标准算子代数上的中心化子

马 飞，任刚练

（咸阳师范学院 数学与统计学院，陕西 咸阳 712000）

中心化子和中心化映射的研究一直是算子代数方面的重要研究内容。1991年，Beidar 证明了半素环R上既是左Jordan 中心化子，又是右Jordan 中心化子的映射是中心化子[1]；Vukman 等研究了2-非扰自由半素环A上的中心化子，证明了如果对于任意的a∈A有2Φ（a2）=Φ（a）a+aΦ（a），那么Φ是中心化子[2]；Zalar 在文献[3]中推广了Beidar 的结论，并得到了2-非挠半素环上左（右）Jordan 中心化子是左（右）中心化子的结论；Benkovic等研究了2-非挠素环上可加映射Φ，如果满足对于任意的a∈R，都有Φ（an）=Φ（a）an-1（n≥2），那么Φ是左中心化子[4]；Vukman 讨论了在标准算子代数A上，若可加映射Φ满足Φ（am+n+1）=amΦ（a）an（其中m，n为正整数），则存在数域F中的常数λ，使得对任意的a∈A，有Φ（a）=λa[5]。Qi等将其条件推广到Φ（am+n+1）-amΦ（a）an∈FI（其中I为单位算子，F为实或复数域）[6]。马飞等得到了标准算子代数上满足(mΦ(a)ar+narΦ(a))∈FI的可加映射Φ是中心化子的结论[7]。最近，Jabeen[8]和Liu[9]等分别研究了广义矩阵代数上的（非线性）Lie 中心化子。类似结果可见文献[10-12]。本文从保持映射的角度出发，采用代数分解的方法对标准算子代数上的中心化映射进行研究，试图得到标准算子代数上的满足某种性质的映射是中心化子的结论。

1 预备知识

设A是一个环或代数，称A是素的，如果对任意的a,b∈A，由aAb={0}可得a=0 或b=0，称A是半素的，如果对任意的a∈A，由aAa={0}可得a=0。设Φ是A上的一个可加映射，如果对于任意的a，b∈A，有

那么称Φ是一个左（右）中心化子；Φ是中心化子，是指Φ既是左中心化子，又是右中心化子；如果对于任意的a∈A有Φ(a2)=Φ(a)a(Φ(a2)=aΦ(a))，则称Φ是左（右）Jordan 中心化子。如果对于任意的a∈A，有

其中Z(A) 为A的中心，那么称映射Φ是中心化映射；如果对于任意的a∈A，有Φ(a)a=aΦ(a)，那么称映射Φ是可交换的。

在本文中，设X表示作用在数域F上的Banach 空间，其中F是实数域或复数域，B(X)表示X上的所有有界线性算子全体。F(X)表示B(X)中的所有有限秩算子构成的子空间。标准算子代数A是X上的包含单位算子I和F(X)的B(X)的闭子代数。

受中心化子和中心化映射及上述结论的启发，我们自然想到如何刻画代数A上满足(m+n)Φ(aba)-(mΦ(a)ba+nabΦ(a))∈FI（其中m，n为正整数，I为单位算子，F为实或复数域）的可加映射Φ。

引理1[2]设R是一个素环，Φ是R上的中心化可加映射。如果R的特征不为2 或者Φ是交换的，那么存在c∈C（R的扩展中心）和可加映射ξ:R→F，使得对任意的a∈R，有

2 主要结果及证明

定理1设A是Banach 空间X上的标准算子代数，Φ：A→B（X）是一可加映射，若存在正整数m，n＞1，使得对任意的a∈A，有

成立，则存在λ∈F，使得对任意的a∈A，有Φ(a)=λa。

证明定理1需要下面几个引理。

引理2设Φ是满足式（1）的可加映射，则存在λ∈F，使得对任意的幂等元p∈A，有Φ(p)=λp。

证明：在式（1）中，取a，b为p，则存在λP∈F，即

对式（2）左右两边分别乘以p，我们有

对式（2）左右两边同乘以p，可知λP p=0。因此，Φ(p)p=pΦ(p)，Φ(p)p=pΦ(p)p，且λP=0，即

又因为p⊥也是A的幂等元，同理可得

因而，由式（3）（4）可得。

引理3设Φ是满足式（1）的可加映射，则存在λ∈F，使得对任意的a∈A，有

证明：在式（1）中用I、a分别代替a、b，有

由引理2的证明可知，Φ(I)=λI，则

因而，存在λa∈FI，使得

引理4设Φ是满足 式（1）的可加映射，则存在λ∈F，使得对任意的a∈F(X)，有Φ(a)=λa。

证明：在标准算子代数中，F(X)+FI是素的，由引理3 可知，Φ在F(X)+FI上是可交换的。因而由引理1 可知，存在c∈F及其上的可加映射Φ:F(X)+f I→F，使得对于任意a∈F(X)+FI，有

由引理3 可知，c=λ，因而

用a2替换a可得

而由式（1），可知

综合式（5）和（6）可知

由ξ的定义及a的任意性可知，ξ(a)=0。因而，由Φ的可加性可知，对于任意的a∈F(X)，有

定理1 的证明：定义映射Ψ:A→B(X)，使得对任意的a∈A，有Ψ(a)=λa。令Φ0=Φ-Ψ，则Φ0是可加映射并且

即Φ0亦满足式（1），且对于任意的a∈F(X)，有Φ0(a)=0，对于任意的a∈AF(X)，由引理3可知

因而，对任意的a，b∈A，有

令s=p⊥ap⊥，显然有s-a∈F(X)，所以有

在式（7）中用s替换a可得

又因为Φ0=Φ-Ψ满足式（1），因而有

对式（10）右乘以p可得mλasbp=0。因为A是m-非挠的，所以λasbp=0。若a,b∈AFI，则由a,b的任意性可知，λa=0，从而Φ0(a)=0。若b∈FI，设存在c∈F，使得b=cI。由式（10）可知，(m+n)cλas=0，结合A是（m+n）-非挠的，可得对于任意的a∈A，有λas=0，由a的任意性可知λa=0，从而Φ0(a)=0。

从而，对于任意的a∈A，有Φ(a)=λa。

在定理1 中令b=ar-1，则容易得到文献[7]的主要结论。

推论1设A是Banach 空间X上的标准算子代数，Φ:A→B(X)是一可加映射，若存在正整数m，n,r＞1，使得对任意的a∈A，有

成立，则存在λ∈F，使得对任意 的a∈A，有Φ(a)=λa。

通过定理1 的证明过程及文献[6]的结论，我们可得下面推论：

推论2设A是Banach 空间X上的标准算子代数，Φ:A→B(X) 是一可加映射，则下面条件Ⅰ～Ⅵ等价：

（Ⅰ）存在λ∈F，使得对任意的a∈A，有Φ(a)=λa。

（Ⅱ）存在正整数m,n≥1，使得对任意的a∈A，有(m+n)Φ(aba)-(mΦ(a)ba+nabΦ(a))∈FI。

（Ⅲ）对任意的正整数m,n≥1 和任意的a∈A，有(m+n)Φ(aba)-(mΦ(a)ba+nabΦ(a))∈FI。

（Ⅳ）存在正整数m,n≥1，a∈A使得对任意的，有Φ(am+n+1)-amΦ(a)an∈FI。

（Ⅴ）对任意的正整数m,n≥1 和任意的a∈A，有Φ(am+n+1)-amΦ(a)an∈FI。

（Ⅵ）Φ：A→A是中心化子。

3 结论

本文研究了标准算子代数上满足(mΦ(a)ba+nabΦ(a))∈FI的保持映射。具有Φ(a)=λa的固定形式，给出了标准算子代数上的保持映射的刻画，具有一定的理论意义。