素养导向下的几何主题式解题教学研究——“两道含45°角的例题”教学实录与反思

四川省成都市锦江区师一学校 董永春（邮编：610103）

四川省成都市七中育才学道分校 杨芙蓉（邮编：610103）

教师以往的数学课堂更多的是割裂的知识点的讲解，学生学习的是一些脱离情境的碎片化的事实、概念和割裂的技能. 教师应该让学生经历数学探究过程，通过发现规律获得一般化结论来发展学生高阶思维；学生通过提出问题、评价、质疑、反思和回顾，让学习真实的发生，而不是告诉学生结果来获得知识.

1 问题的提出

近年来，各地中考相似三角形、图形面积及动点等考点交汇的考题频繁出现，需要学生有较高的分析和解决问题的能力. 数学教育家裴光亚说过：“数学复习的方法，就是要把局部知识按照某种观点和方法组织成整体，将所学知识系统化，这样才便于储存、提取和应用.”教师应帮助学生建构知识的整体性和结构性，重在培养学生解决实际问题的能力.

2 有关问题的解决

例1 已知：如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于F，若∠FGE＝45°. 求证：AG⊥BE；

问题1D为BC的中点能得到什么？

问题2 ∠FGE＝45°能得到什么？

问题3 证明AG⊥BE有哪些途径？

所以△ABG∽△EBA，∠BGA＝∠BAE＝90°，所以AG⊥BE；

生2：过D作DK⊥DG,在△ADG和△BKD中，

生3：因为∠BAD＝∠BGD=45°，所以A、B、D、G 四点共圆，∠BDA＝∠BGA=90°，所以AG⊥BE.

设计意图给学生自主实践和展示的机会，引导学生在“做中学”“议中学”“言语活动中学”，学生自己给自己做饭吃. 以关键性问题即任务驱动来唤醒学生的主体性，教师要清晰每个单元的核心概念是什么，学生需要什么，意义和价值是什么，背后的思考是什么，需要什么类型的学习实践. 一些教师只讲题目怎么做，不讲题目为什么这样做，学生听后佩服得五体投地，只觉得老师神奇无比，却很难以独立解决问题；一些老师就题论题，只见树木不见森林，站位不高很难培养学生的迁移能力. 深度学习提倡以单元主题的教学内容来实施，让学生真实的经历知识的发生和发展过程，习得能力.

方法总结本题是三角形中含45°的一类构造，学生从题干不同的切入点着手，学生1 是通过寻找相似三角形，进行相似比的转换，用相似三角形对应角相等来证明. 学生2 借助45°构造全等三角形通过推导角来解决. 学生3 借助对角互补得到四点共圆. 牢牢抓住问题的本质，充分思考，多边联系关联已知，从复杂图形中构造和提取基本图形是问题解决的关键.

例2 如图，将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点，EF、EG分别交CD、CB于点F、G，且EC平分∠FEG.若AB＝6，BC＝10，求EG、EF的长.

问题1EC平分∠FEG能得到什么？

问题2AB＝6，BC＝10 能得到什么？

问题3EG、EF的长怎么思考？有没有相关的相似三角形？直角三角形呢？

生1：作GM⊥EC于M，FN⊥EC作GM⊥EC于M，FN⊥EC于N，

因为EC平分∠FEG，所以∠GEC＝45°，设ME＝MG＝x，

生2：作EM⊥BC于M，CH⊥EH于EG延长线于H，

所以∠GEC＝45°，△CEH为等腰直角三角形，

设计意图教师要暴露解题的思维过程，讲清为什么这样做，怎么“破题”，引导学生有条理地思考，教会学生总结解题规律，提炼解题方法，触类旁通，归纳常见解题模型，记住常见解题模式. 深度学习不排斥浅层学习，对一些共识性、公式性等熟记的知识类问题，记忆也是必要的，深度学习是教师通过精心设计的问题情景来激发学生主动学习的兴趣，学生解决的是真实问题，学生在学习过程中，把握数学的本质，掌握数学学习的方法，获得数学核心知识，提高数学思维品质，发展数学核心素养. 教师要给学生学以致用的机会，要根据不同学习内容的特点恰当设置学习目标，提供多样化的学习方式供学生选择.由学生获得技能技巧、解题的套路，帮助学生内化为转向获得方法、构建思路、理解本质. 深度学习还重视对学生的内驱力的引导，完善自身知识框架，迁移运用. 培养学生问题解决过程中互动、合作、反思、改进等能力，帮助学生成为最好的学习者.

方法总结本题中也含45°，学生1 是借助45°构造两个相似三角形，进行相似比的转换，方程思想，借助勾股定理来解决. 学生2、学生3 借助45°构造正方形，形成一个子母型直角相似来解决. 学生4 借助解三角形来完成. 学生5 通过旋转构造等腰直角三角形来完成. 一题多解开拓了学生解题思路，提高了学生解决问题的应变能力，尊重学生的认知水平和学习能力的差异，从学生已有水平和已有的知识与能力出发，立足学生的基本学情，构建专题学习模式，促进学生思维的必然生长.

3 教学反思

（1）教师要精选好题，让问题情景化呈现

教师选题要能凸显数学学科本质和数学问题深度的整合教学理念，要聚焦单元核心知识，推进“少而精”的通透性教学，利用联系的观点，“一滴水中见太阳”，努力实现每一个学习对象理解的最大化. 倡导以问题为导向的教学，鼓励批判性、反思性等高阶思维的培养，让解题上升到解决问题，这样的教学能产生最大的长期利益就是好的数学教学. 教师要从学生实际出发，分层有难易梯度的讲解，不讲也会的免讲，一讲就会的少讲，讲了也不会的坚决不讲. 教师要有选择有针对性地引导而不是一讲到底，要照顾不同层次的学生的发展. 教师要选好题，要对教学过程进行整体设计让问题以恰当的情景化（现实情境、任务情境、真实情境）呈现给学生，教师应该突出解题的关键点、易错点和规范性的讲解，要分类讲评，讲就要讲透，教会学生方法，试卷讲评后，注意要求学生进行补救和订正并跟进评价.

（2）教师要优化教学方式，实现学科育人

从“课时学习”到“单元学习”是新时期学习方式变革的具体体现，体现了从关注“教”向关注“学”理念的转变，是关注学生的学习过程，以学习结果为导向的教学设计及实施的重要部分. 教师要从从整体上解读数学教材，站在数学大单元的高度分析教材的内容，从数学发展的逻辑性，思想方法和知识结构方面进行挖掘，深度反思、内化思想. 教师要在领会学科教育的发展观，充分挖掘每一门学科课程独特的育人价值，充分阐释其对于学生核心素养培育的独特意义，基于学科本质将课程目标进一步凝炼为学科核心素养，即学生修习学科课程后应达成的正确价值观念、必备品格和关键能力”. 教师要不断优化教学方式，力争构建知识生成的课堂、构建有深度思考的课堂、构建能提高生命质量的课堂.

好的数学教育教师应关注学生、了解学生，注重课堂人文因素，激发学生学习数学的兴趣.是以逻辑连贯、具有思维挑战性的问题串引导学生开展系列化的数学学习活动，着力培养认知能力，促进思想发展，激发创新意识.

4 结束语

教师的教学工作要从“学科教学”转向“课程育人”，要从“知识”主题转向“素养”主题，教师要真正关注学生的需要，教师教学的终极目标是学生迁移能力的培养，实现有深度思考并能提出新问题以及能迎难而上解决问题的优秀学习者和接班人.