3阶广义Fibonacci和Lucas复数

2023-02-24杨衍婷赵建堂

咸阳师范学院学报 2023年4期

杨衍婷，赵建堂

（咸阳师范学院数学与统计学院，陕西咸阳 712000）

Fibonacci 数是最著名的数列之一，它具有许多有趣的性质，在数学、计算机等领域有着重要的应用。关于Fibonacci 数，有许多推广的定义和性质。在文献[1]中，Kalman 引入了k阶广义Fibonacci数。特别地，3 阶广义Fibonacci 数通过递推关系式定义如下

其中α,β,γ分别是方程x3-ax2-bx-c=0 的不同根。具有负下标的3 阶广义Fibonacci和Lucas 数定义为

根据具有非负下标和负下标的3 阶广义Fibonacci 和Lucas numbers 的定义，对于任意的整数m，有

可得非负下标和负下标的序列之间的恒等关系

标记Δ=(α-β)(β-γ)(γ-α)。在Binet型公式中，左右两边同时乘以Δ，可得3 阶广义Fibonacci 和Lucas 数之间的关系

1963年，Horadam[2]引入了Fibonacci复数的概念=Fn+Fn+1i(n≥0)，Fn是Fibonacci 数列的第n项，i是虚数单位，满足i2=-1。类似地，Gaussian Fibonacci 数定义为Gn=Fn+Fn-1i(n≥2)，初始条件G0=i,G1=1，且i2=-1。1977年，Berzsenyi[3]在FibonacciQ矩阵的基础上给出了Gaussian Fibonacci的封闭形式。近年来，人们对Fibonacci复数的研究越来越感兴趣[4-10]。例如，Jiang[4]证明了Gaussian Fibonacci循环型矩阵在n＞2 下是可逆矩阵，并给出了其行列式的值和逆矩阵。Pethe[5]给出了复Tribonacci 序列在高斯整数上的恒等式。Soykan[6]定义了高斯广义Tribonacci 数，并作为特例给出了高斯Tribonacci 数和高斯Tribonacci-Lucas 数的性质。Tasci[7]定义了高斯Tetranacci序列并给出了生成函数、Binet型公式、求和公式及高斯Tetranacci 数的矩阵表示。Soykan[8]定义了广义Gaussian Hexanacci 数，研究了它们的性质，得到了一些恒等式，并给出了Gaussian Hexanacci 数的矩阵形式。Soykan[9]和Prasad[10]将Gaussian Fibonacci数用于编码/解码理论。