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拉回和推出的若干注记

2020-06-17何东林李煜彦彭康青

关键词:同态等价陇南

何东林,李煜彦,彭康青

(陇南师范高等专科学校数信学院,甘肃陇南742500)

拉回和推出是环模理论、同调代数、代数表示论以及范畴论的基本概念之一,也是讨论模的投射性、内射性、平坦性以及各种同调维数等的重要工具,许多学者先后对其进行了研究[1-5]. 设R 为有单位元的结合环,本文主要针对具有特定形式左R-模的行正合交换图,给出拉回和推出的若干性质和等价刻画.

文中的环R 均指有单位元的结合环,模均指酉左R-模. 对任意左R-模同态和,记f 与g 的合成为其余涉及的概念和记号参见文献[6-7].

1 定义和引理

定义1[6]93设为左R-模的交换图,则:

1)称同态对(φ, α )是(φ, β )的拉回,如果对任意满足等式的同态对(其中且都存在唯一的同态使得且(此性质称为拉回的泛性质).

引理1[6]96设( , )φ α 是( , )φ β 的拉回,则以下说法等价:1)若β 为单同态,则φ 为单同态;2)若β 为满同态,则φ 为满同态.

引理2[6]97设( , )φ β 是( , )φ α 的推出,则以下说法等价:1)若φ 为单同态,则β 为单同态;2)若φ 为满同态,则β 为满同态.

引理3[7]53设为左R-模的行正合交换图,则以下结论成立:1)当5t 为单同态且24,t t 为满同态时,3t 为满同态;2)当1t 为满同态且24,t t 为单同态时,3t 为单同态.

2 主要结论

定理1设为左R-模的行正合交换图,则以下条件等价:1)( , )φ α 是( , )φ β 的拉回;2)γ 为单同态.

证明 1)⇒2). 设是的拉回.是包含同态,是Kerγ 的投射覆盖. 由是满同态及P 是投射模易知,存在同态使得因为是的拉回,考虑同态对由拉回的泛性质易知,存在同态使得由知,注意到且,可见又因为满同态右可消且μ为满同态,所以 0λ = . 而λ 为包含同态,因此γ 为单同态.

由定义1 知,(φ,α) 是(φ,β)的拉回.

对偶地,可得如下结论.

定理2设为左R-模的行正合交换图,则以下条件等价:1)),( βφ是),( αφ的推出;2)γ 为满同态.

由蛇引理可得以下推论,然而本文使用不同于蛇引理的方法给出其证明.

推论 1设为左R-模的行正合交换图,其中γ 为单同态,则β 为单同态当且仅当φ 为单同态.

证明⇒设β 为单同态. 由γ 为单同态及定理1 知,),( αφ是),( βφ的拉回. 根据引理1 可得φ 为单同态.

⇐设φ 为单同态. 将上图补充两个零同态可得如下行正合交换图

注意到φ 和γ 均为单同态,由引理3 易知,β 为单同态.

推论2设为左R-模的行正合交换图,其中γ 为满同态,则β 为满同态当且仅当φ 为满同态.

证明⇒设β 为满同态. 将上图补充两个零同态,由引理3 及γ 为满同态易知,φ 为满同态.

⇐设φ 为满同态. 由γ 为满同态及定理2 知,),( βφ是),( αφ的推出. 根据定理2 及引理2 易知,β 为满同态.

定理3设为左R-模的行正合交换图,且H 为任意左R-模. 如果γ 为单同态且HomR( H , β )为满同态,那么HomR( H ,φ)是满同态.

证明由假设γ 为单同态及定理 1 易知,(φ ,α)是(φ ,β)的拉回. 对任意f∈HomR( H , M),

因为HomR( H , β )为满同态,所以存在使得等式成立. 由拉回的泛性质可知, 存在同态使 得且. 从 而为满同态.

定理4设为左R-模的行正合交换图,且H 为任意左R-模. 如果γ 为满同态且HomR(φ ,H)为满同态,那么HomR(β ,H)是满同态.

证明由假设γ 为满同态及定理 2 易知, (φ, β )是(φ, α )的推出. 对任意f∈HomR( B,H),因为为满同态,所以存在使得fα=gφ. 又由推出的泛性质可知,存在同态,使得f σφ=且g σβ=. 从而也是满同态.

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