Mathematical Reflections 的S357 号问题的加强

福建师范大学数学与统计学院 杨标桂（邮编：330117）

关键字 外接圆半径; 内切圆半径; 高线

1 问题提出

蒂图·安德雷斯库[1]的Mathematical Reflections (2014-2015)中提供了如下几何不等式:

Mathematical Reflections S357问题在任意△ABC的中,BC=a,CA=b,AB=c,ha,hb,hc分别为对应边上的高,r为△ABC的内切圆半径, 则有:

定理1 在任意△ABC的中,BC=a,CA=b,AB=c,ha,hb,hc分别为对应边上的高,r为△ABC的内切圆半径, 则有

于是②可以推出①.

更一般地, 我们有:

定理2 在任意△ABC的中,BC=a,CA=b,AB=c,ha,hb,hc分别为对应边上的高,R,r分别为△ABC的外接圆半径与内切圆半径, 则有

由定理2 的③式和Euler 不等式可知定理1成立.

2 几个引理

为了证明定理2, 我们先建立一个关于高与内切半圆径的恒等式, 即不等式②的最佳形式:

引理1 在任意△ABC的中,BC=a,CA=b,AB=c,ha,hb,hc分别为对应边上的高,R,r,s分别为△ABC的外接圆半径、内切圆半径和半周长, 则有

利用熟知的恒等式∑a=2s;∑bc=s2+r2+4Rr;∏a=abc=4Rrs(其中∏ 表示循环积), 经计算可得

于是引理1 获证.

其次, 我们引入著名的Gerretsen 不等式:

引理2 (Gerretsen 不等式) 设R,r,s分别是△ABC的外接圆半径, 内切圆半径与半周长, 则有

16Rr-5r2≤s2≤4R2+4Rr+3r2⑥

3 定理2 的证明

下面利用恒等式⑤与Gerretsen 不等式⑥证明定理2:

定理2 得证.