实施“尊重学生认知逻辑”的数学教学——以“勾股定理（第一课时）教学为例

安徽省合肥市五十中学西校 胡志杰（邮编：230031）

1 背景介绍

1.1 缘起

笔者从事初中数学教学多年，总体感觉对初中学生而言，数学知识过于理性有点“冷”，不易理解，很多学生存在畏惧心理，对知识理解的表面化、碎片化，极其容易在整体与局部、本质与现象之间迷失方向. 笔者尝试实施“尊重学生认知逻辑”的数学教学，将教学引向理解，追求基于理解的教学，致力于提供给学生有助于理解概念的某种框架，促使其获得可迁移的概念理解力、解决复杂问题的思考力和创造新观点的生长力，从而使学生切实体验到数学的温度.

1.2 根据

1.2.1 布鲁纳（J.S.Bruner） 认知心理学

美国著名的心理学家和教育家，是20 世纪50年代认知革命的倡导者. 他的学习理论倡导：任何学科以一定的知识的适当形式，能有效地教给处于任何发展时期的任何儿童. 知识是由概念、命题、基本原理及彼此之间的相互联系组成的. 促使认知发展的学习应该以学习“学科知识的结构”为主要任务，帮助学生在知识的整体与局部、本质与现象的联系之中掌握知识. 任何一门学科都有一个基本结构，即具有内在的规律性. 不论教什么学科，都必须理解该学科的基本结构.

1.2.2 皮亚杰（J.Piaget） 建构主义

知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情景即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习材料，通过意义建构的方式获得. 学习环境中的四大要素是情境、协作、会话和意义建构. 教学过程就是教师、学生、课程和媒体交互作用的动态过程，并存在两个主体（教师与学生）及其共同活动. 学生是信息加工的主体、是意义的主动建构者，在学习过程中发挥主体作用.

2 教学设计

下面笔者以“勾股定理（第一课时）”教学设计的三次修改为例来具体谈谈自己一些不成熟的想法与做法.

2.1 相关分析

勾股定理（第一课时）选自上海科学技术出版社义务教育教科书八年级下册.

直角三角形是一种特殊的三角形，勾股定理反映的是直角三角形三边的关系，它是平面几何中的一个重要定理

在本节之前，学生已学习了直角三角形的概念，初步掌握了直角三角形的定义与部分性质、及三角形的三边关系.

本节学习的主要内容是勾股定理的发现与证明，运用勾股定理解决简单的实际问题. 教学目标具体如下：

（1）让学生经历对教师提供的背景材料的观察、分析、一般化等思维活动，体验勾股定理的探索过程.

（2）理解证明的必要性，体验勾股定理的证明方法与证明过程，培养学生良好的思维习惯.

（3）会运用勾股定理解决简单的实际问题.

（4）结合“勾股定理”的历史介绍，培养学生爱国主义的思想情感.

本节的教学重点是：体验勾股定理的探索过程；勾股定理及其应用. 教学难点是勾股定理的面积证法.

2.2 教学的三次设计

为了完成本节教学任务，突出重点突破难点.笔者设计了五个环节：（1）设置情境，导入新课；（2）合作探究，获得猜想；（3）寻找方法，证明猜想；（4）运用定理解决问题；（5）归纳总结，反思提升.

2.2.1 第一次设计

第一次设计基本按课本内容安排

（1）探究：如图2、图3，观察获得S1、S2、S3的值，并寻找它们之间的关系；

（2）猜想：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；

（3）证明：用4 个全等的直角三角形拼成如图7 的正方形，通过面积计算来证明.

（4）应用：选择课本中例1.

2.2.2 第二次设计

结合第一次设计，基于知识的结构，考虑学生的认知基础及逻辑，在开头增加情境导入环节，问题链设计如下：

问题（1）在△ABC中，三边为a、b、c的数量关系？

问题（2）如果△ABC是直角三角形呢？

问题（3）在直角三角形这个特殊的三角形中，其三边有无较|a-b|＜c＜a+b更为特殊的关系呢?

问题（4）在一次的状态下受阻，可以做什么样顺其自然的考虑呢？（引导学生做平方的尝试）

问题（5）观察a2+b2-2ab＜c2＜a2+b2+2ab,猜想a、b、c之间的等量关系.

2.2.3 第三次设计

针对第一次设计中的证明环节，在授课时感觉主线不明确，特别是证明思路的获得很突然，有“强推”给学生的感觉，通过大数据AI 课堂观察数据收集及课后学生反馈分析，证明过程的理解没有难度，但难在为什么是这个面积计算的理由解释？为了解决这个问题，使教学过程更加流畅，笔者设计了从图1⇒图2⇒图3⇒图4⇒图5⇒图6 的图形变化链，围绕以斜边C为边的正方形面积S3的获得，从特殊到一般讨论探究，直至获得面积计算的等量关系.

3 教学反思

3.1 打通新旧知识逻辑生长的路径

古话说得好，温故而知新. 教学中一定要关注学情生情，引领学生从最近发展区出发探究新知，就如同万丈高楼平地起一层一层向上生长. 本节课的主题是探究直角三角形的三边关系，因此我设计如下两个问题：（1）在△ABC中，三边为a、b、c的数量关系？（2）直角三角形呢？第一问最好的答案是|a-b|＜c＜a+b. 我不失时机地提示：相较第一问，第二问里注入直角元素形成直角三角形，这种特殊性是否会给我们带来更特殊的三边关系，当学生思维受阻时，我又适时提示，在一次方的情形下不行，可以考虑二次方情形，于是就有如下的师生对话，师：对于a2+b2-2ab＜c2＜a2+b2+2ab，如果需要一个等式表示a、b、c之间的关系，你觉得最有可能的是什么？生：a2+b2=c2(通过思考讨论，大部分学生都能给出),师:说说你这样猜的理由,生:因为这个不等式成对称性，c2最完美的状态应该是在中点处，c2最有可能等于两端值的平均数. 这是一个非常大胆且美妙的猜想，这是基于已学知识的基础上，通过有逻辑的方法引领而来. 全过程凭借经验和直觉的归纳类比，很好地培养学生的合情推理意识与能力.

3.2 打造验证猜想的逻辑探究阶梯

3.2.1 借助几何直观，追求简明形象

面对直角三角形，如何去描述a2、b2、c2的大小呢？我启发学生从图形的角度去思考寻找，最终找到用以△ABC为边的正方形面积来表示：S1=a2，S2=b2，S3=c2(如图1 所示)，从而明确寻找面积的目标任务.

图1

图2

3.2.2 由特殊到一般经历思考探究

（1）对于学生来讲首先想到的是直接获得面积，于是我选择了直角边为3 个单位长度的等腰直角三角形的格点图形，如图3 所示，学生很容易就数出了S1、S2、S3并获得S3=S1+S2即a2+b2=c2.

图3

图4

（2）如图3 展示直角边为3 个单位长度和4 个单位长度的直角三角形的格点图形，学生直接数出S1与S2，但S3就很难直接数出了，此时我设计小组合作探究S3大小的环节. 学生在已有知识经验的基础上，很快就提出用割补这两种方法，获得S3的思路（如图4、5）继续验证得到S1+S2=S3即a2+b2=c2，同时获得等量关系S大正方形=S小正方形+4SRt△ABC.

图5

图6

（3）把图3 中的背景格隐去，提出问题：此时如何获得S3，此时的重点是引导学生思考并明晰：没有了格子后虽然无法直接获得边长和面积，但是依然保留S大正方形=S小正方形+4SRt△ABC这样的等量关系，这一点至关重要，这将引发从特殊到一般的跨越，如图6 所示可获得

（4）引出勾股定理的一般性证明，用4 个全等直角三角形围成如图7 的EFGH和A1B1C1D1一大一小两个正方形，这样就可以很轻松地完成勾股定理的证明. 关于图5 的割法证明可以交由学生课后自主完成. 回顾整个探究过程，我首先从特殊情形入手，验证并发现不变的等量关系，并以此搭建了由特殊到一般的逻辑阶梯，从而使一般情形下的论证水到渠成，一蹴而就.

图7

3.3 引领从一般到具体应用的逻辑回归

勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系，把直角三角形中的形的特征（三角形中一个角是直角）化为三边的数量关系，（三边之间满足a2+b2=c2），建立了数形结合关系，在应用中就是知两边可求第三边. 这奠定了直角三角形在初中几何中的重要地位，在教学中笔者特别注意引导学生有意识地去发现直角三角形，并利用它来解决实际问题，从而完成从一般结论到具体应用的逻辑回归. 这里我使用书上的例1，具体如下：现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图8. 已知云梯最多只能伸长到10m，消防车高3m. 救人时云梯伸至最长，在完成从9m 高处救人后，还要从12m 高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米？（精确到0.1m）

图8

在本题中，笔者试图引导学生发现图中所示的Rt△ABO与Rt△ODC,在两个直角三角形中利用云梯的长度这个不变量提供的等量关系列出方程解决问题，整个过程中勾股定理的运用是关键.

3.4 信息化手段助力课堂提质增效

纵观整个磨课过程，全程运用大数据平台对课堂教学进行实时监测，在线提供相关数据，通过课堂活动时序分析、S-T 教学分析、CTOP 教学分析、教师巡视轨迹分析、教师巡视驻留时段分析、教学环节时段累计分析、教学环节次数累计分析、学生参与互动分析、学情时段累计分析，这九个维度的数据分析，及时提供改进策略指导每一次修改，不断突显学生主体地位提高教师的主导效率，最终实现了讲授型课堂向对话型课堂的转型.

以上是笔者对“勾股定理（第一课时）”教学的一些不成熟的思考. 总而言之，在教学的组织实施过程中，要认真理清数学教材知识间的逻辑结构主线，明确找到学生数学认知基础的起点，充分尊重学生数学思维逻辑，构建符合学生认知特点和逻辑顺序的课堂教学结构，帮助学生实现对教学内容的理解，巩固和内化，达到认知逻辑与学科知识逻辑的统一.