动态理解图形 培养几何直观

孙亚燕

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“课标”）指出，课程教学要以核心素养为导向，并且把几何直观作为核心素养的主要表现之一。课标指出，幾何直观有助于把握问题的本质，明晰思维的路径。下面以“探索直线平行的条件”教学为例，谈自己在教学中的一些实践。

一、教材与学情分析

“探索直线平行的条件”是苏科版数学七年级下册第7章“平面图形的认识（二）”第一节的内容。学生在七年级上册认识了简单的平面图形（线和角），初步研究了简单图形的位置关系和数量关系，尝试进行推理，初步学会用数学语言有条理地表达。

本节课作为章起始课，既要唤醒学生对所学知识的回忆，又要培养学生研究几何问题的方法和思维，为后续研究内错角和同旁内角提供学习支持。本课通过几何画板提供动态的图形变换，引导学生理解图形，挖掘概念内涵，建立空间观念，培养学生几何直观，从而促进学生思维的发展。

二、教学目标

依据课标，从单元设计视角出发，确定本节课的教学目标：

1.通过几何画板，借助几何直观，理解同位角的概念。

2.在复杂图形中，正确识别同位角。

3.掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

4.经历探索直线平行的过程，发展空间观念和几何直观，培养有条理表达的能力和推理能力。

其中，教学重点是正确识别同位角，掌握“同位角相等，两直线平行”的判定方法；教学难点是培养有条理表达的能力和推理能力。

三、教学过程

（一）认识一些角

师：同学们，上学期我们认识了角。如图1，角是由公共端点出发的两条射线组成的图形。

问题1：这个公共端点O叫做角的   ，这两条射线OA、OB叫做角的   。

（设计意图：从学生熟悉的知识入手，低起点，小步走，让学生的思绪逐渐回归数学课堂。）

师：本节课我们来认识两条相交线中的一些角的关系。

问题2：如图2，∠1和∠2有什么不同点？独立思考后同伴交流。

生：（1）角的度数不同（数量关系）；（2）角的顶点不同（位置关系）。

追问1：∠1和∠2有什么相同点？学生独立思考后同伴交流。

生：（1）顶点在同一直线上；（2）角的一条边在同一直线上（“共线”）（要求学生用红笔描出“共线”）；（3）角在“共线”的右侧（同一侧）；（4）角在另一射线（边）的下方（同一方）（要求学生用红笔描出角的另一边）。

归纳：

不同点：数量关系不同、角的位置不同（不同顶点）。

相同点：两个角的一条边在同一条直线上，在“共线”的同一侧，在另一边的同一方，即∠1和∠2都位于“右侧下方”。

归纳同位角的概念：在两条直线a、b被第三条直线c所截而成的8个角中，像∠1和∠2这样的一对角称为同位角。直线a、b是被截直线，c是截线，即“共线”。可以描述为：∠1和∠2是直线a和直线b被直线c所截形成的同位角。

（设计意图：通过观察、思考、交流，找到同位角的概念属性，引导学生在观察两个对象时可以寻找两者的异同点，让学生学会用数学眼光观察问题，清晰地分析问题；引导学生经历知识的形成过程，主动表达自己的想法，从而激发学生的求知欲。）

师：在图2中，你能找出其余的同位角吗？

问题3：请你找出图中其余的同位角。并说一说你是如何找到的。

学生上黑板描述找到的同位角。教师用几何画板对应显示学生的答案。（如图3）

归纳寻找同位角的方法：首先描出两个角的两边，其次找到“共线”（确定截线），判断在“共线”的同一侧，然后找到另两条边（确定被截直线），在另两边的同一方。教师引导学生描述成“∠3和∠4是直线a和直线b被直线c所截形成的同位角”的句式。

追问：找出的这些同位角像什么字母？

生：像字母“F”。

（设计意图：问题2中让学生用红笔描一描同位角的边，问题3中用多媒体突出显示同位角，发现形如字母“F”，帮助学生从复杂图形中简化、抽象图形，从而增强学生的几何直观。）

（二）复杂图形中寻找同位角

师：在图2“三线八角”中，我们找到了4组同位角。如果转动直线a，改变∠1的大小，∠1和∠2还是同位角吗？其余的同位角关系还存在吗？（见图4）

归纳：

同位角与位置有关，与大小无关。

（设计意图：用几何画板转动问题2中的直线a，让学生感受角的大小发生改变，但是∠1和∠2仍是同位角关系。学生对“同位角相等，两直线平行”这个基本事实印象非常深刻，往往形成“同位角即相等”的错误观念，通过图形变换，让学生直观感受同位角只和位置有关，与大小无关。）

师：转动图2中的直线a，直线a和b交于点C，∠1和∠2是同位角吗？（见图5）

问题：你能找出除∠2外，∠1的同位角吗？

生：∠BCF。

追问：∠1和∠BCF是直线  和直线  被直线  所截形成的同位角。

追问：你能找出除∠1外，∠2的同位角吗？

（设计意图：将图形封闭起来，寻找同位角是学生的难点，要求学生理解同位角的概念，从同位角的两个顶点在同一直线上不同位置这一特征入手，有条理地进行思考。这里要慢节奏地引导学生思考、尝试和解答，从而提升学生的识图能力，增强学生的几何直观。）

（三）探索同位角的数量关系和被截直线位置之间的联系

师：继续转动图2中的直线a，∠1和∠2的大小发生改变，在变化过程中，直线a和b会平行吗？

生：会平行。

问题：当∠1和∠2的大小满足什么关系时，直线a和直线b平行？

归纳：

实践告诉我们一个基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说：同位角相等，两直线平行。这是判断两直线平行的条件。

符号语言：因为∠1和∠2是同位角，且∠1=∠2，所以a∥b。理由：同位角相等，两直线平行。

（设计意图：利用几何画板动态地演示直线的旋转过程，既吸引了学生的眼球，又引发学生不断地观察、思考、探索，引导学生从运动变化过程中，从被截直线一般的相交关系中发现特殊的位置关系，进一步观察发现特殊位置的决定因素是同位角的大小关系。）

练习：我们在七年级上册利用三角尺和直尺这样画平行线的依据是什么呢？（见图6）

（设计意图：学生已在七年级上册学会利用三角尺和直尺画已知直线的平行线。通过本节课所学知识来让学生回顾熟悉的操作，既能讓学生感受知识的连贯性，又能引发学生思考，学会运用数学思维来分析操作背后的原理，让学生“知其然”并“知其所以然”。）

（四）课堂小结

仍以前面图2为例，设计问题。

问题1：我们认识了同位角，∠1和∠2是同位角，它们一定相等吗？

问题2：当∠1和∠2满足怎样的关系时，直线a和直线b平行？

问题3：当在图中继续标上∠3、∠4（见图7），它们和∠1又有怎样的位置关系？对直线a和b的位置关系又会形成怎样的影响呢？

（设计意图：课堂小结是整节课的重要环节，一是带着学生回顾本节课所学习的知识和技能，二是梳理研究问题中的思想和方法，三是激发学生对下节课所学知识的兴趣。）

四、教学反思

著名教育家波利亚说，一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。本节课在探索过程中，借助几何画板对同一背景进行旋转变换，让学生在变化中深刻理解同位角的概念，并且发现当同位角满足特殊的数量关系时，可以找到两直线特殊的位置关系，让学生充分感受数形结合的思想和从一般到特殊的研究方法。图形的运动变换、同位角的描红操作、例题的变式练习等都在潜移默化地培养学生的几何直观，让学生形成一种思维方式、一种思维能力和一种思维品质。

作为单元起始课，既要搭建知识架构的框架，又要对后续研究内容和研究思路具有统领作用。探索直线平行的条件，要让学生深刻感受角的大小变化影响了直线位置关系的变化。通过同位角相关内容的学习，学生可以采用同样的方式对内错角和同旁内角进行知识迁移，从而感受知识和方法之间的关联，进而更好地发展数学核心素养。

（作者单位：江苏省常州市新北区龙虎塘中学）

编辑：常超波