深入挖掘考题立意 助推核心素养落地——由一道2022 年高考导数压轴小题引发的思考

陕西省西安市临潼区临潼中学 杜小芹 杜 斌（邮编：710600）

纵观近几年全国高考试题导数问题依旧以压轴题出现，形式呈现多样化.其基本特点为以基本初等函数为载体，考查学生“四基”“四能”及六大核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析）.导数一直以来都是众多师生关注的热点问题，但却“让人欢喜让人忧”，因而对导数问题的整体把握就显得至关重要.

1 真题呈现

（2022 年全国高考乙卷理数第16 题）已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2（a＞0 且a≠1）的极小值点和极大值点，若x1＜x2，则a的取值范围是.

2 解法探析

解法1 （直接研究函数性质）原问题可转化为：函数f'(x)=2axlna-2ex有两个零点x1,x2，且x1＜x2，记g(x)=2axlna-2ex.

当a＞1时,x→-∞,g(x)→+∞;x→+∞,g(x)→+∞.不合题意，舍去.

事实上，当0＜a＜1时，x→-∞,g(x)→-∞;x→+∞,g(x)→-∞，符合题意，所以0＜a＜1.

点评直接研究函数g(x)的性质，说明函数g(x)的最大值g(x0)＞0 即可.此解法思路清晰，但计算过程较为繁琐.

解法2 （临界相切）原问题可转化为：函数f'(x)=2axlna-2ex有两个零点x1,x2，且x1＜x2.即方程2axlna=2ex有两个实根x1,x2，且x1＜x2.

（1）当a＞1时（图1），x0=1时，a=e,当a变小时，函数y=axlna与函数y=ex图象有两个交点.

图1

事实上，函数f'(x)=2axlna-2ex图象如图2 所示,函数f（x）单调性自左到右依次为递增，递减，递增，且x1（极大值点）＜x2（极小值点），不符合题意.

图2

图3

点评通过转化思想，将原问题转化为函数f'(x)=2axlna-2ex有两个零点x1,x2，且x1＜x2.借助曲线与直线临界相切，求出切点处x0的值，再移动曲线，结合题意可得a的范围.

图4

考虑到a＞1 时，函数f（x）单调性自左到右依次为递增，递减，递增，且x1（极大值点）＜x2（极小值点），不合题意，舍去.故0＜a＜1.

由于0＜a＜1，lna＜0，有x0＜0.

因为h(x)在(-∞,x0)内单调递增，在(x0,0)内单调递减，则

以上三种解法蕴含了重要的转化思想.解法1 考查学生严密逻辑推理、数学运算素养.解法2，受文献[3]中解法5 启发，基于信息技术手段的再研究，达到追根溯源，着重培养学生直观想象素养，此解法为选择题、填空题首选策略.解法3，巧妙分离函数，注意到整体代换，此解法为解答题优先选取方法.

3 变式拓展

变式1 已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2（a＞0 且a≠1）的极小值点和极大值点，若x2＜x1，则a的取值范围是_____.（答案：(1,e)）

点评变式问题基于类“三次函数”性质背景，考查学生转化思想运用.变式1 强化学生对考题的等价转化思想，函数f'(x)图象为类似开口向下的抛物线型，变式2、变式3 考查学生全面系统分析问题的能力.

4 教学启示

4.1 重视基础知识，数学思想方法

导数是研究函数的有力工具，更是高考的热点之一. 特别是对函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想及构造思想五大思想有着较高的要求.解决导数问题，常以参变分离、函数分离、换元法、构造法、放缩法的综合应用为主.备考中，教师应引导学生深入挖掘不同题目解法的共性，重视本源性方法，淡化特殊技巧，强调通性通法的深入理解和综合运用.如：2021 年全国甲卷理科21 题，2018 年全国Ⅱ卷理科21 题，解答思路同考题解法2、解法3.因此,高考试题中涉及指数函数、对数函数与幂函数等综合题目中体现的数学思想方法值得师生细细体味.

4.2 注重一题多解及变式训练

一题多解能提高学生解题能力和培养学生发散性思维.一题多解可拓宽学生解题思路，通过多角度审视同一问题，它对锻炼学生思维的灵活性有着重要的作用.在开展一题多解的同时进行变式训练，通过多视角、多维度探究问题，从“变”中提炼出“不变”，强化学生的思维能力和应变能力的提升.教学中，应考虑到不同层级学生思维的差异性，适当采用一题多解，可激发学生探究新知的兴趣，发展学生的创新性思维，对培养创新人才有着重要意义.

4.3 借助信息技术手段彰显数学本质

通过Geogebra 软件演示，参数a逐渐变大时，函数的单调性自左到右依次为（1）递减；（2）递减，递增，递减；（3）递增，递减，递增；（4）递增.发现：该函数单调性与三次函数的单调性具有惊人的一致性！解答此题，若熟知三次函数的单调性，可为此问题的解决提供重要提示.事实上，近几年高考对三次函数的考查也屡见不鲜.如：2022 年全国新高考Ⅰ卷第10 题，2022 年全国甲卷文科第20 题，2021 年全国乙卷理科第10 题，2021 年全国乙卷文科第12 题、第21 题，2020 年全国Ⅲ卷理科第21 题，2020 年全国Ⅲ卷文科第20题均有考查.由此可见，对具有三次（高次）函数背景的试题应引起师生的足够重视.

教学中可运用GeoGebra 软件让学生直观感知数学结论，进而再进行严密逻辑推理.一方面可调动学生探究数学问题的积极性，另一方面强化学生直观想象素养的有效落实.但在教学中，教师务必要处理好直观想象和数学运算的度.在得出数学结论后，一定要组织学生动手实践，通过精准的数学推理来体味数学本质.

5 结束语

高考试题是教师教学研究、学生备考的经典素材.教师在教学中要加强对高考试题的深入研究，从“变”中提炼“不变”，不断优化教学方式，强化数学思想方法的渗透，不断促进学生实践能力和创新意识的发展，力求将数学核心素养落到实处.