基于素养导向和能力立意的高考数学备考策略

摘 要：解析几何解答题在高考卷中作为选拔性题目有着非常重要的地位和意义，往往以计算量大，逻辑推理性强和方法灵活著称.文章将2017-2021年全国卷中解析几何解答题做了归纳分析，对个别经典题做了一题多解分析，将其通性通法进行归纳总结，为一轮复习备考提供参考.

关键词：解析几何；课程标准；解答题；分类综述

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）34-0060-06

收稿日期：2022-09-05

作者简介：巨小鹏，陕西省汉中人，硕士，中学二级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：陕西省教育科学“十四五”规划2021年度课题“教材‘阅读材料在数学学习中的渗透与引领策略研究”（项目编号：SGH21Y1194）.

平面解析几何是选择性必修主题二几何与代数的内容，是创立微积分的基础.其方法就是通过建系，借助直线、圆与圆锥曲线的几何特征，导出相应方程，再用代数的方法研究其几何性质，完美体现了数形结合思想.学生在学习过程中往往有这样的几个难点：一是对基本概念和基本公式理解不够深刻；二是对解析几何中所要用到的思想和方法掌握不够；三是代数运算能力不够.针对这些难点，依据新课程标准，理解基本概念，依托高考真题，总结规律，掌握方法，把握其内在逻辑，优化计算方法.

1 精准领会新课程标准要求

1.1 新旧课程标准教学要求区别

新课标删除了“体会斜截式与一次函数的关系”，明确了“掌握平面上两点的距离公式”，增加了能解决一些“实际问题”.对知识内容的整合，用代数法研究几何问题，体现数形结合思想是本章内容的核心，这种思想贯穿该内容教学的始终.新课标对抛物线的要求是了解，难度也有所降低；旧课标“能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题”降为“了解椭圆和抛物线的简单应用”，增加了“平面解析几何的形成与发展”，引导学生感悟数学的文化价值.删除了“曲线与方程”相关内容.

1.2 四了解、四探索和四能

了解：了解圆锥曲线的實际背景；了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质；了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质；了解椭圆、抛物线的简单应用.

探索：探索确定直线位置的几何要素；探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式，两点式及一般式）；探索并掌握平面上两点间的距离公式，点到直线的距离公式；探索并掌握圆的标准方程与一般方程.

能：能根据斜率判定两条直线平行或垂直；用解方程组的方法求两条直线的交点坐标；根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆，圆与圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

重点提升学生直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养.

1.3 高考考情统计分析

从统计明显看出：（1）解答题第一问考查轨迹方程比较多，难度不大，考查基础概念，基本方法；（2）定点（值）问题也是第二问常考类型，然后是范围（最值）问题，其中可能与函数最值或者不等式交汇考查；（3）探索性问题也值得关注，试题本身的开放性只有在探索中才能体现出学生思维的方向性，作为选拔性考试，难度稍大.

2 几个常见问题多视角通法分析

2.1 解决范围（最值）问题中的多个视角

求范围（最值）问题常常将目标转化至函数或者不等关系，此时审视角度较多，比如利用几何特征数形结合、判别式、求值域（二次函数和求导函数法较多）、基本不等式、正余弦定理、三角换元（参数方程法较多）、利用题中隐含条件建立不等关系或者利用线性规划及其综合方法解决问题.