初中数学“二次变式”的设计、实践与思考

孙朝仁 朱桂凤

摘要：以“中考同源试题”为研究载体，彰显“二次变式”设计、实践与思考的方法体系，涉及构造思想、“拟经验”心理过程，以及语言等值编码等心理系统再造。研究“二次变式”编码，有助于学生“会一题、通一类，连一片”，并以此促进教师用好教材。

关键词：二次变式  问题编码  学习心理  教学构建  初中数学

引用格式：孙朝仁，朱桂凤.初中数学“二次变式”的设计、实践与思考[J].教学与管理，2022（34）：51-55.

“变式”源于马顿的“变异理论”，是问题、试题层出不穷的内在渊源，是学科命题绕不开的思维通识。“二次变式”是对变式的变式，是一种稳定的心理过程，带有强烈的左右勾连、上下贯通的结构心理特征。也就是说，只有通过抽象或逻辑分析才能发现它与原型关系的变式，二次变化参数、二次变化背景、不同侧面地微妙地缺省某些条件等是二次变式的本体思想。一般来说，智慧技能获得的唯一有效方法就是变式与二次变式，这种条件认知与算法操作是建立学科方法体系的“思维切口”。因此，研究二次变式是学科学习转型的新途径，能提高学科的育人质量。

一、“二次变式”的教学设计

从思考的目标过程看，“二次变式”是建立以原型为思维起点的序列问题“组块”。组块的组织过程涵盖抽象过程、建模过程、“用模”过程和迁移过程。基于这种条件认知，让学生在自主学习、合作学习、质疑学习、猜想学习、证实证伪学习中构造稳定的问题结构特征（同构和异构），这有助于场独立、场一般、场依存学生的选择性学习，提高不同学生的心理发展水平。其中“同构”是“一次变式”（如数量的变化、位置的变化）的思维理论，“异构”是“二次变式”（如参数的变化）的思维支架。“变式”是教学设计的显性特征和思维线索，是学生思维发展、心理发展的重要抓手。因此，变式教学设计要贯穿三个方面的思考，即原型意识、同构意识和异构意识，其中原型意识是同构和异构“二次变式”设计的基础。

1.原型意识

“原型”可解释为概念、规则和关系，以及图形与图形之间的变换关系。而“原型意识”则是一类专家头脑中的高度简约的、内潜的、浓缩的经验、思想、方法。数学中的原型意识是指在教材上找到问题的“原型”（思维起点及其载体），体验问题的组织过程、思维编码过程（语言等值编码过程），以及经验登记过程（经验的构造与再造），从而知道试题的由来（试题的起源与发展）。

在《初中数学》（江苏凤凰科学技术出版社）教材中多处呈现了“母子正方形”，如八年级上册第72页第3题，八年级下册的第82页例5、第95页第22题等，从不同侧面渗透了母子正方形的对称思想、变换思想等重要的思想方法。因此，多个城市的试卷命制了“母子正方形问题”，很好地考查了学生的几何直观能力。其中，以“母子正方形”为思维起点，连云港市分别在2014年和2015年考查了该问题，只不过考查角度发生了变化。2015年考查了旋转、构造、最值思想（见例1），2014年考查了函数关系最值、等积变形、点的轨迹以及中点坐标、对称最值等数学方法体系（见例2）。2021年宿迁市考查了母子正方形问题（见例3），主要考查了相似变换、全等变换和动点轨迹问题。

例1（2015·连云港市）

例2（2014·连云港市）

例3（2021·宿迁市）

这种“变式考查”思想，是一种好的命题途径，落实了“从不同侧面、不同层次”研究同源问题的目标过程。因此，用好教材、超越教材是学科教学的根本，不是“刷题”、更不是“乱练”，也不是无原则的“练熟”。

2.同构意识

“同构”是一种同化构造，旨在不改变原有的认知结构，直接将原有的认知经验应用到本质特征相同的一类事物中去。在课堂教学过程中，举例说明、正反例证、写出类似的问题就是一种常见的同构意识，带有等值语言编码特征。从教学论来看，同构的本质就是一种组合思想、组块行为和编码意识。

例3中的图7与图8就是一种同构关系（等值语言编码），揭示了“相似變换→全等变换”的“稳定结构特征”，有助于“场依存”认知风格的学生学好数学、热爱数学。其实，无论母子图、编码图，还是类组合、似构造、等值编码都是一种平衡条件认知，都有助于学生建立相对稳定的学科知识结构，可以有效提高概念变式、命题变式和问题变式的能力。

3.异构意识

“异构”是一种内源变式（如参数的变化等），是对新旧经验加以概括，形成一种能包容新旧经验的更高一级认知结构，并以此适应外界的变化。通俗地说，异构意识就是一种“有用组合”，带有强烈的“再创造”特征。世界上的组合有无数，但有用组合却相对有限。所有的发明、发现和创造都来自于“有用组合”。当然，学科的发展、结论的诞生、客观知识的二次发展，都是有用组合的必然产物。

例3中的前两个问题与第三个问题之间的变式关系，就是异构思维、异构意识的产物，带有强烈的内源变式特征（背景的变化），反映了“高投入”思维特征和问题结构化特点。这种从复杂中揭示出简单规律（统一性）的目标过程，是学生知识迁移的心理基础。

综上，“二次变式”教学设计，不止于原型意识、同构意识和异构意识，更在于对原型通过同构和异构进行改造、重组和关联，形成梯度的问题思维“反应块”，让不同的学生在学科学习上获得相应的发展。

二、“二次变式”的教学实践

在教学实践论范畴，“二次变式”是一种本原思想，是学生个体经验、事实经验和客观经验的转化、迁移、调用的心理条件。其中，事实经验是个体经验向客观经验转化的“二次变式”教学实践的中介。一般来说，“本原”是本体论中的一个术语，指一切事物的最初根源或构成世界的最根本实体。哲学上对本原的思考凸显为一种刨根问底的探寻精神，始终把理解世界的“始基”或“构成要素”作为第一问题。“二次变式”本身就是第一哲学问题，是以个体经验为“始基”的，终于客观经验产生式“产生”。为此，个体经验到客观经验的过程，包括概念变式编码、命题变式编码、问题变式编码，涉及做、说、用等思维编码过程。

1.概念变式编码，让学生在“做”中形成个体经验

概念是一切知识的出发点，也是归宿。概念变式是学习的通用方法，是学生获得知识的外在法定标准。概念变式编码是以“组块”的思维方式存在的，能促进知识结构产生式“产生”。通过概念变式编码，将概念的“工具性理解”上升到“关系性理解”。从认知心理学来说，工具性是一种法定标准，而关系性是一种认知结构，是学生把握对象的心理逻辑。认知结构是指学生将自己的认识信息组织起来的心理系统，包括图式、支架、模型、组块等。一般来说，只有概念成为个体知识结构的组成部分，才说明理解了、会了、懂了。这不是似会非会，而是深度理解，并能将结构知识转化为认知结构。所以，概念变式编码不是教知识，而是教结构、教概念和概念关系（一类群论）。

片断1 “概念变式”思维编码过程如下（以例1为例）：

首先，在图1中，根据“母子图”的特征，以“SAS”为条件，证出△ADG与△ABE全等。根据全等三角形的性质以及图形位置的显性特征，可以确定直线的位置关系。

其次，在图2中，根据旋转不变性，在（1）的基础上可知BE=DG。结合题干信息和问题（2）的条件，在勾股定理参与下，可知BH=AH=，HG==。至此，答案呼之欲出。

最后，根据最值思想和“动中取静”特点，不难知道点的运动轨迹是在两个半圆（弧GAE、弧BAD）上（如图9）。当点H与点A重合时，满足△GHE与△BHD面积之和最大的约束条件，进而可求正确答案。

设计意图：本题可以作为课堂教学例题呈现，让学生说概念、说经验、说思想方法，揭示“变中不变”的道理、“不变而变”的价值，促进概念变式编码的内驱力提升，提高经验形成的水平。

综上，如果说问题（1）是“做”的思维起点，那么问题（2）就是概念变式编码的必然产物，而问题（3）则是概念关系从工具性理解转向关系性理解的具体表现。如果说个体经验是“做”的必然结果，不如说“全等变换→全等变换附加编码→动点最值”是组块问题组织的一般过程，能较好地促进不同认知风格学生的数学发展。这才是概念变式的价值理性，也是概念变式编码的本体思想，能让学生在学好中产生结构理性。

2.问题变式编码，让学生在“用”中产生客观经验

问题不是题目，问题具有结构认知特征，一般涵盖辨别编码、差异编码和内化编码（比如研究性学习问题、课题学习问题、活动型问题等）。问题能促进人的思维发展，并强调将理性具体转化为理性一般。问题变式编码就是让学生在“用”中获得研究对象，在变式中获得研究对象特征，在辨别编码和差异编码中建立客观经验，并将客观经验转化为主观能力。有专家认为，问题变式编码理论“坚持学习就是辨别，辨别依赖于对差异的认识，教师应当通过变异维数的扩展引导学生更好地去认识对象的各个方面”[1]。这就要求问题变式编码必须具备3个方面的认知心理条件，方能让学生在获得研究对象的过程中，建立一种个体内化的客观经验。第一方面，以“用”为情境编码特征，突出辨别编码和差异编码，有助于人人获得良好的教育;第二方面，让学生在外源变式思考中获得研究对象的本体论特征，并建立发现问题的二次编码条件;第三方面，让学生在内源变式思考中获得认知迁移能力，并将定义变式、命题变式和问题变式统一起来，从经验重组中获得新思想、新方法和新路径，提高二次变式能力以及概念内化能力。

片断2 “外源问题变式编码”具体过程如下（以例2为例）：

首先，在图4中，经过数论与形论分析，可以确认问题（1）属于函数最值问题。为此，鉴于动点P的运动约束条件，需要构造函数关系。设正方形APDC与正方形PBFE的面积和为y，AP=x。结合题干信息，不难得到y=x2+（8-x）2。由此，可求出函数最小值。显然，这里的问题（1）与片段1的概念变式编码、命题变式编码的问题（1）测量视角不同。例1考查了图形变换，例2考查函数最值。这是将“母子图”的情境置于编码，其二次变式编码方式不同，学生的心理发展不同。

其次，在图5中，經过构造分析、分离图形分析，可知问题（2）属于外源变式附加编码——一种“等积变形+作差思想”的复合思维。在辅助思维的参与下，结合母子图情境置于方式，可构造梯形APFD。这样就构造了等值语言编码“同底等高”问题，以此不难获得“存在性”等积图形（△APK与△FDK面积量性相等）。

设计意图：本题可以作为课后基础练习。问题外源变式编码旨在让学生经历情境置于式编码、情境置于式组块过程，体验不同视角、不同维数变式编码不同，学生获得的数学发现和问题提出的能力不同（变中不变，前者属于数论变量、后者属于形论变量）。这里的提出问题就是二次变式的产物。

如果说问题（1）是理性具体，问题（2）则属于理性一般;如果说函数最值是一种数论，“等积变形”则是一种形论，能促进学生在“做”和“思考”的过程中，将个体经验客观化。

片断3 “内源问题变式编码”过程如下（以例2为例）：

首先，问题（3）是内源变式编码问题——一种动点轨迹等值语言编码方式。结合题干信息，不难知道线段PQ中点O的运动轨迹是以正方形的顶点为圆心，PQ长度的一半为半径，在正方形内部形成闭合的四段等弧（16π）。

其次，问题（4）属于直线型轨迹问题和对称最值问题，带有强烈的二次变式、内源变式编码特征（变化背景）。根据问题求解的需要和图形附加编码的特点，在问题（1）的基础上，可知正方形APDC的边长为x、正方形PBFE的边长为（8-x）。以此为基础，结合已知信息，可得G（，x）、H（，8-x），线段GH的中点O（，4）。至此，根据自变量x的定义域1≤x≤7，可知点O的运动路径是长度为3的线段。根据对称，易求得OM+OB的最小值为BM′==。

设计意图：本题旨在内源变式思维参与下，让学生通过“做”将客观经验转化为等值语言编码能力。同时，动点轨迹与坐标法的引进有助于场独立认知风格的学生获得数学再造能力、二次变式能力，为“提出问题”形成积极的心理准备状态。

数学学习靠“悟道”和“练到”。“本原性问题有助于悟道理解，变式问题有助于练到理解”[2]。如果说问题（3）的解決是一种客观经验支配的结果，那么问题（4）则是一种辨别编码和内化编码的具体表现，有助于场独立认知风格学生的思维纵向贯通，提高语言等值转化的能力，促进高阶思维的发展。当然，任何“悟道”与“练到”都始于对知识价值的追求。所以，教学不仅仅是教做题，也不是教会做题，而是教变式、教方法、教思想，这才是学习的根基。

3.命题变式编码，让学生在“说”中建立事实经验

命题是通过判断一件事情的语句来描述的。命题变式编码包括两个阶段，在命题初期以显性变式编码为主，使得问题之间有一定的同一性。比如，例1中的问题（1）和问题（2）之间的概念关系就属于显性变式（全等变换→全等变换附加编码）。命题应用后期以隐性变式编码为主，使得问题类型与问题情境不同（如例3中的图7与备用图之间的概念关系就属于隐性变式），这样可以促进事实经验进行纵向迁移。命题变式编码是以“说”为内在表征形式的，带有强烈的“拟经验”特征，不仅需要“显性→隐性”的纵向迁移，还需要准备恰当的“智能操作”[3]平台（超级画板、希沃白板等），方能将隐性命题变式的“不变性”直观地揭示出来。这样，学生才能在“说”和二次变式思考中，将“个体经验”转化为“事实经验”。

片断4 “命题变式”思维编码过程如下（以例3为例）：

首先，根据题干信息，可知AB∶AC=AG∶AF=1∶，根据情境置于式编码，不难知道∠BAG=∠FAC。至此，易知△BAG与△CAF相似。根据相似三角形的性质，可求得答案。

其次，结合题干信息，根据探究MN与BE的数量关系、位置关系的需要，必须添加辅助思维。即连接BM并延长至点H，使得HM=BM，连接HE、HF。根据“SAS”可判断△BCM与△HFM全等。根据全等三角形的性质与四边形CBEF的内角和的共性部分，在作差思想的参与下，不难知道∠BAE=∠HFE。根据“母子图”的旋转不变性、三角形全等变换的性质，可知△BEH是等腰直角三角形。这样，结合三角形中位线的性质，就可获得正确答案。

最后，根据动线问题，需要添加辅助线（如图10）。即取线段AB的中点O，连接ON、OQ。这样，根据动线约束条件，不难知道线段QN扫过的面积是以点O为圆心、分别以OQ、ON为半径的同心圆的圆环部分。这样，结合问题（3）的已知条件，可知OQ-ON=3。继而可求出动线扫过的图形面积为9π。

设计意图：本题属于命题变式编码问题，可以作为“例题附加练习”来研究。这样有助于学生在“相似变换”中获得母子正方形的反常规视角，在“全等变换”附加编码中获得深度推理能力，在图形变化中获得将“复杂”转化为“简单”的能力。

综上，从心理学认知论看，问题（1）与问题（2）之间属于显性命题变式，问题（1）与问题（3）之间属于隐性命题变式。如果把“旋转变换”作为“说”的思维主线，那么“相似变换→全等变换→动线问题”则属于拟经验变式编码，能促进个体经验事实化。这样的命题变式编码过程带有追本溯源的特征，有助于学生获得变而不变的能力。这也是事实经验得以转化迁移的具体表现，是二次变式的必然结果。

三、“二次变式”的教学思考

变式是教师教学的“始基”，“二次变式”是学生学习的动力体系。二次变式的“本原性”表现为源于教材、高于教材和超越教材，二次变式的“再造性”表现为情境置于编码、语言等值编码、联结抽象编码。

1.情境置于编码——源于教材

“母子正方形”是源于教材的，两个城市、三个年份试题考查的视角“南辕北辙”，这就是情境置于编码的产物。在实际数学中，二次变式教学设计要基于教材，体现围绕教材考的目标;要进行恰当的情境编码，突出概念方法体系的特点。上述3个例题中的问题（1）就是二次变式编码的好例子。

2.语言等值编码——高于教材

一堂好课，必须满足源于教材、高于教材的二次变式认知条件。语言等值编码（提出、推理、表达）是学科教学的顶层设计（对数学学科而言，指用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界），指向提出问题、反常规能力的培养。例3中的3个问题就揭示了教学的本体价值，不留痕迹地将“相似变换、全等变换、动线轨迹”浑然天成。

3.联结抽象编码——超越教材

“会一题、通一类、连一片”是学科教学，特别是理科教学的理想状态，是联结抽象编码的目标对象，是超越教材的宗旨。利用智能平台，进行联结式抽象编码，让学生经历“不变而变的形论，变而不变的数论”的过程，势必能将“连一片”转化成“学习现实”，这就是二次变式的教学终极追求。

参考文献

[1] 徐汝成.马登理论及其对数学教学的启示[J].数学教育学报，2002（01）：48-50.

[2] 李静，王秀兰.本原性问题驱动下的数学变式教学[J].数学教育学报，2013，22（06）：94-97.

[3] 徐章韬.“Z+Z”智能教育平台：实施变异理论的一个抓手[J].数学教育学报，2012，21（04）：28-31.

*该文为江苏省教育科学“十三五”规划2020年度重点资助课题“初中数学实验教学支持系统的构建研究”（B-a/2020/02/42）的研究成果