数学理解:小学数学课堂教学的核心指向

作者简介：李秋琳（1980—），本科学历，小学一级，从事小学数学教学工作。

[摘  要] 数学理解是学生凭借既有的数学知识和数学经验，自觉地将数学新知识融入数学认知结构中，构建新知识、形成新经验和掌握新技能的认知活动过程。在这一过程中，教师要注重关联生活，促进经验性理解，实现知识迁移;巧用比较，强化概念性理解，完善数学认知;依托活动，提升操作性理解，完善理解层级，从而实现学生真正的数学理解。

[关键词] 数学理解;小学数学;深度学习

数学理解是学生凭借既有的数学知识和数学经验，自觉地将数学新知识融入数学认知结构，构建新知识、形成新经验和掌握新技能的认知活动过程[1]。数学理解在新旧知识、经验之间建立起关联性，改变了碎片化知识建构现状，能促进学生深度理解数学知识与概念，对学生形成系统化的认知结构具有重要意义。因此，教学中教师应从课堂教学各要素入手，对数学教学进行变革和改造，注重对接学生经验，指向数学本质，凸显知识联系，实现学生真正的数学理解[2]。

一、关联生活，促进经验性理解，实现知识迁移

学生数学认知发展水平和认知需求存在一定的不对称性，教师应善于借助数学和生活之间的关系，在关联生活中促进学生经验性理解，弥补学生认知水平和认知需求之间的不对称性。具体操作层面，教师可以通过联系学生生活和应用于学生生活两种途径，让生活经验成为促进学生数学理解的资源，促进学生经验性理解能力的发展。

1. 运用生活现象，辅助理解

数学和生活密切相关，生活中处处、时时可见数学运用的现象，这就给教师运用生活现象促进学生经验性理解创造机遇。教师应基于学生生活阅历，充分解读学生生活经验，强化学生生活经验开发意识。教师要通过在数学教学中运用生活现象，让学生生活经验转变为数学理解的动力，辅助学生数学理解。

比如，对“升和毫升”一课学生要理解容量单位，要理解容量概念。容量是指物体的容积的大小，这一概念中的“容积”又造成新的理解难度。在概念教学中，为了帮助学生更好地理解“容积”，笔者给学生提供两种饮料的实物。此外，笔者结合多媒体展示生活中各种液体的实物，包括大小不同的容量，比如水、果汁、汽油等。

借助生活中常见的现象，学生对“容积”获得直观理解，通过各种饮料、水等生活经验，认识到“容积”是计量液体的体积。借助生活现象，学生对数学概念的理解从表象走向深入，直击数学概念的本质，为自身运用数学概念解决问题进行有效的铺垫。同时，生活现象大大降低数学理解的难度，生活现象充分地调动学生的生活经验，成为数学理解的动力。

2. 构建生活场景，深化理解

数学理解作为一项认知活动，需要经历从建构到巩固的反复性过程。教师应基于学生数学理解能力发展特点，重视构建生活场景。教师要通过构建生活场景，给学生创造运用数学知识解决实际问题的机会[3]。学生在运用数学知识和概念过程中，能进一步深化数学理解，通过数学理解助力发展数学素养。

比如，“简单的周期”的教学重点是引导学生运用语言描述周期现象中的规律。为帮助学生更好地理解规律，在练习诊断环节，笔者构建了这样的场景：建校10周年，学校门口插着许多彩旗，请学生仔细观察一共有多少种颜色的彩旗？根据彩旗排列的特点（周期性），用自己的语言说说彩旗排列的规律是什么？试着画出后面三种颜色的彩旗。

该环节结合学生实际构建生活场景，给学生练习提供生活化运用场景，能较好地激发学生的练习兴趣。借助生活化场景，学生积极调用生活经验，发现彩旗排列的规律，进而认识“简单的周期”。这样， 构建生活经验的情境，促进学生将生活素材和数学经验“有效对接”，有效地激活了学生数学经验性理解，从而实现对已有数学经验的改造与重组。

二、巧用比较，强化概念性理解，完善数学认知

数学概念是学生学习数学的理论基础，学生如果对数学概念理解不透彻将直接影响学生的数学学习进程。因此，教师应将概念教学作为数学理解的重点任务，强化概念性理解，完善学生的数学认知。概念性理解需要学生透过概念现象，深入概念本质。比较是引领学生深入把握概念的有效途径，透过易混淆概念比较、相关概念比较，能帮助学生建立起精准的数学概念。

1. 比较易混淆概念，建立联系和区别

数学学习是一个由浅入深、从简到繁的过程，随着数学学习不断走向深入，学生接触的概念越来越多，类型更加复杂。繁多的数学概念容易造成混淆，不利于学生把握数学概念之间的联系和区别。教师可以引导学生对容易混淆的概念进行比较，帮助学生从本质上把握概念之间的联系和区别，形成清晰的数学概念。

比如，三位数教学中涉及数位、位数和计数单位三个基本概念，学生容易造成混淆。笔者采用比较教学法，先让学生随意举出自己认为有意思、有趣的1个三位数，比如111、234、520等数字。然后从学生举出的三位数中选出234让学生用算珠表示，百位是2，2所在的数位就是百位，2代表2个百，计数单位是百;十位是3，那么3所在的数位就是十位，计数单位是十;个位是4，4所在的位置就是个位，计数单位是个。234由三位数构成，它就是三位数。借助笔者搭建的支架，学生按照这样的方式进行交流。笔者再结合数学语言表达活动，让学生说说对数位、位数和计数单位的理解。

在对容易混淆的数位、位数和计数三个基本概念进行比较的过程中，学生自然而然地感受到了它们的区别和联系，从而形成清晰的数学概念。

2. 比較相关概念，联通数学知识点

数学知识之间存在密切的关系，基于不同的关系形成了严谨的知识网络。因为数学知识之间的关联性，数学概念之间也有着千丝万缕的关系。学生要深入理解概念之间的关系，要把握知识点之间的关联性。比较无疑是一种有效的方式，教师可以进行相关概念比较教学，强化学生的概念性理解，通过联通数学知识，引领学生把握不同概念之间的本质特征。

比如教学“正数”和“负数”时，首先，笔者结合具体的场景引导学生进行比较，水面上10米记作10，水面以下10米记作（  ），向前走5米记作5，向后走5米记作（  ）;其次，在笔者列举基础上，学生根据正数和负数概念进行自主列举;再次，笔者要求学生根据自己对正数和负数的理解，说一说正数和负数之间的关系;最后，笔者给学生提供几组正负数，比如11、-11，20、-20，让学生结合具体的场景说说它们表示的意义。通过概念比较教学，学生认识到正数和负数是表示意义相反的量。

通过相关概念比较教学，概念之间的关系变得宜于观察，学生能够在最短时间内发现相关概念之间的关联性。这样，数学概念就从碎片化走向结构化，助力学生形成系统化的概念网络。学生掌握了概念之间的关联性后，其运用数学概念指导生活的能力得到有效发展。这是典型的将数学概念转变为数学技能，充分发展了学生的数学素养。

三、依托活动，提升操作性理解，完善理解层级

数学理解具有自身的层级，教师应基于小学生的认知特点，重视在数学活动中提升学生操作性理解。教师要通过数学活动，让学生经历数学概念、数学原理和数学公式形成的过程，强化正向理解、变式理解、反省理解的意识。

1. 在常规操作中强化正向理解

数学操作活动是帮助学生建立直观体验的重要手段，教师应发挥数学操作在发展学生正向理解中的作用，开展常规操作活动，引导学生按照常规思维去分析与理解数学概念、数学原理和数学公式等。教师要通过操作活动，引导学生从已知走向未知，透过数学现象深入数学本质。

比如建构“平移”概念，笔者引导学生根据平移概念，抓住“同一个平面”“直线方向”“移动距离”等关键词进行操作。学生先在方格纸上画出自己喜欢的一个图形，再选择一个移动方向，按照直线方向将该图形上的所有点进行同距离移动，理解“平移”的概念。

通过常规的操作活动，学生借助活动经验对“平移”的几个关键要素获得直观的认识：平移不改变图形的大小和形状，平移后的图形与原来的图形存在相等关系，比如对应线段相等、对应角相等。抓住关键词和相等关系，学生就抓住了理解的关键。在这一过程中，学生的正向理解能力得到较好发展。

2. 在变式操作中强化变式理解

教师在培养学生数学理解能力时，既要善于运用常规操作活动引导学生进行正向理解，又应基于学生思维进阶需要重视变式操作，改变观察的角度、方法等，让隐蔽的要素得以浮现出来[4]。这有助于学生把握数学的本质和规律，促进学生思维进阶。

比如，建构“图形的旋转”概念时，不少学生受既有概念影响，容易对“旋转”形成片面性认识，将“旋转”和“转动”混为一谈。为促进学生深度理解图形的旋转，笔者设计了两项比较实验：第一项实验是运用学生常玩的陀螺，让学生通过抽打陀螺产生转动;第二项是利用手动电风扇，让学生通过操作使电风扇转动起来。基于学生的操作活动，笔者引导学生进行观察和比较，分析这两项运动是否相同。

通过操作活动，学生发现陀螺和电风扇都发出转动动作，但陀螺在不断地改变位置，而电风扇叶子则围绕固定的一个点进行转动。通过变式操作活动，学生感受到两者一个显著的区别是有无固定的旋转点。旋转与转动的不同在于是否围绕固定的点旋转，但图形形状和大小没有改变。通过变式操作，学生抓住旋转的关键要素，对旋转的理解更加深刻。无论环境怎样变化，只要抓住关键要素，学生对旋转现象的理解就不会出现偏差。

3. 在多样操作中强化反省理解

操作活动中，实际的成效与学生操作活动过程体验有关。操作过程体验越丰富，取得的实际成效越显著。因此，教师在设计操作活动时应重视设计多样化操作活动，让活动形式从单一走向多样。通过不同的操作活动，帮助学生形成丰富的活动体验，能促进学生反省和理解，让学生思维开动起来。

比如“图形的旋转”理解性教学，在学生比较操作基础上，为了进一步深化学生的体验，笔者设计了以下几项操作活动：画一画，学生根据图形旋转概念，联系日常生活中的旋转现象，在方格纸上画出旋转的轨迹;做一做，学生根据生活中的旋转现象，自主设计一个模型演示旋转现象。笔者还结合画图和模型建构活动引导学生思考旋转的本质特点，通过辨误活动提高学生对旋转现象的辨识力。

多种多样的数学活动设计，能有效促使学生在积极探索、发现、经历数学知识的形成过程中，获得对旋转本质的深刻认识，形成丰富的活动体验，发展数学学习的反思和理解能力。

总之，数学理解是学生建构数学概念、数学原理和数学公式的基本能力，对于帮助学生建立完善的理论体系具有重要意义。教师应基于学生数学理解能力发展的需求，优化数学课堂教学设计，通过结构化、多样化活动循序渐进地发展学生的经验性理解能力、概念性理解能力和操作性理解能力。完善数学理解能力能较好地促进学生将数学知识向数学技能、数学方法和数学经验转化，助力学生发展数学核心素养。

参考文献：

[1] （美）格兰特·威金斯，杰伊·麦克泰格. 追求理解的教学设计（第二版）[M]. 闫寒冰，宋雪莲，赖平，译. 上海：华东师范大学出版社，2017.

[2] 吳存明. 为“理解”而教——以小学数学为例[J].教育研究与评论，2021（04）：69-73.

[3] 郑毓信. 数学深度教学的理论与实践[M]. 南京：江苏凤凰教育出版社，2020.

[4] 任玲. 数学理解：基于核心素养的教学追求[J]. 数学教学通讯，2019（25）：8-9.