基于核心素养的初中数学“结构-单元”教学模式

安徽省合肥市教育科学研究院 许晓天（邮编：230071）

安徽省合肥市行知学校 周向荣（邮编：230011）

教育部制定的《义务教育数学课程标准》（2022 年版）于今年四月二十一日正式官宣，意味着基于新课程标准的义务教育阶段新课程即将实施. 广大教师迫切需要的是：新课程如何实施？本文对初中数学新课标下，基于核心素养的初中数学教学，在课标要求、知识结构、“结构-单元”教学、模式介绍和设计示例谈谈自己的构想.

1 课标要求

1.1 核心素养

新课程标准在“数学核心素养的构成”中提出：数学课程要培养的学生核心素养，主要包括以下三个方面.

（1）会用数学的眼光观察现实世界

数学为人们提供了一种认识与探究现实世界的观察方式. 通过数学的眼光，能够抽象出数学的研究对象及其属性，形成概念、关系与结构.

（2）会用数学的思维思考现实世界

数学为人们提供了一种理解与解释现实世界的思考方式. 通过数学的思维，可以揭示客观事物的本质属性，建立数学对象之间、数学与现实世界之间的逻辑联系；能够根据已知事实或原理，合乎逻辑地推出结论，构建数学的逻辑体系；能够通过计算思维将各种信息约简和形式化，进行问题求解与系统设计；形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养科学态度与理性精神.

（3）会用数学的语言表达现实世界

数学为人们提供了一种描述与交流现实世界的表达方式. 通过数学的语言，能够在现实生活与其他学科中构建普适的数学模型[1].

“结构”“逻辑”“体系”“系统”和“模型”等关键词，凝炼了核心素养对数学学习的“整体性”要求. 核心素养强调学生认识现实世界的方式，界定了学生通过义务教育阶段数学学习，达到的核心素养就是要“三会”，从而达到“学习数学人”认识世界的“科学和理性”.

1.2 课程实施

新课程标准在“课程理念”的中提出：课程内容组织，重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径[1].

强调知识内容的结构化整合，从知识整体性、全面性、逻辑性和发展性上把握知识，是发展学生核心素养的重要方式.

新课程标准在“学业质量描述”中提出：

数学课程学业质量标准主要从三个方面来评估学生核心素养达成及发展情况,第一条就是：以结构化数学知识主题为载体，在形成与发展“四基”的过程中所形成的抽象能力、推理能力、运算能力、几何直观和空间观念等[1].

强调“结构化数学知识”为载体，形成学生“四基四能”的重要性.

1.2.1 注重教学内容的结构化

新课程标准在“整体把握教学内容”中提出：

教学内容是落实教学目标、发展学生核心素养的载体. 在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系. 一方面了解数学知识的产生与来源、结构与关联、价值与意义，了解课程内容和教学内容的安排意图；另一方面强化对数学本质的理解，关注数学概念的现实背景，引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立起有意义的知识结构. 通过合适的主题整合教学内容，帮助学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素养[1].

强调“教学内容结构化”是落实教学目标，发展核心素养的重要方式. 强调数学知识之间的逻辑关系，形成结构化的数学知识，对学生认识数学本质和未来学习有着重要支撑作用.

1.2.2 重视单元整体教学设计

新课程标准在“选择能引发学生思考的教学方式”中提出：

改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联[1].

强调推进“单元整体教学”，是培养学生核心素养的重要教学方法，要求合理整合教学内容，分步落实到教学活动的每个环节.

总之，新课程标准从“课程理念”“学业质量描述”“整体把握教学内容”和“选择能引发学生思考的教学方式”四个方面，对知识内容“结构化”“单元整体”教学进行了强调和建议，明确“结构化”教学的意义，“单元整体教学”的设计要求，可以帮助学生“用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素养”.

2 知识结构

2022 年版义务教育阶段数学课程标准，强调“教学内容”结构化，其实，还有其他教学内容如：主题、方法、思维等结构化. 由于我们国家课程标准统一了教学内容，只是各版本呈现或表述有一定差异. 因此，教学内容是我们教学的共同基础，其它结构都是在此知识结构基础之上形成的，并且知识结构具有“整体、逻辑和发展”上引导学生的功能，是学生学习和把握学习内容，提高素养的重要和无法替代的重要结构. 因此，我们教师要对初中数学所有教学内容有一个整体的掌握，也就是：初中数学知识结构. 课程标准指出义务教育教学内容有：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”和“综合与实践”四个学习领域，初中数学每个学习领域按照章节先后的逻辑顺序进行. 参考沪科版现用教科书教学内容章节安排,绘制《初中数学知识结构图》如图1 所示.

图1

这是四大领域、每章之间的结构框架，每一章还有本身的知识结构,如：第一章《有理数》的知识结构（参看下面“设计示例”中“结构导图”）.

3 “结构—单元”教学

布鲁纳的学习理论倡导：知识是由概念、命题、基本原理及彼此之间的相互联系组成的，这就是知识的结构. 促使认知发展的学习应该以学习“学科知识的结构”为主要任务，帮助学生在知识的整体与局部、本质与现象的联系之中掌握知识.其主张任何一门学科都有一个基本结构，即具有内在的规律性.Hanna,L.A. 等美国学者于1955年率先提出了单元教学（Unit Teaching）这一概念，定义如下：单元教学是聚焦横断在各学科、基于儿童个体社会需求且具有社会意义的课题而展开的有目的的学习体验. 而义务教育数学课程标准（2022 年版）对教学与评价中对“结构”与“单元”的要求，正是这两种理论的应用、发展和融合.

有效发展学生数学学科核心素养的内容顺序，必须反映学生的认知规律，体现“学生是如何学习的”，同时，必须体会数学的学科特征，重视内容的独立结构，反映数学的内在逻辑，做到内容的逻辑连贯性和思想方法的前后一致性[2].

因此，数学学科教学，应基于数学学科基本结构的教与学，进而学生从整体和本质上理解数学，形成学生自己的认知结构.

数学学科课程是通过数学家和数学教育专家，根据课程标准要求，用由极少数的公理（基本事实）和定义通过严密逻辑推理而形成的一个系统. 数学结构是数学学科课程系统各要素之间的联系与作用的方式，是学生建构自己理解的路径.实施课程时，要在某结构框架引导下，依据学生认知的基础、水平和规律，按照知识内容、研究主题、思维方式、解题方法等作为某一个单元，在一定的教学时间内进行的教学，叫做“结构-单元”教学.

我们知道，教学过程是教师、学生、课程和媒体交互作用的动态过程，并存在两个主体（教师与学生）及其共同活动[3]. 因此，简单地说，初中数学“结构-单元”教学：是以“结构-主题-课时”为教学主线，借助现代信息技术和教师个性化教学，形成学生认知逻辑链的教学.

4 模式介绍

为了便于表述，我们把数学教科书中每一章主题称为“单元”，每一单元中的每一小节主题称为“小单元”. 基于核心素养的初中数学“结构-单元”教学模式，是新授课“课时”教学流程，简称“六环节”教学模式.

4.1 结构导图

到某一个公园去游览，公园大门前一般有一个“导览图”，以便游览者选择不同的路径进行实际游览. 课本内容的“知识结构”图，在教学中起到“导览图”的作用，故称之为“结构导图”. 过去我们的教学常常在“零星散打”中“孤立”地学习知识，学生不容易理解和应用. 有了“结构导图”，教学中就能够“宏观”与“整体”地把握知识间的逻辑联系和“走向”，明晰知识从何处来，向何处去，该如何去.

这里的“结构导图”在初中、学期和单元起始课中，要分别介绍初中、学期和单元所学内容的“结构导图”，这时的“结构导图”具有“知识结构”的功能. 在“小单元”和“课时”教学时，除了“知识结构”的“导学”功能外，也是学生建构个性化“认知结构”的导图.

呈现方式：知识框图.

4.2 问题情境

由于初中数学知识对该年龄段的学生来说，具有一定的抽象性，学生学习需要在学生熟悉和感兴趣的情境中建构自己的理解，从而抽象出新知. 数学问题情境包括：现实生活、数学本身、跨学科和现代科技相关等情境，并且情境要求是“真”情境. 同时，也是学生应用数学知识解决实际问题的需要.

学生在真实情境的学习中，激发了自己学习积极的情感，在“知识导图”的引导下，进一步激活了自己的“认知结构”，并使之具有开放性[4].

特征：具体和特殊.

4.3 建构新知

建构主义（constructivism）主张，知识是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习材料，通过意义建构的方式获得.

新知包括：公理（基本事实）、概念、判定和性质等,至少要用三种语言（文字语言、图形语言和符号语言)中的一种语言来表达，文字语言是中文表达的，便于学生理解；符号语言有利于数学文化交流和传播；图形语言助力学生建立知识的“意义”联系. 在对新知识进行辨析和解释，初步让学生建构新的认知结构.

新知初步形成后，教师要对其解释，目的是为后面“巩固应用”打下基础，避免太多的盲目性.

特征：抽象和一般.

4.4 巩固应用

此环节的内容主要由例题、练习构成，例题与例题，例题与练习和练习与练习之间，一般用“变式”的方式完成彼此的“联系”，主要是建立特殊与特殊、特殊与一般，一般与特殊的逻辑联系.从而归纳出一般的解题模式（方法，非技巧），并进行规范的表达和书写[4]. 这对学生现在和未来的做人和做事，将产生深远的影响.

特征：具体和特殊.

这时的“具体和特殊”中的“问题”是“问题情境”中“问题”的升级，是学生在熟悉和掌握原理基础上的“具体和特殊”，并能够规范解决和表达的问题.

4.5 课堂小结

这环节包括：（1）学习过程：回顾整个学习流程；（2）知识方法：知识和方法的结论及注意问题；（3）思维思想：思维方式、数学思想和核心素养；（4）结构导图：完成学习内容后，在“知识结构”下,建构学生个性化认知结构. 由导图知：已经学习到什么地方，明天和后面将要学习什么.

这四个方面，是学生循序渐进学习和提炼的流程. 从“学习过程”得到“知识方法”，再升华出“思维思想”，最后回到“结构导图”. 这时的“结构导图”有两个方面的作用：第一、这时“结构导图”意在引导学生形成自己新的“认知结构”；第二、学生有了自己“意义建构”的“认知结构”，在“知识结构”的整体引导下，让学生清晰地知道后续学习内容.

这样，每一节课都在结构框架下进行教学，学生始终明确自己的学习方向和内容，从而从整体上把握知识[4]，实现“高效高质”的教学.

4.6 作业布置

作业的布置，要依据这节课的教学目标，布置各种类型的作业，如：口头、书面、活动或线上、线下或基础性、综合性和拓展性等等.

布置作业的目的是进一步巩固今天学习的内容，强化学生自己的认知结构，为后续的学习奠基；并能够应用所学数学知识解决数学本身、生活和其它学科与科技方面的问题，培养应用意识，提升学生的数学核心素养.

5 设计示例

以沪科版初中数学七年级上册《有理数》“单元”的第5“小单元”《有理数乘法》的第1 课时为例，谈谈基于核心素养的新授课“结构—单元”教学.

5.1 结构导图

图2

过程按照“结构导图”，教师依次展示前4个已学小单元和今天学习第5 小单元的主题，重点介绍第4 与第5 小单元主题的“运算”的关联和“有理数的加减”的研究方法. 再介绍第5 单元“有理数乘除”需进行4 个课时的教学，让学生理解课时内容间逻辑关系.

意图学生学习是在本单元“知识结构”引导下进行，让学生体会前面4 个已学小单元内容与今天所学内容之间的整体联系，介绍第4 与第5小单元的联系，是“数系”运算整体性和研究方法一致性的要求. 让学生理解课时知识间逻辑关系，体会学习的阶段性与整体性之间的关系.

5.2 问题情境

转承语由“结构导图”知道，上一小单元我们已经学习了有理数的加减运算，大家回顾一下，这一节的研究思路是什么？

说明“转承语”是教师教学中，对前后内容或方法或思维等使用的过渡性语言，起着承上启下的作用，是课堂教学连续性和艺术性的关键.

过程大屏幕依次展示或让学生回顾有理数加减的学习过程：

图3

问题类比有理数加减的研究过程，你觉得有理数的乘除，我们将怎样展开？先研究什么内容？

图4

意图从有理数运算的整体性，感知学习有理数乘除的必要性. 回顾有理数的加减学习过程，旨在让学生对乘除运算的学习产生方法的迁移，体会学习方法的前后一致性，并点题—“有理数的乘法”.

5.3 新知建构

转承语回顾有理数加法法则的得出过程，有理数的乘法要研究哪些算式呢？（请同学口答，教师板书—正数×正数，正数×零，零×正数，正数×负数，负数×正数、零×负数、负数×零、负数×负数）

问题其实，正数×正数，正数×零和零×正数在小学我们已经学过，在我们学习了正负数的意义后，又如何理解呢？如：3×2=6，3×0=0，0×3=0.

过程3×2=（+3）×（+2）=+6=6，我们知道（+3）在数轴上表示的是：与数轴正方向相同且离开原点3 个单位的点，×（+2）中的（+2）中的性质符号“+”表示与（+3）同方向，（+2）中2 是表示（+3）的点移动离开与原点2 倍的距离，（+3）×（+2）就是移动得到的点表示的数,所以（+3）×（+2）=+6. 同理，3×0=（+3）×0=0表示：数轴上表示（+3）的点，移动0 倍的距离，得到的点0.0×3=0×（+3）=0 表示：数轴上表示0 的点，向与0 同方向（0 的方向与数轴方向相同或相反）移动3 倍的距离，得到的点0.

追问你能否举一个实际问题说明或理解：（+3）×（+2）=+6.

预设消费问题：某同学计划每天节省费用3 元（表示为：+3），连续2 天节省费用（表示为：+2），这2 天该同学共节省多少元钱？表示为：（+3）×（+2）=+6=6，意思是:因为节省而多留下6 元钱.

意图在小学学习“正数×正数”与“正数×零”的经验之上，结合前面学习的正负数意义，重新建构学生自己更一般的理解. 追问是为了让学生对（+3）×（+2）=+6，建构新的“意义”，确认（+3）×（+2）=+6 的“合理性”，为后面学习的“正数×负数，负数×正数，零×负数，负数×负数”做好思维的铺垫. 这也是“结构—单元”教学整体性的要求. 同时，为学生高中学习“复数”（二元数）打下“旋转方向”的基础，是更大范围“结构”的整体要求.

问题（-3）×2 等于多少？为什么？

预设可能学生会提出（-3）×2 表示两个-3 的和，即（-3）+（-3），结果为-6. 或类比“正数×正数”的思维得出：（-3）×2=（-3）×（+2）=-6.

追问3×（-2）等于多少？为什么？

预设或利用乘法交换律转化为：3×（-2）=（-2）×3，表示3 个（-2）的和，即（-2）+（-2）+（-2），结果为—6. 或用3×（-2）=（+3）×（-2）=-6.

追问（+3）×（-2）=-6，你能直接举一个例子理解一下吗？

预设消费问题：某同学计划每天节省费用3 元（表示为：+3），由于特殊情况，反而连续消费3 元2 天（表示为：-2），问：这2 天共消费了多少元钱？表示为：（+3）×（-2）=-6，意思是：我共用了6 元，也就是我自己的钱少了6 元.

追问根据自己的理解，请直接写出下面式子的计算结果.

意图让学生根据自己建构的理解：“正数×负数”意义，应用到特殊的算式，加强理解，并初步形成运算规律.

问题（-3）×0 的结果是多少？为什么？

预设消费问题：某同学计划每天消费3 元（表示为：-3）钱，消费0 天，共消费了多少元钱？表示为：（-3）×0=0，意思是：没有一天用钱,当然没有进出钱.

问题你能计算（-3）×（-2）的结果是多少吗？能不能还举一个生活中的例子，给一个合理的解释呢？请同学们先独立思考，然后小组讨论，再由小组发言人代表本小组陈述自己的观点.

意图为了突破这节课学生“负数×负数”（“袁隆平之问”）理解的难点. 有了前面学习“正数×正数”和“正数×负数”的经验和理解，让学生充分讨论，教师到小组中参与讨论，帮助解决和发现问题.

预设费用问题：某同学计划每天消费3 元（表示为：-3）钱，由于特殊情况，连续2 天都没有付出（表示为：-2），共结余了多少钱？用式子表示：（-3）×（-2）=+6.

或温度问题：某室内现在温度是00C，室内温度正以每小时30C 速度下降（表示为：-3），按此温度下降速度，问此前两小时（表示为：-2）的时候室内温度是多少度？用式子表示：（-3）×（-2）=+6.

意图两种理解都可以，“费用问题”可能理解稍难一点，但贴近学生生活.“温度问题”可以用温度计演示，直观性强一些,便于理解.

问题请同学们观察刚才得到的结果与两个因数之间的关系，完成下列表格的填空：

表1

追问请同学解释得到结果的思维过程,类比有理数加法法则得出的过程，请尝试得出有理数乘法法则.

过程法则的得出，教师可从因式和运算结果的性质符号和绝对值两方面去归纳. 最后，教师用ppt 展示有理数乘法法则.

意图类比有理数加法法则形成的思维过程，并从性质符号和绝对值两个方面进行“宏观”整体把控，是“结构—单元”中学习方法和思维一致性的体现.

5.4 巩固应用

转承语我们得出了两个有理数相乘的乘法法则，这是一个一般性结论，特殊的两数相乘，我们都能够解决吗？请看问题.

意图一方面强调法则的应用，结合法则从结果的符号和结果的绝对值两方面去确定积；其次强调结果要化成最简形式.

问题请同学们独立完成下列习题.（请三位同学上黑板板演，每人两小题）

追问由第（1）（2）小题的结果追问一个数与﹢1 相乘，得什么数？一个数与﹣1 相乘，得什么数？由第（6）小题说明负数也有倒数，讲解倒数的意义，追问零有没有倒数，为什么？

意图通过教师板演及学生练习巩固有理数的乘法法则，养成利用法则直接进行运算的习惯，促进学生逻辑推理素养的养成.

5.5 课堂小结

1. 此节课我们学习的过程是什么？

2. 此节课学习的知识和方法有哪些？

3. 此节课的学习应用了哪些思维方式或体现哪些数学思想或核心素养？

4. 回到“知识导图”，“有理数”单元到此时，我们已经学习了哪些内容，已经到了哪里？下一节课我们要学习什么？

图5

意图引导学生回顾本节课的学习过程，体会“问题情境-一般法则--应用巩固”的一般学习流程，体会“有理数乘法”法则的形成及运用过程；得到的“两个有理数相乘”的法则，是以后解决“两个有理数乘法”的依据；提炼学生“抽象能力和运算能力”等核心素养；最后，通过小单元的“知识导图”，帮助学生完善认知结构，知晓下节课学习内容“多个有理数相乘”,体现学生学习的整体性和发展性.

5.6 课后作业

5.6.1 基础性作业

1.计算：

意图考查有理数乘法法则的掌握情况.添加了一些与分数或小数有关的乘法，计算中对约分等知识提出了要求，进一步考查了有理数乘法运算能力.

2.-4、-1、3、6、-5 这5 个数中任取两个数相乘，其中最大的积是多少？最小的积是多少？

意图考查学生对法则中符号和绝对值的深层次理解，以及分类讨论思想.

5.6.2 发展性作业

通过上网或查阅资料等形式研究“为什么（-1）×（-1）=1”，并以此为话题写一篇小论文.

意图通过网络等渠道多角度了解“负负得正”的由来，进一步加深对有理数乘法法则合理性的理解.

其上，是初中数学新授课教学“结构-单元”模式的介绍，旨在让教师和学生在系统结构这种高观点下进行教与学，着眼整个课堂教学的知识整体，着实每课时教学过程中每一步. 学生从学科整体上把控知识，有方向和目的地构建和完善自己的认知结构. 学生在高效地学习中，把握数学的本质，提升自己核心素养. 此教学模式也便于教师操作和把控.