强化“几何”特征 重视“结合”意识——例谈解析几何中强化“几何”特征和综合解题意识培养

巨小鹏

(陕西省汉中市龙岗学校 723102)

解析几何问题首先要搞明白试题要解决的是什么样的几何问题，其次要弄清楚解决这个几何问题是否需要转化至代数问题解决，如果需要，是否需要建立坐标系，如果可以借助几何特征解题，那么借助哪些几何特征或几何工具，或者看是否需要数形结合，代数和几何相互借力，将复杂问题等价转化至较为简单的问题(有时候这个转化过程不是很直观，需要把几何问题转化为另一个等价的几何问题后再进行代数化)，利用已知的题设条件，分析这些条件之间的联系，研究并解决转化之后的问题，从而解决解析几何问题.

1 利用“几何”特征，培养直观想象能力

例1(2019年全国Ⅰ卷·10)如图1，已知椭圆C的焦点为F1(-1,0)，F2(1,0)，过点F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，则C的方程为( ).

图1

解法1(同角视角法) 由已知设|F2B|=m，则|AF2|=2m,|BF1|=|AB|=3m.

根据椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=4m.

则|AF1|=2a-|AF2|=2m.

在△AF1B中，由余弦定理得

解法2(邻补角法)由解法1可知

|BF1|=|AB|=3m，|AF1|=2m.

则在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理,得

又由图可知∠AF2F1+∠BF2F1=π.

则cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0.

代入椭圆方程得a2=3,b2=a2-c2=2.

故选B.

评注本题考查椭圆定义及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，特别是利用几何特征解题，形象直观，解法1把一个角放在不同的三角形中研究，利用余弦定理建立方程解决问题，解法2利用邻补角的余弦值互为相反数解决问题，解法3借助辅助线利用已知线段比建立相似比解决问题，很好地考查了直观想象能力和逻辑推理能力.

根据椭圆定义可知

即(3m)2+(2a-2m)2=(2a-m)2，

解得a=3m.

在△AF1F2中，直线AB的斜率为

因为a=3m，在Rt△AF1F2中，

评注利用平面几何解题更加直观，本题利用图形的“几何”特征，在几何图形中寻找等量关系，结合椭圆定义和解三角形计算，从而求出直线的斜率和椭圆的离心率，考查推理分析、运算和图形分析能力.

2 代数几何相结合，彼此借力内化思维品质

图2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求点E的坐标.

解析(1)可知F1(-1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.

因此2a=DF1+DF2=4.

从而a=2.解得b2=3.

因为AF2⊥x轴，将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16，得y=±4.

因为点A在x轴上方，所以A(1，4).

又因为E是线段BF2与椭圆的交点，

图3

从而∠BF1E=∠B.

因为F2A=F2B，所以∠A=∠B.

所以∠A=∠BF1E.

从而EF1∥F2A.

因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.

评注解法1明显比解法2计算复杂，利用平面几何知识，从“几何”特征入手研究题目中的几何关系是必要的，在这个过程中，要经历文字信息、图像特点和符号语言之间的多重转换.

(1)求C的方程；

(2)若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积.

(2)解法1 (通性通法)设P,Q在x轴上方，过点P作x轴垂线，垂足为点M，设直线x=6与x轴交点为N，根据题意画出图形，如图4.

图4

因为|BP|=|BQ|，BP⊥BQ， ∠PMB=∠QNB=90°，∠PBM+∠QBN=90°， ∠BQN+∠QBN=90°，所以∠PBM=∠BQN.

根据三角形全等可得△PMB≌△BNQ.

所以|PM|=|BN|=6-5=1.

设点P为(xP,yP)，可得点P纵坐标为yP=1.

解得xP=3或xP=-3.

所以点P为(3,1)或(-3,1).

①当点P为(3,1)时，|MB|=5-3=2.

因为△PMB≌△BNQ，

所以|MB|=|NQ|=2.

可得点Q为(6,2).

如图5,因为A(-5,0),Q(6,2)，可求得直线AQ的直线方程为2x-11y+10=0.

图5

可得P到直线AQ的距离为

②当点P为(-3,1)时，|MB|=5+3=8.

因为△PMB≌△BNQ，所以|MB|=|NQ|=8.

所以点Q为(6,8)

如图6，,因为A(-5,0),Q(6,8)，直线AQ的方程为8x-11y+40=0，可得点P到直线AQ的距离为

图6

解法2(分割面积法)由对称性，不妨设点P，Q在x轴上方，过点P作PE⊥x轴，垂足为点E.设D(6,0)，由题知，△PEB≌△BDQ.

所以PE=1.所以xp=±3.

图7

图8

(1+16k2)x2-160k2x+16×25k2-25=0.

因为BP⊥BQ，则直线BQ的方程为

因为|BP|=|BQ|，

即256k4-68k2+1=0.

即(64k2-1)(4k2-1)=0.

不妨设P(x0,y0)在x轴上方.

设直线AP:y=k(x+5)(k>0),

因为|BP|=|BQ|,BP⊥BQ，

所以y0=|BN|=1,yQ=|BM|=5-x0.

由点P在直线AP上得1=k(x0+5).

化简得16k2=10k-1.

即Q(6,16k).

所以点Q到直线AP的距离

解法5(面积坐标法) 由对称性，不妨设点P，Q在x轴上方，过点P作PC⊥x轴，垂足为点C，设D(6,0)，由题知△PCB≌△BDQ.

所以PC=1.

所以xp=±3.

当P(3,1),A(-5,0),Q(6,2),则

当P(-3,1),A(-5,0),Q(6,8),同理，

评注对于第(2)问解决视角很多，解法1根据平面几何知识，利用“几何”特征可求得点P的坐标，从而得到点Q的坐标以及直线AQ的方程，再根据距离公式即可求出三角形的面积，也是大多数人能想到的方法，是为通性通法；解法2同解法1，最后利用图形面积分割法求△APQ的面积，优化处理后计算有所简化；解法2利用代数法通过设直线BP的方程y=k(x-5)与椭圆的方程联立，求出点P的坐标，再利用等量关系求出k的值，从而得出点Q的坐标以及直线AQ的方程，最后根据距离公式即可求出三角形的面积，方法容易想到但计算量比较大；解法4与解法3类似，设直线AP的方程y=k(x+5)(k>0)，通过平面知识求出点P的坐标，表示出点Q，再根据距离公式即可求出三角形的面积，计算量也不小；解法5同解法1最后利用了三角形面积坐标法，需要很强的逻辑推理能力利用向量法推出公式，当然北师大版必修五第二章第一节正弦定理例3介绍过公式的推导过程，所以注重课本例题和习题显得尤为重要.

解析几何问题中几何是思考的起点和终点，也是问题的缘起和归宿，代数化和“几何”特征是解决几何问题的工具.加深几何特征和曲线与方程有关概念的理解，以提升“猜想证明、化归转化、直观想象、数学运算、严谨逻辑推理和探索实践应用”等关键能力为目标，内化数学核心素养.