渗透数学文化 落实核心素养——以“黄金分割”教学为例

江苏省昆山市第二中学 叶 佳（邮编：215300）

《义务教育数学课程标准（2022 版）》（以下简称《课标(2022 版)》）提出：在数学课程内容的选择时，要关注数学学科发展前沿与数学文化，继承和弘扬中华民族优秀传统文化. 同时指出，数学课程应使学生通过数学的学习，形成和发展面向未来社会和个人发展所需要的核心素养[1]. 数学课堂不仅传授知识，更要以知识为载体传播数学文化. 因此，通过创设充满数学味、文化味的课堂，让学生经历体验和感受，理解数学知识，弘扬中华民族优秀文化和传统精神. 笔者以苏科版教材九年级第六章第二节“黄金分割”教学设计为例，在教学中渗透数学文化，发展数学核心素养.

1 教材分析

本节课主要内容是介绍黄金分割的概念、黄金比及其算法和黄金分割在生活中应用案例，属于“图形与几何”领域，是“成比例线段”和“比例中项”的直接运用. 从一维线段之间的关系上升到二维相似三角形对应边成比例关系，提供思维基础，起着承上启下的重要作用. 其实际运用涉及一元二次方程、实数（近似值）等知识，更是数形结合典型案例，能较好地发展学生的思维能力.

2 学情分析

九年级学生对于运算能力已训练有素，推理能力逐渐走向成熟，思维方面数形结合思想能适当运用，已具备一定的逻辑运算能力和演绎推理解决问题意识. 学生将成比例线段、一元二次方程、勾股定理等基本知识融合运用意识还有待加强. 课堂中尺规作图构造黄金分割需要教师适时引导，实现突破难点，获得用概念核心价值解决问题的经验.

3 目标分析

本节课需要学生通过了解黄金分割历史的来源，掌握黄金分割的概念、黄金分割比以及作出一条线段的黄金分割点，能够利用黄金分割解决实际问题；此外，经历探索黄金分割比以及作黄金分割点的过程，体会数形结合思想以及古代数学家们的辉煌成就，会用数学的思维思考世界；最后，通过艺术、建筑上的实例感受黄金分割在实际生活中的应用，学生能够体会其文化价值和美感，会用数学的眼光看待世界.

在本节课的教学中，重点是黄金分割以及黄金分割比的定义、借助尺规作图作出线段的黄金分割点. 难点则是引导学生会利用黄金分割比解决实际问题.

4 教学过程

4.1 借助史料，创设情境

情境1949 年4 月，中国人民解放军一举占领了国民党反动政府的巢穴——南京，挂在伪总统府上的“青天白日满地红”旗落在了地下. 同时，一个象征新中国主权和尊严的标志——国旗，已在党和革命人民的心底开始描绘.7 月14 日至8月15 日，征求国旗图案的消息迅速传开.8 月20日，国旗国徽评选委员会共收到了2992 幅国旗图案[2].9 月27 日，全国政协第一届全体会议上通过的《关于中华人民共和国国都、纪年、国歌、国旗的决议》中规定：“全体一致通过：中华人民共和国的国旗为红地五星旗，象征中国革命人民大团结.”10 月1 日，第一面中华人民共和国国旗由毛泽东在天安门广场首次升起.

师生活动（1）教师简单介绍我国国旗的背景，展示部分国旗初稿，学生欣赏并发现绝大多数初稿上都含有五角星元素. 教师提出问题：从数学的角度思考，为什么这些国旗图案中都含有五角星元素？学生的回答有“五角星是一个轴对称图形”“五角星看上去很和谐，但我暂时讲不出为什么”等.

（2）教师给每组学生下发大小不同五角星剪纸（图1），并提出问题：中点的存在会让图形看起来有种对称美，五角星是因为中点的存在而有种和谐美吗？为什么？

图 1

图 2

4.2 推理论证，获得新知

（3）通过（2）的讲解，学生掌握了黄金分割与黄金比. 再回到情境，教师再次提问：为什么五角星看起来有种和谐的美？学生通过小组讨论，发现五角星中间部分五个交点均所在线段的黄金分割点. 教师继续追问：由此可知，一条线段有几个黄金分割点？

问题2 已知线段AB，你能借助尺规，作出线段AB的黄金分割点吗？

师生活动（1）教师引导学生认识到，用尺规作出黄金分割点的关键在于作出. 结合勾股定理和实数的知识，学生容易想到利用勾股定理，构造直角边为1 和2 的直角三角形.学生小组讨论，尝试作图. 邀请成功作出黄金分割点的小组派代表上台展示并说明理由.

（2）学生主要有以下三种作法：

方法一（图3）已知线段AB，①作线段BC⊥AB且BC=AB，连接BC.②以C为圆心，BC长为半径作弧，交AC于D. ③以A为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点P，点P即为线段AB的黄金分割点.

图3

方法二（图4） 已知线段AB，①作AC⊥AB且AC=AB，连接BC. ②令CB=CD,在AB上取点E，使得AE=AD.③点E即为线段AB的黄金分割点

图 4

方法三（图5）已知线段AB，①作等边△ABC和正方形CDEB.②取CD中点F，连接BF. ③以F为圆心，FC为半径作弧，交BF于G.③以B为圆心，BG长为半径作弧，交AB于H.H即为线段AB的黄金分割点.

图 5

（2）师生共同探讨以上三种作法的合理性.

（3）教师介绍方法一即古希腊数学家海伦作黄金分割点的作法，方法二即清代数学家梅文鼎[3]作法. 这三种方法本质上是殊途同归的.

设计意图由实际情境引入黄金分割的概念，通过学生自行计算黄金比，从数学上认识黄金分割和黄金比. 这一过程实际上是学生感受用数学的思维思考世界的过程. 同时，有了数学概念后，学生能够解释五角星和谐美的原因，初步体会黄金分割随处可见，为接下来黄金分割的应用做好准备.

问题2 的提出和解决一是结合了勾股定理和尺规作图，将前后知识联系起来，不断强化“用旧知解新题”的转化思想. 二是通过小组合作，学生在教师和同伴的引导下，基本上能够用尺规作出已知线段的黄金分割点. 并且教师提出学生的作法与几位数学家的作法是类似的. 这一过程中，教师在课堂中渗透了数学文化，同时学生充满解决问题的信心，学习数学的热情高涨.

4.3 知识运用

应用1黄金分割与生活实际

黄金分割在各个领域都有着广泛的应用，比如上海东方明珠电视塔（图6）设计巧妙，整个塔体挺拔秀丽. 上海东方明珠电视塔高468m，上球体到塔底的距离约为289.2m. 通过以上数据，你能说说为什么东方明珠看起来非常匀称漂亮吗？

图 6

图 7

美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618 时，越给人一种美感. 遗憾的是，哪怕是身体条件优越芭蕾舞演员都无法完全达到该比例，因此在演出时，往往还需踮起脚尖（图7）.某女士身高越为165cm，下半身长xcm 与身高lcm的比值是0.60，为了尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为______cm（精确到1cm）.

师生活动师生共同欣赏东方明珠塔和芭蕾舞演员表演时的图片，感受黄金分割与生活实际的联系. 由学生讨论后，代表口述思路和答案.

应用2黄金分割与几何图形

在现实生活中，矩形随处可见，比如信封、书本、显示屏. 在上节课课后，同学们就“你最喜欢哪个矩形（图8）”进行了统计，统计结果为选②的同学最多.

图 8

师生活动（1）教师提出问题：你能应用本节课的知识说说为什么选②的同学更多吗？学生通过度量，发现②中的矩形宽与长的比接近黄金比，从而看起来更和谐！

（2）教师给出黄金矩形的概念：如图②，宽与长之比为黄金比的矩形称为黄金矩形. 比如各国的国旗、雅典的帕特农神庙等.

（3）教师提出问题：将一根长为10cm 的铁丝围成一个黄金矩形（黄金比取0.618），则该矩形的面积为__________.

（4）学生根据黄金矩形的概念解决（3）中的问题.

设计意图本环节分别选取了黄金分割在生活和几何中的几个典型应用. 应用1 选取东方明珠电视塔和人体比例的实例，学生通过阅读材料，能够解释东方明珠电视塔看起来和谐的原因，体会黄金分割在建筑领域的广泛应用. 应用2 则是运用了上一课时习题中的调查结果，让学生自主探索②更受欢迎的原因. 这一过程是黄金分割在几何中的应用，从而给出黄金矩形的概念以及通过练习巩固概念

4.4 归纳总结，布置作业

师生活动（1）你学到了哪些数学知识？运用到了哪些数学思想方法？感悟到了哪些数学文化？

（2）作业：大家课后查阅关于黄金分割在数学史上的发展历程结合数学文化与所学知识，编一道与黄金分割有关的问题.

设计意图本环节是课堂教学的“知识归纳”环节. 通过思维导图，可以帮助学生归纳知识体系，提炼思想方法，感悟数学文化. 在归纳时，教师不能忽视引导学生对数学文化的感悟，如黄金分割可以认为是数学家们对于“美”的追求的产物，引导学生在日常生活中善于用数学的眼光观察世界；梅文鼎作黄金分割点的方法与一些同学的做法大同小异，增加了学生研究数学的信心，也感受到了中国古代对几何的研究等.

5 教学反思

《课标(2022 年版)》指出：数学教育需要落实立德树人的根本任务，发展学生的核心素养. 核心素养是学生在本人参与的数学活动中，逐步形成发展的，是四基和四能的继承与发展[4]. 渗透数学文化的课堂很好地践行了这一理念.

5.1 渗透数学文化，用数学的眼光观察世界

数学为人们提供了一种认识和探究现实世界的观察方式. 通过对现实世界中基本数量关系和空间形式的观察，学生能够直观理解所学的数学知识及其现实背景，能够在实际情境中发现和提出有意义的数学问题，进而进行数学探究. 本节课中，将学生熟悉的五星红旗作为情境引入，引导学生感悟将生活问题数学化的过程，培养了学生用数学的眼光观察世界的能力. 除此之外，通过本情境，在理性的数学课堂中同时渗透了爱国主义教育. 在数学知识教学的同时，渗透了一定的中华传统文化，如梅文鼎作黄金分割点的作法等，让学生体会数学文化的传承.

5.2 渗透数学文化，用数学的思维思考世界

5.3 渗透数学文化，用数学的语言表达世界

通过经历用数学语言表达现实生活中简单的数量关系和空间形式的过程，学生初步感悟数学与现实世界交流的方式，欣赏数学语言的简洁与优美，养成用数学语言表达与交流的习惯，形成跨学科的应用意识与实践能力. 在教学中，教师不断引导学生将一些实际问题转化为数学语言. 如应用1 中的例题就是将一个实际问题用线段表示，建立数学模型，感受用简洁的数学语言表达现实世界. 黄金分割在文学、艺术等领域的应用更是学科融合，感悟数学模型表达魅力.