数形互助：数学概念建构的基石

张云

【摘要】“数”的概念较为抽象，将其转化成学生所熟悉的图形，可以使学生更易理解所学知识。学生对整数有着一定的认识，而对小数的了解却只限于“见过”这个层次，缺乏系统性的了解和深刻的认知。教师应根据学生的生活经历，指导他们建立小数、整数和分数之间的关系连接，从而增强其认知水平；加深学生对小数的认识。在数学教学中，数学与图形的相互依存是建立数学概念的基础，是培养学生思维能力的重要手段。

【关键词】数形结合；小学数学教学；概念教学

“数形结合”的思维方式是一种学习的工具。目前，在数学教学中，数形结合的思维并未被充分地利用。究其原因，一是教师对数形结合有自己的理解，但在运用和指导方面存在着不足，教学中过分注重知识的灌输，造成了学生对数形结合的理解和运用不足；二是教师虽然对数、形的融合观念有所了解，但缺乏较全面的认知。数形结合的教学模式的缺乏，会影响到学生对数学本质的认识。

一、以学情为导索，找准数形互助起点

在小学的数学概念教学中，“数”的概念是较为抽象的，而“形”则更为直观；在学习过程中，将数学概念转化为形象具体的图形，或者用形象的图形辅助数的概念的建构，有助于将数学问题简单化和直观化，便于学生理解和掌握。

1.找准诉求点，创设情境

郑毓信教授说：“学生可以在自己的引导下，很好地完成自己的发展和提高。”教师在教学过程中，应为学生创造一个好的学习环境，它既可以是一个生活环境，也可以是一个讲故事的环境。在特定环境中，学生对小数概念进行针对性地探索和学习，会意识到“小数”来源于生活、生活中无处不在；由于人们对数字的要求越来越高，所以才有了小数的诞生。

在教学过程中，教师要引起学生的认知冲突，使学生体验小数产生的必然性，进而激发他们的探索欲。数的概念之间并非相互独立的，它们之间存在着联系。通过清晰地认识各方面的关系，学生能够发现旧的知识与新的知识的联系，从而建立起一个整体的知识网。

2.聚焦联结点，初建模型

数学概念不是单个独立的，概念与概念之间是相互联系的。教师可以利用学生对新概念的认知需求，设计合适的教学环节，帮助学生理解新概念的知识本质以及与已有知识之间的联系。

特级教师王东敏在帮助学生建立小数与整数、分数的联系时，是这样设计的：

师：1根小棒用1表示，半根小棒用几表示？

生1：0.5。

生2：[1/2]。

师：这两种表示方法你们都懂吗？

生：把一个根小棒平均分成2等份，[1/2]表示其中的1份。

师：怎么在计数器上拨0.5？

学生提出改造计数器的想法，继续在个位的旁边造一个更小的数位。

师：你们造的这个位置和个位的大小有什么关系？

生1：个位上的数大一些，新造位上的数小一些。

师：新造的位上的1个珠是个位上的几个呢？谁能用分数表示？

整个教学过程中教师没有提小数的意义，却又将小数的意义贯穿于整个过程。没有提小数与整数、分数的联系与区别，却又将它们的联系渗透到每个学生的理解中。

二、以內容为抓手，完善数形互助形成

因为数学的抽象性，一些学生对数学有一种“畏难”心理，这对教师的教育工作提出了更高的要求。根据课程的内容，教师要在适当程度上降低学习难度，调整学习的进度，以内容为抓手，完善数形互助的形成。

1.丰富的模型体验，掌握数的概念建构过程

在课堂进入深入交流与合作探究阶段时，为了让不同层次的学生都能在共同参与的过程中理解小数的本质内涵，完善小数概念的形成过程，教师要深刻地理解教材的内涵，设计丰富的模型体验活动。

特级教师张齐华在教学《小数的初步认识》这一课时是这样设计的：

师：你们在平时生活中见过小数吗？

生：见过。

师：既然你们生活中见过这么多小数，那老师要考考你们。请写出三个不同的小数。比一比谁写得最规范。

学生练习，教师巡视，有选择地展示学生写的小数（0.1、0.2、0.3、1.22、4.55、3.3）。

学生在课前就已经在生活中见过小数，并能写出许多规范的小数。小数的读、写对学生来说都不困难，教师指出：我们还需要了解小数的意义。

教师给学生呈现了三个图形：如果把这3个图形作为1元，那么0.3元应该怎么在图形中表示出来呢？

小数的概念是抽象的，0.3元的意义则比0.3更具体，0.3元和0.3又有一定的联系，于是图形的出现便给学生理解、表达小数的意义提供了一个抓手。教师要提供素材给学生观察，让学生从中发现素材（圆形、线段、长方形）与0.3存在的关系，比较0.3与1的联系，学会分析并用自己的话概括图形中的0.3的意义。教师在课堂教学中尽可能多地为学生提供不同的素材。学生从大量素材中经历意义理解的模型形成过程，能更快、更深入地理解概念。

2.意义的系统建构，升华数的概念本质理解

美国教育家奥苏伯尔认为：“教材最佳的序列，要反映知识的逻辑结构，体现不断分化和综合贯通的原则。”

根据维果茨基“最近发展区”的理论可以推测出，大约80%的学生在第一次了解小数点之前就能明白商品价值中的小数字所代表的意义，大约50%的学生可以看懂小数值，而极少数的人则可以明白温度中的小数意义。这就需要教师利用大量的例子引导学生从中抽象出小数的意义。

教师在课堂教学中可以通过引导学生体验不同情境中相同小数的意义，借助图形不断经历数学概念的形成过程，帮助学生建构完善的小数意义体系，更好地发展学生的数学思维能力。

三、以活动为载体，促进思维提升

教育家比格斯曾说：“小学儿童学习数学的速度，比我们想象的要慢得多。他们要通过实际活动才能掌握具体概念，进而学习抽象。”

概念真正意义的建立，绝非一朝一夕之功。因此，教师要提供丰富的、具体的、有效的、可感觉的素材，在不同的活动、素材中找到相似的地方，使学生在经历不同的活动后，排除不相关的信息和要素，掌握概念的基本性质。

数学知识是抽象的，当数学知识应用于实际时，它才是鲜活、有生命力的。对学生来说，把抽象的数的概念和以后的知识基础及生活经验联系起来，才能更好地强化数感。

数学教学的根本出发点应该是推动学生全面、协调以及持续性发展，要在有限的时间之内让学生获得充分发展。概念学习是数学教学中的一个重要内容，找准学生的认知起点，利用学生已有的知识经验和认知经验，设计恰当、丰富、有效的教学活动，设计让学生“迷恋”的数学问题，让学生经历探索概念知识的形成过程，理解并能概括出概念的本质，这就是数学概念学习的努力方向。

（作者单位：江苏省南京市江宁区岔路学校）