基于ISIGHT的二维手性声子晶体带隙最优设计

魏祎珩,樊洁平，邱克鹏

(1.西北工业大学机电学院，西安 710072;2.西安交通大学电气工程学院，西安 710049)

0 引 言

振动噪声是自然界最普遍的现象之一，广泛存在于人类日常生活和工程应用领域，严重危害人们的身体健康，破坏工业设备的功能和精度，缩短仪器的使用寿命，加剧构件的疲劳与磨损等。因此，开展减振降噪方法和技术的研究尤为重要。1993年，Kushwaha等[1]率先提出了“声子晶体”的概念，即密度和弹性常数呈现周期性变化的结构或材料，同时获得了完全带隙。声子晶体体现出的带隙特性，即阻止弹性波在特定频率范围内传播，使其在减振降噪和声功能器件上有着很广泛的应用前景，为减振降噪技术的发展提供了一种新思路。

近年来，国内外学者针对声子晶体带隙特性开展了大量的研究。吴万鹏[2]对特定二维声子晶体算例的固/固结构、流/固结构和孔/固结构进行了带隙分析并研究了影响低频带隙的因素。刘志明[3]开展了三组元局域共振型三维声子晶体的带隙特性研究工作，从理论上研究了组元材料和点阵结构等参数对带隙特性的影响规律。贺子厚等[4]设计了一种蜂窝结构声子晶体，通过计算不同参数对应的能带图探讨了结构参数对带隙的影响。彭中波等[5]研究了一种二维三组元固态声子晶体结构的带隙特性，并进一步讨论了该结构散射体填充率、包覆层厚度对带隙的影响规律。Dong等[6]对一种新型小尺寸多带隙声子晶体进行了研究，采用有限元法计算了其色散关系和位移场，同时研究了几何参数和材料参数对其能带结构的影响。Li等[7]研究了材料参数对二维三组元声子晶体带隙的影响发现：对于具有布拉格散射型带隙的声子晶体，在密度失配大、散射体与基体的剪切模量比大的情况下会出现更宽的带隙；对于具有局域共振型带隙的声子晶体，在散射体与基体密度比较大、散射体与基体的剪切模量比较大以及涂层与基体的剪切模量比较小时，会出现更宽的带隙。以上研究针对不同结构的声子晶体分析了其构型参数与材料参数对带隙的影响规律，在此基础上，对声子晶体的带隙还有进一步的优化设计空间。

2003年，Sigmund等[8]率先采用拓扑优化设计方法开展了二维声子晶体带隙设计，得到了具有较宽带隙的声子晶体原胞结构，实现了拓扑优化方法在声子晶体带隙特性设计中的应用。钟会林等[9]则利用自适应遗传算法对二维声子晶体开展了优化设计，并将其与平面波展开法结合，研究了正方形排列的铅-环氧树脂声子晶体的带隙优化问题。Liu等[10]将遗传算法与平面波展开法结合，通过两阶段的优化，得到了具有最大相对带隙的声子晶体结构。以上研究采用遗传算法实现了声子晶体带隙的构型设计。郭凯红等[11]通过引入二进制变量来描述三相材料单胞，采用遗传算法实现了一维三相声子晶体的拓扑优化设计，其优化结果为一维多相声子晶体的优化设计提供了理论依据。许卫锴等[12]基于混合变量的两阶段遗传算法，对声子晶体拓扑构型及影响二维固/固声子晶体的材料参数进行优化，得到了较宽的低频带隙。董亚科等[13]利用智能算法和平面波展开法计算了二维二组元和二维三组元声子晶体的最优材料参数和尺寸参数，实现了声子晶体带隙优化设计。Chen等[14]通过归一化系数将多目标优化转化为单目标优化，基于ISIGHT实现了六手性声子晶体的几何参数和材料参数的优化设计。结合分析声子晶体的构型参数和材料参数对带隙的影响规律，选取更有效的设计空间，可进一步提高带隙优化效率。

手性结构在静力学、动力学领域都具有良好的特性，已成为近年来材料研究的热点问题。Wojciechowski[15]率先提出了手性结构的概念，这种结构因其出色的力学性能在当时受到国内外学者的广泛关注，随即便有学者将手性结构与声学减振降噪联系起来进行研究。Spadoni等[16-17]研究了手性结构的隔振与隔声性能，证明其相比普通结构具有更出色的隔振隔声效果以及更高的可设计性。Tee等[18]研究了弹性波在四韧带手性超材料中的传播，证明手性结构具有更出色的带隙特性。徐时吟等[19]对六韧带手性结构的能带特性进行分析，发现六韧带手性结构针对各个方向的振动都具有良好的隔振效应。Spadoni等[20]研究了几何结构对六韧带手性超材料带隙分布的影响。这些研究都说明了手性结构声子晶体具有更优良的带隙特性和更高的可设计性。

本工作在计算特定六边形手性声子晶体带隙特性的基础上，分析了散射体参数与韧带涂层参数对带隙的影响规律，以此确定手性声子晶体带隙最优设计的有效参数设计区间，然后基于嵌入遗传算法的ISIGHT集成平台开展优化设计。先对二维手性声子晶体的构型参数进行优化设计，再基于构型优化设计的结果对材料参数进行优化设计，随后根据材料优化设计结果进行选材，得到以相对带隙宽度最大为目标的手性声子晶体优化模型。最后对优化前后六手性声子晶体中波的传输特性进行了对比，验证了优化结果的正确性和有效性。

1 带隙数值仿真计算

在COMSOL的固体力学模块中建立手性声子晶体的模型，设置Floquent周期性条件，选择较细化的自由三角形网格进行划分，添加参数化扫描控制波矢扫描整个不可约布里渊区求解特征频率，设置绘图组绘制带隙图。二维六手性声子晶体模型如图1(a)所示，结构参数为：晶格常数a=5 mm，散射体半径r=1.5 mm，韧带宽度tb=0.6 mm，涂层厚度tc=0.6 mm，且tb=tc。材料参数为：散射体为钨，密度为19 250 kg/m3，泊松比为0.284，弹性模量为3.5×1010Pa；基体为环氧树脂，密度为1 180 kg/m3，泊松比为0.368，弹性模量为4.32×109Pa；韧带与涂层材料为尼龙，密度为1 150 kg/m3，泊松比为0.28，弹性模量为1.4×109Pa。通过计算，得到其对应的带隙图如图1(b)所示，在0～100 kHz之间有两个完全带隙(即两个灰色区域)，第一完全带隙的频率范围为41.4～53.2 kHz，第二完全带隙的频率范围为58.0～77.9 kHz。

图1 二维六手性声子晶体模型图(a)及带隙图(b)Fig.1 Two-dimensional hexagonal chiral phononic crystal model (a) and band-gap diagram (b)

2 影响二维手性声子晶体带隙的因素

将影响手性声子晶体带隙的因素分为散射体参数与韧带涂层参数两个方面。散射体参数包括填充率、弹性模量、密度和泊松比；韧带涂层参数包括韧带涂层宽度、弹性模量、密度和泊松比。其中，散射体填充率与韧带涂层宽度属于构型参数，散射体与韧带涂层的弹性模量、密度和泊松比属于材料参数。由于第一完全带隙的可设计性低，选择第二完全带隙进行研究。在COMSOL中改变参数值并计算，记录第二完全带隙的起始频率与截止频率，分析不同参数值对应的带隙宽度和带隙位置，确定相对带隙宽度的有效设计区间。

2.1 散射体参数对带隙的影响

由图2(a)可知，散射体填充率对带隙的影响较大。随着散射体填充率的增大，带隙宽度增大，带隙位置先小幅度上升后下降，在散射体填充率为0.35时带隙位置最高；当散射体填充率大于0.35时，带隙宽度相比之前要大很多，带隙位置相比之前也更低，即当散射体填充率大于0.35时，相对带隙宽度会出现最大值，所以确定散射体填充率的有效设计区间为0.35～0.45。

由图2(b)可知，散射体弹性模量对带隙的影响较大。随着散射体弹性模量的增大，带隙宽度增大，带隙位置上升，这一变化趋势在散射体弹性模量小于4.0×1010Pa时最明显；当散射体弹性模量大于4.0×1010Pa时，带隙宽度几乎不再发生改变，而带隙位置却一直上升，这造成了相对带隙宽度的减小，即当散射体弹性模量小于4.0×1010Pa时，相对带隙宽度会出现最大值，所以确定散射体弹性模量的有效设计区间为1.0×1010～4.0×1010Pa。

由图2(c)可知，散射体密度对带隙的影响较大。随着散射体密度的增大，带隙宽度增大，带隙位置下降，即散射体密度越大，相对带隙宽度越大，所以不对散射体密度进行设计，在选材时确定散射体其他材料参数后，选择密度更大的材料。

由图2(d)可知，散射体泊松比对带隙的影响极小；散射体泊松比变化引起的带隙宽度变化和带隙位置变化幅度都在100 Hz以内，对相对带隙宽度的影响可忽略不计，所以不对散射体泊松比进行设计，在选材时不考虑散射体材料的泊松比。

图2 散射体参数对第二完全带隙的影响Fig.2 Influence of scatter parameters on the second complete band-gap

2.2 韧带与涂层参数对带隙的影响

由图3(a)可知，韧带与涂层宽度对带隙的影响较大。随着韧带与涂层宽度的增大，带隙宽度先减小之后小幅度增大，带隙位置下降；当韧带与涂层宽度最小时，带隙宽度最大，当韧带与涂层宽度最大时，带隙位置最低，无法直接确定相对带隙宽度最大对应的参数区间，即相对带隙宽度最大对应的参数值可能出现在韧带与涂层宽度变化的全范围内，所以确定韧带与涂层宽度的有效设计区间为0.1～0.8。

由图3(b)可知，韧带与涂层弹性模量对带隙的影响较大；随着韧带与涂层弹性模量的增大，带隙宽度先增大再减小，在7.0×109Pa时达到最大，带隙位置一直上升。当韧带与涂层弹性模量大于7.0×109Pa时，带隙宽度减小，带隙位置上升，这造成了相对带隙宽度的减小，即当韧带与涂层弹性模量小于7.0×109Pa时，相对带隙宽度会出现最大值，所以确定韧带与涂层弹性模量的有效设计区间为 1.0×109～7.0×109Pa。

由图3(c)可知，韧带与涂层密度对带隙的影响较大。随着韧带与涂层密度的增大，带隙宽度一直减小，带隙位置一直下降；当韧带与涂层密度最小时，带隙宽度最大，当韧带与涂层密度最大时，带隙位置最低，无法直接确定相对带隙宽度最大对应的参数区间，即相对带隙宽度最大对应的参数值可能出现在韧带与涂层密度变化的全范围内，所以确定韧带与涂层密度的有效设计区间为100～3 000 kg/m3。

由图3(d)可知，韧带与涂层泊松比对带隙的影响较大。随着韧带与涂层泊松比的增大，带隙宽度一直增大，带隙位置一直下降，即韧带与涂层泊松比越大，相对带隙宽度越大，所以不对韧带与涂层泊松比进行设计，在选材时确定韧带与涂层其他材料参数后，选择泊松比更大的材料。

图3 韧带与涂层参数对第二完全带隙的影响Fig.3 Influence of ligament and coating parameters on the second complete band-gap

3 带隙优化设计

带隙的优化设计工作是基于嵌入遗传算法的ISIGHT集成平台完成的。通过Simcode组件进行集成，将模型文件作为输入，具有打开COMSOL With MATLAB功能的批处理文件作为命令，结果文本作为输出。优化算法采用多岛遗传算法(multi-island GA)，增加了样本的多样性，防止过早收敛出现局部最优解，提高了多峰搜索能力。

3.1 构型设计

以第1节中的手性声子晶体模型为对象，散射体填充率、韧带与涂层宽度为设计变量，第二完全带隙的相对带隙宽度为目标函数，数学模型为：

(1)

式中:W为相对带隙宽度，是带隙宽度和带隙中心频率之比；A为第三能带所有的特征频率值；B为第四能带所有的特征频率值；f为散射体填充率；tb为韧带宽度；tc为涂层宽度。

ISIGHT运行结果如表1所示。

表1 ISIGHT构型优化设计结果Table 1 ISIGHT configuration optimized design results

根据构型优化设计的结果r=2.95 mm，tc=0.68 mm重新建立模型并计算，得到构型优化设计前后模型对比图与带隙对比图如图4、5所示。

图4 构型优化设计前后模型对比图Fig.4 Comparison of models before and after configuration optimized design

图5 构型优化设计前后带隙对比图Fig.5 Comparison of band-gap before and after configuration optimized design

在COMSOL中进行特征频率的全局计算，得出完全带隙的绝对带隙宽度、中心频率和相对带隙宽度如表2所示。

表2 构型优化设计前后带隙计算结果对比Table 2 Comparison of band-gap calculation results before and after configuration optimized design

构型优化后的带隙宽度由19 869 Hz变为64 628 Hz，带隙中心频率由67 967.5 Hz变为68 936 Hz，相对带隙宽度由0.29变为0.94，相对带隙宽度增大了224%，与文献[9]中相对带隙宽度增大39.2%相比，优化效果大幅度提高。

3.2 材料设计

以构型优化设计后的手性声子晶体模型为对象，散射体弹性模量、韧带与涂层材料弹性模量和密度为设计变量，第二完全带隙的相对带隙宽度为目标函数，数学模型为：

(2)

式中：W为相对带隙宽度，是带隙宽度和带隙中心频率之比；A为第三能带所有的特征频率值；B为第四能带所有的特征频率值；E2为散射体弹性模量；E3为韧带与涂层弹性模量；ρ3为韧带与涂层密度。

ISIGHT运行结果如表3所示。

表3 ISIGHT材料优化设计结果Table 3 ISIGHT material optimized design results

优化设计的结果为散射体弹性模量为3.88×1010Pa，韧带与涂层弹性模量为1.125×109Pa，韧带与涂层密度为1 096 kg/m3。结合第2节结论开展选材：对于散射体材料，需要选择一种弹性模量与38.8 GPa相近，密度大的固体材料；对于韧带与涂层材料，需要选择一种弹性模量与1.125 GPa相近，密度与1 096 kg/m3相近，泊松比大的固体材料。

对于散射体来说，金属钨满足散射体的选材条件；对于韧带与涂层材料来说，选择高密度聚乙烯来代替原模型中的尼龙，高密度聚乙烯的材料参数为：弹性模量为1.07×109Pa，密度为952 kg/m3，泊松比为0.41。更换材料后计算带隙，得到材料优化设计前后的带隙对比图如图6所示。

图6 材料优化设计前后带隙对比图Fig.6 Comparison of band-gap before and after material optimized design

在COMSOL中进行特征频率的全局计算，得出完全带隙的绝对带隙宽度、中心频率和相对带隙宽度如表4所示。

表4 材料优化设计前后带隙计算结果对比Table 4 Comparison of band-gap calculation results before and after material optimized design

材料优化后的带隙宽度由64 628 Hz变为66 285 Hz，带隙中心频率由68 936 Hz变为66 029.5 Hz，相对带隙宽度由0.94变为1.00。

通过构型设计与材料设计两阶段的优化设计工作，目标带隙的带隙宽度从19 869 Hz提升到了66 285 Hz，带隙中心频率从67 967.5 Hz减少到66 029.5 Hz，相对带隙宽度从0.29增大到1.00，增大了245%，与文献[13]中相对带隙宽度增大到0.811和文献[14]中相对带隙宽度增大了29%相比，优化效果大幅度提高。

4 振动传输对比

在COMSOL固体力学模块的瞬态研究中进行振动传输的对比分析，以验证优化结果的正确性和有效性。如图7所示，建立由7个元胞组成的有限周期结构，元胞的构型参数与材料参数分别为初始设计参数和两阶段优化设计后的参数。在结构的左侧边界施加沿x正向的对应频率的激励，计算频率分别为40 kHz、55 kHz、70 kHz、85 kHz和105 kHz。

图7 六手性声子晶体中振动响应对比Fig.7 Comparison of vibrational responses in hexagonal chiral phononic crystals

由图7可以看出，优化设计前后六手性声子晶体对其带隙范围内对应频率的激励具有明显的隔振效果，对其带隙范围之外频率对应的激励不会隔振，验证了计算结果的正确性；同时，优化后的六手性声子晶体可有效隔振的频率范围明显增大，即带隙宽度增大，验证了优化的有效性。

5 结 论

本文利用COMSOL计算了特定六边形手性声子晶体带隙并具体分析了散射体参数与韧带涂层参数改变对带隙的影响规律，基于这些规律对原声子晶体模型进行优化设计，得到了目标带隙最优的手性声子晶体模型，具体结论包括：

(1)对于手性声子晶体的第二完全带隙，散射体填充率、弹性模量和密度对带隙的影响较大，泊松比对其影响极小，韧带与涂层各参数对带隙的影响都有明显的影响。

(2)在进行优化设计工作前，先对影响手性声子晶体带隙的因素进行具体分析，确定了各参数的有效设计区间，避免了优化的盲从性和经验性。

(3)在材料优化设计中，先在有效设计区间内寻找最优解，再根据优化结果寻找材料，在考虑到材料是否存在的实际情况下极大限度地挖掘了二维手性声子晶体带隙最优设计潜能。