让推理意识无痕发展

杨慧

【摘   要】发展学生的核心素养，是当前数学教学的重要目标。教学“三角形按角分类”时，教师引导学生充分经历概念产生、完善以及概念体系形成的过程，使学生在深刻理解数学知识的同时，获得推理意识的锤炼，实现核心素养的提升。

【关键词】三角形分类；数学概念；推理意识

《三角形的分类》是人教版教材四年级下册的教学内容，旨在让学生通过操作、观察、比较、归类等活动，经历给三角形分类的过程，辨认和识别锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，知道这些三角形的特点。其中，既包含图形认识和概念建构的双基目标，又蕴含发展空间观念的能力目标。分类是一种科学的思维方法，根据分类标准的不同，通常可以分为基于形式的分类与基于性质的分类。三角形按角分类，是基于显性的外在形式的分类。本课的教学在学生初步掌握三角形内角和是180度的基础上，关注如何在分类过程中，引导学生理解三角形的内在本质。

【教学目标】

（1）通过动手操作，经历给三角形分类的过程，辨认和识别锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，知道这些三角形的特点。

（2）通过观察、画图、计算等活动，培养空间观念和归纳推理能力。

（3）通过比较、归类等活动，渗透分类思想和集合思想。

【课堂实践】

一、分类交流，建构概念

理解三角形按角分类的分类结果不难，学生预学后就能大致明白。教学时，教师在学生暴露自身“原始概念”的基础上，呈现教材上的“标准概念”，以此引发学生的认知冲突，让学生通过思考和分析，理解如此分类的原因，并建构相关的概念，在感受数学语言严谨性的同时，锤炼推理意识。

师：同学们，今天我们一起来研究三角形的分类，研究的内容是按角分。昨天我们进行了预学，有关知识想必大家已经知道了不少。现在黑板上有六个三角形（如图1），哪位小老师能上台来分一分、讲一讲？

生：图①和图⑥是直角三角形，因为它们都有一个直角两个锐角；图③和图⑤是钝角三角形，因为它们都有一个钝角两个锐角；图②和图④是锐角三角形，因为它们的三个角都是锐角。

（其他学生都表示同意）

师：这名同学在表达的时候，既能说出结果，又能说出理由，非常棒。我现在把他说的写在黑板上。（结合学生的分类，板书简要记录）

师：我們来看看课本上是怎么描述这三类三角形的。（课件出示图2）仔细观察并比较，课本上说的和刚刚这个同学说的有什么不同？

生：课本中锐角三角形的描述和同学说的一样，但钝角三角形和直角三角形，课本上只说了其中的一个角，没有说两个锐角。

师：你们一定产生疑惑了吧。课本在直角三角形和钝角三角形的概念中，为什么不说明它们都“有两个锐角”？（学生安静思考）

生：三角形的内角和是180°，直角是90°，那么直角三角形中另外两个角的和也是90°，所以直角三角形中另外那两个角肯定都是锐角。同样，钝角是大于90°的，三角形中如果有一个钝角，那么另外两个角的和就会小于90°，它们只能是锐角。既然都一定是锐角，也就不需要再特地说明了。

（学生清晰的表达，得到了同学们热烈的掌声）

师：这名同学通过推理，分析了原因。同学们，数学表达就是要既严谨又简洁。

二、质疑问难，说理求证

在学生知道了锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的概念后，教师适时抛出“有没有第四类三角形存在”这个问题，引导学生通过不同的方法来证明“三角形只有三类”这个结论的正确性。这个说理的过程，是学生数学思维不断调整、完善的过程，也是其推理意识不断增强、发展的过程。

师：我们把三角形分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三类，那么有没有第四类三角形呢？

生：没有了。

师：能用充分的理由来说明自己的观点吗？可以想一想，画一画，说一说。（组织同桌讨论）

生：老师，我到黑板上来画一画。如果三条线段组成两个直角，是不可能围成一个三角形的；组成一个直角、一个钝角也不行；组成两个钝角就更不可能围成三角形了。因此只有这三种情况（如图3）。

师：画图是个好方法，它让大家非常直观地理解你的观点。

生：我们也可以通过计算来证明，三角形内角和是180°。如果三个角中有两个角是直角，那第三个角就是0°了；如果有一个直角和一个钝角，那第三个角就是负数了……

师：你是通过计算进行推理的，也非常不错！所以，三角形按角分的确只有三种情况，我们可以用这样的集合图来表示。（课件出示图4）

三、利用“负迁移”，引发新思考

教师利用学生思维的“负迁移”——有一个锐角的三角形叫锐角三角形，引导学生对三角形的角（尤其是锐角）展开更深入的思考。学生通过对三类三角形中各个角的对比分析和归纳，得出“三角形中至少有两个锐角”，进而形成确定三角形的类型“要看两个锐角外第三个角”的经验。在这个过程中，学生发展了理性的思维方式。

师：现在我们知道了有一个直角的三角形叫什么？

生（齐答）：直角三角形。

师：有一个钝角的三角形叫什么？

生（齐答）：钝角三角形。

师：有一个锐角的三角形叫什么？

生（齐答）：锐角三角形。

（教师有意停顿，很多学生突然发现答案不对，纷纷举起了手）

师：怎么了，出什么问题了吗？

生：因为任意三角形中都有锐角，所以有一个锐角不能确定是什么三角形，有三个锐角才能确定是锐角三角形。

师：这样啊！请大家观察板书，并比较，你们有什么新的发现吗？

（教师组织学生观察、讨论和交流）

生：每种三角形都至少有两个锐角，判断三角形时，光看两个锐角还不够，还要看第三个角，两个锐角外的第三个是什么角就是什么三角形。

（教师根据学生的回答，通过板书引导学生更清晰地理解分类标准）

师：现在，谁能完整地说说我们的发现。

生：每种三角形至少有两个锐角，所以要再看第三个角。第三个角是锐角的就是锐角三角形，第三个角是直角的就是直角三角形，第三个角是钝角的就是钝角三角形。

四、利用几何画板，掌握新判断方法

从“需要知道三个角的度数”到“只需要知道一个角的度数”，再到“关键要看最大角的度数”，这是学生深刻理解三角形本质、提升思维能力的过程。教师以几何画板为载体，引导学生观察、想象、分析，直观地感知三个角的内在关联，使学生的推理意识和空间观念得到同步发展。

师：要判断这是一个什么三角形，需要知道几个角的度数？（课件出示图5）

生（齐呼）：三个。

（有学生大喊“看一个也行”）

师：有人说看一个角也行，这有什么道理吗？

生：在这个三角形中，∠S最大，有点像直角，也有点像锐角，所以只要确定∠S就可以了。

师：好，现在我们来测量一下∠S的度数。（课件显示∠S=87°）它是什么三角形？

生（齐答）：锐角三角形。

师：为什么？

生：因为这个角最大，而且是锐角，那另外两个角一定也是锐角，所以它是锐角三角形。

师：想象一下，如果现在向右拖动S点，这个角会发生什么变化？

生：∠S会变小。

师：我们来试一下，看看是不是这样。

（课件动态演示过程，结果如图6）

师：现在是什么三角形？

生：钝角三角形。

师：∠S明明只有19°了，这个三角形怎么会是钝角三角形呢？

生：因为∠R变成钝角了。

（课件分别显示∠Q、∠R的度數，其中∠R为101°）

师：现在关于如何判断一个三角形的类别，你们有什么新的想法？

生：关键要看三角形中最大的那个角。如果最大的角是直角，它就是直角三角形；如果最大的角是钝角，它就是钝角三角形；如果最大的角是锐角，它就是锐角三角形。

【教学反思】

本设计的主要特点如下。

（1）当学生按角对三角形进行分类时，教师设计了“有没有第四类三角形存在”这个问题，让学生用画图、计算等不同的方法来说明思考过程，引导学生理解概念本质，感悟分类思想。

（2）学生在分类过程中，往往关注每类三角形的独特之处，而忽视它们的共性部分。针对这一现象，教师设计了找一找“直角三角形的另外两个角”“钝角三角形的另外两个角”等练习，让学生既对直观的现象进行观察与归纳，又根据三角形的内角和来分析和解释。

（3）发展学生的空间观念，离不开动态想象。教师在学生对三角形进行静态探究时，运用几何画板，展示三角形的动态变化过程，让“推理”和“验证”结合，清晰呈现学生思维的发展变化。

教学时，教师引导学生经历数学问题的分析和解决过程，培养学生的推理意识。本课围绕四个主题设计教学。前两个主题是：“直角三角形和钝角三角形的另外两个角一定是锐角吗？”与“除了这三类，还存在第四类三角形吗？”这两个主题的解决，其实都用到了推理。教师通过提问，引导学生进行观察、分析、讨论，学生会主动地利用“三角形内角和等于180°”进行思考和说理。学生的说理过程实际上就是推理过程，在这个过程中，学生既解决了问题，又感受了数学的严谨性。第三个主题是：“一个三角形中至少有几个锐角？”看似简单的一个问题恰恰是本节课的难点。通过观察、比较，学生感悟到三角形的分类由第三个角来确定，他们理解问题的方式也从直观感知发展为抽象推理。第四个主题是：“判断三角形的类型需要知道哪些角的度数？”从需要知道三个角到只需知道一个角，从看特殊角到看最大角，在教师的不断追问下，学生的思考不断深入，最终实现概念理解。在以上解决问题的过程中，通过多种方法的碰撞、多样思维的分享，学生的推理意识在无形中得到发展。

在小学数学教学中，教师要特别注意挖掘数学知识点之间的逻辑关系，在此基础上，精心设计教学的过程和形式，有意识地培养学生的推理意识，促进学生数学素养的有效提升。

参考文献：

［1］顾文亚，严育洪.关注思维，向更深处漫溯：“三角形的分类”课堂实录与评析［J］.中小学数学（小学版），2021（7/8）.

［2］董连春，陈洪杰.国际小学数学教与学的研究进展与启示：基于ICME-14全体报告和邀请报告的述评［J］.小学数学教师，2021（9）.

［3］刘伟.浅谈通过问题设计培养学生的逻辑推理意识［J］.试题与研究，2022（22）.

（浙江省舟山市普陀区教研室   316100）