浅谈两边夹原理的应用

汤爱尧

(甘肃省民乐县第一中学 734500 )

图1

下面我们就利用这一原理解一些高难度的题目.

1 代数角度的夹逼

例1 已知集合X={x|x=2n+1,n∈Z},Y={y|y=4k±1,k∈Z},试证明:X=Y.

分析证明集合相等目前比较淡化，它只出现在选择填空题中，所以大部分学生都用了特值法就能解决，但失去思辨能力训练的机会.由前面提及，只要证X⊆Y,且Y⊆X.

证明(1) 设x0∈X，则x0=2n0+1且n0∈Z.

①若n0是偶数，可设n0=2m,m∈Z,则x0=4m+1,所以x0∈Y.

②若n0是奇数，可设n0=2m-1,m∈Z,则x0=2(2m-1)+1=4m-1,所以x0∈Y.

所以不论n0是奇数还是偶数，都有x0∈Y.

所以X⊆Y.

(2)又设y0∈Y，则y0=4k0+1,或y0=4k0-1,k0∈Z.

因为y0=4k0+1=2·(2k0)+1,y0=4k0-1=2·(2k0-1)+1,k0∈Z,

又因为2k0∈Z,2k0-1∈Z,

所以y0∈X,则Y⊆X.

由(1)(2)，得X=Y.

例2 在数列{an}中，已知a1=1，且对任意的n∈N*，都有an+3-6≤an≤an+2-4恒成立，则a301=____.

解析从题设看没有告知是什么数列，所以从通项公式的角度是无法求解的，已知条件告知是“夹逼”形式的不等式组，而要求的是具体值，所以首先考虑的是m≤a301≤m.

依条件有a301=(a301-a299)+(a299-a297)+…+(a3-a1)+a1≥150×4+1=601.

同理：a301=(a301-a298)+(a298-a295)+…+(a4-a1)+a1≤100×6+1=601.

所以a301=601.

解析题目是用函数搭平台，实质是数列问题，所以通过“函数不等式组”夹逼出函数方程，进而转化为数列问题.

由已知得f(x)+2017≤f(x+2017)=f(x+1+2016)≤f(x+1)+2016.

则f(x+1)≥f(x)+1.

从而f(x)+2016≥f(x+2016)=f(x+2015+1)≥f(x+2015)+1=f(x+2014+1)+1≥f(x+2014)+2≥…≥f(x+1)+2015.

则f(x+1)≤f(x)+1.

所以f(x+1)=f(x)+1.

从而an+1-an=1.

故a2018=a1+(2018-1)×1=2019.

分析看到题设中有绝对值和不等号，联想到绝对值三角不等式|a|+|b|≥|a±b|,它和“两边夹原理”不谋而合，所以|f(x)+cos2x|+ |f(x)-sin2x|≥|f(x)+cos2x-f(x)+sin2x|=1.

2 从几何图象角度的夹逼

例5 (2012年浙江省高考数学理科第17题)设a∈R，若x>0时，均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，则a=____.

解析表面看很象解不等式的题目，实质不然，用数形结合思想考虑，在x轴的右侧，两图象分布的象限要一致.

图2

如果再研究下去，对已知不等式变形，可以得到不同的函数解析式，也就有不同图象.

原不等式可化为x2-1≤ax≤x+1或x+1≤ax≤x2-1对x>0恒成立.

图3

夹逼思想往往与数学中不等式结合，对函数图象的运用往往是解决的点睛之处，本题妙在“夹死”能求直线方程，至于相切于点P检验即可.

3 “无中生有”的夹逼

前面所讲的代数或几何夹逼题设中多少有点暗示，但是有些题目风平浪静，让人觉得无从下手，难度越发大.

例7求方程5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0的实数解.

解析从一个方程中求出两个未知量，除非出现形如(x+a)2+(y+b)2=0,因此从这个角度考虑要拆项配方：4x2+8xy+4y2+x2-2x+1+y2+2y+1=0,即(2x+2y)2+(x-1)2+(y+1)2=0.故原方程的实数解为x=1,y=-1.

这种方法用到的拆项很局限，如果系数复杂，不一定能成，考虑到如果将其中一个变量当作主元，那么二元二次方程就变成含参一元二次方程，想到Δ≥0，这就是一个更好的夹逼机会.下面用两边夹原理来解：

将原方程整理成关于x的方程，得

5x2+(8y-2)x+(5y2+2y+2)=0.

因为x是实数，所以Δ=(8y-2)2-4×5×(5y2+2y+2)≥0.即(y+1)2≤0.而(y+1)2≥0，所以y=-1.将y=-1代入原方程解得x=1.

故原方程的实数解为x=1,y=-1.

例8 解方程组

解析由例7启示，解决此题就轻车熟路了.将①变形为关于x的方程，得

x2-(y+3)x+y2+3=0.

因为x是实数，

所以Δx=[-(y+3)]2-4(y2+3)≥0.

即(y-1)2≤0,而(y-1)2≥0，所以y=1.

将y=1代入①解得x=2.

将x=2,y=1代入②解得z=2或3.