EQ-代数上M-算子研究

高晓莉，王军涛，程晓云

（1.咸阳师范学院 数学与统计学院，陕西 咸阳 712000；2.西安石油大学 理学院，陕西 西安 710065；3.西安航空学院 理学院，陕西 西安 710077）

一直以来，专家学者对模糊逻辑的研究主要从逻辑与代数两方面入手，并取得一系列有意义的研究成果[1-3]。型理论是一类高阶逻辑，模糊型理论[4-5]是对型理论模糊化的结果，因此模糊型理论是一类高阶模糊逻辑。模糊型理论的基本逻辑连接词是模糊相等≡，常见的蕴涵连接词⇒是模糊型理论中的衍生连接词，即φ⇒φ:=(φ∧φ)≡φ。2005年，Novák给出了模糊型理论的真值代数结构，但是该代数的基本运算是蕴涵算子，不能自然地解释模糊型理论中的模糊等价[5]。因此，为寻找模糊型理论更匹配的真值代数结构，Novák 等人提出EQ-代数，并研究其相关性质[6]。EQ-代数是一个具有最大元1和三个基本二元运算（交（∧）、积（⊗）、模糊相等（～））的代数结构。在常见的逻辑代数中，BL-代数、MTL-代数、R0-代数、MV-代数等代数结构中蕴涵算子是基本运算，但在EQ-代数中蕴涵算子是由模糊相等诱导的二元运算，即x→y:=(x∧y)～x。因此，EQ-代数作为模糊型理论的真值代数结构更合理一些。EQ-代数自提出以来，关于该结构的研究已取得一系列有意义的进展[7-10]。

M-算子是一种特殊的映射，其概念首次出现在与傅立叶级数求和理论有关的谐波分析中。随后，该概念被用于谐波分析的其他领域，如算子半群理论、随机过程理论、插值理论和偏微分方程理论等研究中。1974 年，Cornish 在分配格上引入M-算子的概念[11]。1980年，Schmid在分配格上利用M-算子给出商的极大格的非标准构造[12]。2014 年，Khorami等人在BL-代数上引入M-算子的概念，并证明了在合适条件下Boolean代数上M-算子构成的集合是BL-代数[13]。随后，Khorami等人在Hoop代数上引入M-算子的概念，并研究了闭包算子与M-算子之间的关系[14]。

上述学者的工作为在逻辑代数上研究M-算子提供了重要思想和方法。EQ-代数作为模糊型理论的真值代数结构，引入M-算子概念并研究其相关性质是必要的和有意义的。研究结果为促进模糊型理论发展奠定了理论基础，为推动人工智能稳步前进提供了理论支撑。本文将在EQ-代数上引入M-算子的概念，研究其相关性质，并讨论M-算子与一些特殊映射之间的关系。

1 预备知识

本节给出EQ-代数及其相关性质，旨在方便后文的讨论。

定义1[6-7]一个（2，2，2，0）型代数(E,⊗,∧,～,1)，∀x,y,z,w∈E，若满足以下条件：

（E1）(E,∧,1)是具有最大元1的交半格。

（E2）(E,⊗,1)是幺半群且对⊗双边保序。

（E3）x～x=1。（自反公理）

则称(E,⊗,∧,～,1)是一个EQ-代数。

本文中，将EQ-代数E中的诱导运算→定义为：x→y=(x∧y)～x，∀x,y∈E。若E有底元0，将一元运算¬ 定义为：¬x=x～0，∀x∈E。显然，¬x=x→0。

定义2[6-7]设E是EQ-代数。则称它为

（1）可分的，若∀x,y∈E，x～y=1，推出x=y。

（2）好的，若∀x∈E，有x～1=x。

（3）剩余的，若∀x,y,z∈E，有(x⊗y)∧z=x⊗y当且仅当x∧((y∧z)～y)=x。

注：由文献[6]可知，剩余EQ-代数是好的EQ-代数，好的EQ-代数是可分EQ-代数。

引理1[6-7]设E是EQ-代数，∀x,y，z∈E，则以下结论成立：

（1）x⊗y≤x,y，x⊗y≤x∧y。

（2）x～y=y～x。

（3）若x≤y，则x→y=1，y→x=y～x。

（4）若x≤y，则z→x≤z→y，y→z≤x→z。

（5）若x=y，则x～y=1，反之未必成立。

（6）若E是可分的，则x≤y当且仅当x→y=1。

若E是好的，有

（7）x≤(x→y)→y。

（8）x≤y→z当且仅当y≤x→z。

（9）x→(y→z)=y→(x→z)。（交换原理）

（10）x→(y→z)≤(x⊗y)→z。

定义3[6-7]设F是EQ-代数E的非空子集，∀x,y,z∈E，如果F满足以下条件：

（1）1∈F。

（2）若x,x→y∈F，推出y∈F。

（3）若x→y∈F，推出x⊗z→y⊗z∈F。那么称F为滤子。

引理2[6-7]设F是EQ-代数E的滤子，∀x,y∈E，则以下结论成立：

（1）若x∈F且x≤y，则y∈F。

（2）若x,x～y∈F，则y∈F。

2 主要结果及证明

本节在EQ-代数上给出M-算子及一些特殊M-算子的概念并研究其相关性质，讨论其与一些映射之间的关系，同时利用M-算子的不动点集刻画EQ-代数。

定义4设E是EQ-代数，f:E→E是映射。若f满足

则称f为EQ-代数E上的M-算子。

例1（1）设E是一个EQ-代数，定义映射f,g:E→E为f(x)=x，g(x)=1，∀x∈E。显然f、g为E上的M-算子。此时，称f、g为E上的平凡M-算子。

（2）实单位区间I=[0,1]上，定义二元运算⊗、～和诱导算子→为

则(E,⊗,∧,～,1)是一个EQ-代数。

（3）设E={0,a,b,1}且0 ＜a＜b＜1，二元运算⊗、～和诱导算子→的运算表如下

则(E,⊗,∧,～,1)是一个EQ-代数。

（4）设E={0,a,b,c,1}且0 ＜a,b＜c＜1，其中a，b是不可比较元。二元运算⊗、～和诱导算子→的运算表如下

则(E,⊗,∧,～,1)是一个EQ-代数。

以上例子说明在EQ-代数上按定义4 的方式定义M-算子是合理的。下面命题说明在EQ-代数上M-算子的复合依然是M-算子。

命题1设E是一个EQ-代数且f1,f2是E上的两个M-算子，则复合映射f1∘f2也是E上的M-算子。

证明：假设f1,f2是E上的M-算子，那么由定义4可知，∀x,y∈E，有f1∘f2(x→y)=f1(f2(x→y))=f1(x→f2(y))=x→f1∘f2(y)。证毕。

现在起，除特别说明之外，将E记为具有底元0的可分EQ-代数，EQ-代数上M-算子的一些基本性质如下：

命题2 设f是E上的M-算子，∀x,y∈E，则以下结论成立

（1）f(1)=1，x≤f(x)。

（2）f(x)→y≤x→f(y)。

（3）¬(f(x))≤f(¬x)。

（4）f(x)→f(y)≤f(x→y)。

证明：（1）因为∀x∈E，有0≤x，由引理1（3）可知，0→x=1。再根据定义4

故f(1)=1。继而

由引理1（6）得x≤f(x)。

（2）设∀x,y∈E，由命题2（1）和引理1（4）可知，f(x)→y≤x→y≤x→f(y)，故

（3）由命题2（2）可知结论成立。

（4）设∀x,y∈E，由命题2（1）、引理1（4）和定义4可知，f(x)→f(y)≤x→f(y)=f(x→y)。证毕。

定义5设E是EQ-代数，f是E上的M-算子。若f满足∀x,y∈E，x≤y，推出f(x)≤f(y)，则称f为E上的保序M-算子。

例2易验证例1（3）中M-算子是保序M-算子。

但是，EQ-代数E上的M-算子并非都是保序的，反例如下：

例3 若将例1（3）中的映射定义为

则f是E上的M-算子，但f不保序。因为a＜b，但f(a)＞f(b)，所以f不保序。

接下来，给出好的EQ-代数上保序M-算子的一些重要性质。

命题3若f是好的EQ-代数E上的保序M-算子，∀x,y,z∈E，则以下结论成立

（1）若z≤x→y，则x≤f(z)→f(y)，z≤f(x)→f(y)。

（2）若y≤x，则f(x)→f(y)=f(x)～f(y)。

（3）若E有底元0，则f(x)→f(y)=f(x)→y。

（4）若E有底元0，且x≤y，则f(y)→f(x)≤f(x～y)。

证明：（1）设∀x,y,z∈E，z≤x→y。因为f是E上的保序M-算子，则f(z)≤f(x→y)，从而f(z)≤f(x→y)=x→f(y)。由引理1（8）可 知，x≤f(z)→f(y)。

同理，由引理1（8）可得，x≤z→y，f(x)≤f(z→y)=z→f(y)，从而z≤f(x)→f(y)。

（2）设∀x,y∈E且y≤x，由f的保序性可知，f(y)≤f(x)。因此

（3）设∀x,y∈E，令∀t∈E，t≤f(x)→y，由引理1（8）得，f(x)≤t→y。再由命题2（1）和f的保序性可知，x≤t→y，f(x)≤f(t→y)=t→f(y)，则t≤f(x)→f(y)。反之亦然。故

（4）设∀x,y∈E且x≤y，由引理1（3）（4）和命题2（1）可知

证毕。

下面给出EQ-代数上保序M-算子的等价刻画。

定理1若f是好的EQ-代数E上的M-算子，则以下结论等价

（1）f是保序M-算子。

（2）x→y≤f(x)→f(y)，∀x,y∈E。

证明：（1）⇒（2）。设∀x,y∈E，由引理1（7）和f是E上的保序M-算子得

再由引理1（8）得，x→y≤f(x)→f(y)。（2）⇒（1）。设x≤y，因为

所以由引理1（6）可得f(x)≤f(y)。证毕。

设E是好的EQ-代数，定义映射fp:E→E为。fp(x)=p→x，∀x∈E，其中p∈E。则fp为E上的M-算子，称fp为E上的单M-算子。从闭包算子的定义可知，闭包算子一定是保序M-算子，但是保序M-算子不一定是闭包算子。反例如下：

例4考虑例1（3）中的EQ-代数，易验证该代数是好的EQ-代数并且单M-算子fp是保序的，但不是闭包算子，因为fa(0)=a，fa2(0)=fa(a→0)=1，说明fa2(0)≠fa(0)，不满足幂等性。

下面命题说明，在一定条件下，保序M-算子可以是闭包算子。

命题4若f是E上的保序M-算子且f∘f(x)≤f(x)，∀x∈E，则f是E上的闭包算子。

证明：由命题2（1）知结论显然成立。证毕。

下面定理说明在n元好的EQ-代数上至少可以定义n个不同的M-算子。

定理2设E是好的EQ-代数，如果E中有n个元，那么在E上至少可以定义n个互异的M-算子。

证明：首先，由于E是好的EQ-代数，对任意的p∈E，有fp是E上的M-算子。其次，证明E上的n个M-算子互不相同。反证法，如果p≠q且fp=fq，那么∀x∈E，有fp(x)=fq(x)，即p→x=q→x。

假设x:=p，则p→p=q→p,继而q→p=1，由引理1（6）得q≤p。

假设x:=q，则p→q=q→q，继而p→q=1，同理得p≤q。

综上可知p=q，矛盾。因此，如果p≠q，那么fp≠fq。证毕。

命题5设E是好的EQ-代数，∀p,q∈E，则以下结论成立

（1）单M-算子f1是E上的恒等映射。

（2）若p≤q，则fq≤fp。

证明：（1）对任意的x∈E，有

（2）设p≤q，由引理1（4）可知，∀x∈E有q→x≤p→x，因此fq(x)≤fp(x)。证毕。

定义6设f是EQ-代数E上的M-算子，若∀x∈E，f2(x)=f(x)，则称f是幂等M-算子。

命题6若f是EQ-代数E上的幂等M-算子，则∀x∈f(E)，有f(x)=x。

证明：设∀x∈f(E)，存在a∈E，使得x=f(a)。由f是E上的幂等M-算子知

证毕。

设E,E′是两个EQ-代数，且1,1′分别是E,E′上的最大元。若映射f:E→E′满足：∀x,y∈E，

（1）f(1)=1′。

（2）f(x∧y)=f(x)∧′f(y)。

（3）f(x⊗y)=f(x)⊗′f(y)。

（4）f(x～y)=f(x)～′f(y)。

则称f是EQ-代数上的同态映射[6]。

命题7若f:E→E是同态映射且是幂等的，则f是E上的幂等M-算子。

证明：设f是同态映射且是幂等的，∀x,y∈E，由引理1（4）和命题2（1）可得

综上，f是E上的M-算子。进而，由定义6 知，f是E上的幂等M-算子。证毕。

下例说明，若映射f仅是同态映射，并不能保证f就是E上的M-算子。

命题8 若f是好的EQ-代数E上的M-算子且满足∀x,y∈E，x→f(y)=f(x)→y，则f是E上的恒等映射。

证明：设∀x,y∈E，x→f(y)=f(x)→y，取x=y=1，则

根据好的性质x～1=x可知

故f是E上的恒等映射。证毕。

命题9若f是好的EQ-代数E上的单同态和幂等映射，则f是E上的恒等映射。

证明：由命题7 直接得出f是E上的幂等M-算子。下证f是E上的恒等映射。设∀x,y∈E，由命题8知，只需证x→f(y)=f(x)→y。因此，

综上，f是E上的恒等映射。证毕。

下面给出好的EQ-代数上的M-算子是恒等映射的等价刻画。

定理3若f是好的EQ-代数E上的M-算子，则f是E上的恒等映射当且仅当以下条件成立：

（1）f是幂等的。

（2）f(x→y)=f2(x)→y，∀x,y∈E。

证明：必要性：显然成立。

充分性：假设定理3（1）-（2）成立，则

由M-算子的定义知，f(x→y)=x→f(y)。从而f(x)→y=x→f(y)。继而根据命题8知，f是E上的恒等映射。证毕。

设E1，E2是两个EQ-代数，对任意的x,z∈E1，任意的y,w∈E2，在E1×E2上逐点定义运算

则直积E1×E2是EQ-代数。

命题10设E1，E2是两个EQ-代数且f:E1×E2→E1×E2是映射。若∀(x,y)∈E1×E2，映射f满足f(x,y)=(x,1)，则f为E1×E2上的M-算子。

证明：设∀(x,y),(z,w)∈E1×E2，有

因此，f是E1×E2上的M-算子。证毕。

接下来，主要研究E上M-算子的不动点集的相关性质。

设f是E上的M-算子，将E关于f的不动点集记为Fixf(E)，即Fixf(E)={x∈E|f(x)=x}。

命题11若f是E上的幂等M-算子，则Fixf(E)=f(E)。

证明：一方面，设x∈Fixf(E)，则f(x)=x，即x∈f(E)，说 明Fixf(E)⊆f(E)。另一方面，设x∈f(E)，则存在y∈E，使得x=f(y)。因为f是E上的幂等M-算子，所以f(x)=f（f(y)）=f(y)=x，即x∈Fixf(E)，说明f(E)⊆Fixf(E)。证毕。

命题12设f是E上的保序M-算子，∀x,y∈Fixf(E)，则以下结论成立：

（1）x∧y∈Fixf(E)。

（2）若x≤y，则x～y∈Fixf(E)。

证明：（1）设∀x,y∈Fixf(E)，因为f(x)=x，f(y)=y，根据命题2（1）得

下面定理说明在一定条件下，Fixf(E)能形成一个EQ-代数。

定理4设f是E上的保序M-算子，若

证明：由题设条件与命题12知，显然Fixf(E)关于～、⊗、∧封闭。易知(Fixf(E),∧,⊗,～,1) 是EQ-代数。证毕。

定理5设同态映射f是E上的保序和幂等M-算子且F是E的滤子，则f(F)是(f(E),∧,⊗,～,1)的滤子。

证明：设对任意的x,y∈E，由命题11得，Fixf(E)=f(E)。由定理4 得，(f(E),∧,⊗,～,1)是一个EQ-代数。下证f(F)是(f(E),∧,⊗,～,1)的滤子。

首先，因为1∈F，所以f(1)∈f(F)，说明f(F)非空。

其次，若f(x),f(x)→f(y)∈f(F)，则

因此存在z∈F，使得z=x→y，由于F是E的滤子且x∈F，所以y∈F，从而f(y)∈f(F)。

最后，若对任意的f(x),f(y),f(z)∈f(E)，且f(x)→f(y)∈f(F)，即

说明x→y∈F，由F是E的滤子知，对任意的z∈E，有x⊗z→y⊗z∈F。因此

故f(F)是(Fixf(E),∧,⊗,～,1)的滤子。证毕。

设F是EQ-代数E的滤子，定义二元关系≈为：x≈F y当且仅当x～y∈F，则二元关系≈是同余关系，将x∈E关于≈F的同余类记为[x]F[7]。

定理6设f是E上的M-算子且F是E的滤子，则

定理7设同态映射f是E上的保序和幂等M-算子且F是E的滤子。若∀x,y∈E

从而f(x～y)=f(x)～f(y)∈F。

由于f是幂等的，所以

3 结论

EQ-代数是比剩余格更广的一种代数结构。本文首次将M-算子的概念应用于基于模糊型理论的逻辑代数中，证明了EQ-代数上的M-算子具有较好的性质，并通过不同形式的研究，解决了几类特殊映射与M-算子之间的关系问题。关于M-算子性质的进一步研究，以及M-算子与滤子、稳定化子等特殊集合的关系问题的研究，我们将另文讨论。