曲线位于第一象限的一支有两个交点，那么我们所获得的三个不变性是否依然存在呢？

基于以上探究活动，学生快速寻找到了解决问题的办法：如图5所示作辅助线.

师：还可以从什么角度来尝试？

生11：是不是可以从直线AD与双曲线相交于不同象限中的两点的角度来思考？

师：哦？为你这个大胆的想法点赞. 請你来给大家说说这个想法.

生11到讲台上操作几何画板，拖动AD，大家都用期待的目光看着几何画板，等待结果的出现. 待操作完成，大家都被生11的想法所折服. 原来直线AD与双曲线相交于不同象限中的两点时，那些不变的特性依然存在.

设计意图 学生开始在教师的引导与点拨下，由浅入深地进入探究，随着探究的深入，教师慢慢放手让学生自主探究、交流与操作，整个课堂显示出了浓郁的“探究味”与“求知欲”.

最后，师生一起回顾并梳理了本节课的教学重点与难点，并以思维导图的方式将本节课的教学内容整理出来. 相信在今后很长一段时间内，师生都会对本节课的教学津津乐道. 这种教学方法不仅体现了知识与技能的教学，更重要的是对知识本质的揭露与学习能力的培养，对学生的高认知发展具有重要的意义.

教学思考

纵观课堂教学流程，没有华丽的辞藻，也没有令人耳目一新的情境，只凭借一个几何画板与教师极少的点拨就将知识的本质完全暴露在学生面前，给人一种简约却又充满内涵之感，且学生的思维空间充裕，彰显了基于“高认知发展”的教学的优势.

1. 把握知识本质

数学是反映事物间数量与空间关系的一门学科，其本质是对现实事物的思考、刻画、描述、揭示等，数学学习的主要目的在于发现事物中所蕴含的数、形规律［1］. 本节课的教学核心是反比例函数在变化过程中哪些概念是恒定不变的，围绕这个教学核心，能凸显出反比例函数的本质.

教学中，学生在教师的引导下，发现了三个不变的特性：首先从数量关系中探寻反比例函数的第一个不变的特性——两变量的积不变；其次带领学生从几何图形的角度，探索双曲线的第二个不变的特性——矩形面积不发生变化；由此促使学生自主发现：任意点P向两坐标轴作垂线段，“两垂足所在直线”与“垂线段和双曲线形成的两交点所在的直线”间的位置关系恒定不变，即第三个不变的特性.

这三个不变的特性从数量关系着手，贯穿整节课，教师通过步步为营，让学生体验了丰富的课堂所带来的成就感，并在教师由浅入深的启发下，开动脑筋，使得课堂充满“探究味”，知识的本质也随着学生的探究而水落石出.

2. 暴露思维过程

数学问题的解决一般都遵循着一定的规律，若能往问题的深层去挖掘，常能让学生透过表面看到本质，从而获得一定的感悟与体会. 本节课的成功之处在于充分展示了学生的思维过程，让学生从反比例函数的概念出发，剖析k值的意义，自然而然地过渡到更深层次的探究.

教学中，“我们所知道的双曲线中，矩形与直角三角形的面积不会发生变化，是否还有其他不变的关系或量呢？”这个问题成功地激起了学生的探究热情，学生通过猜想、验证等方式，发现数量和位置关系中存在不变特性. 学生的思维在教师的循循善诱下充分暴露了出来，整个教学过程学生自主探索，体现了学生学习的主动性.

3. 提炼数学思想方法

众所周知，数学知识与思想方法是数学学习中强有力的支柱，数学思想方法的形成源自知识，而知识中又隐藏着丰富的数学思想方法，两者为相辅相成的关系［2］. 本节课中，所有教学活动的开展都紧扣“面积不变”的主题，有效地渗透了数形结合思想，让学生在教师循循善诱下感知解决问题的主要方法. 这种教学方法打破了常规例题教学的弊端，让学生通过自主探究获得了一定的解题能力.

总之，教师应注重教学理念的更新，通过巧妙的设计将课堂还给学生，同时潜移默化地渗透数学思想方法，让学生在“数”与“形”的灵活转化中理解知识的本质，促进认知的发展.

参考文献：

［1］ 杨翠蓉，周成军. 布鲁纳的“认知发现说”与建构主义学习理论的比较研究［J］. 苏州教育学院学报，2004（02）：27-31.

［2］ 郑毓信. 数学思维与数学方法论［M］. 成都：四川教育出版社，2001.